河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文

PAGEPAGE11河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文考生留意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上。3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．2024年3月18日“2024亞太地區(qū)自然指數(shù)”發(fā)布，中國(guó)機(jī)構(gòu)整體表現(xiàn)強(qiáng)勁.在2024年亞太地區(qū)科研產(chǎn)出貢獻(xiàn)份額排名前5位中有4家中國(guó)機(jī)構(gòu)，它們分別是中國(guó)科學(xué)院（第一），中國(guó)科學(xué)技術(shù)高校（其次），北京高校（第四），中國(guó)科學(xué)院高校（第五），相應(yīng)的貢獻(xiàn)份額（取整數(shù)）分別為1904，486，456，422，則這四個(gè)數(shù)的極差、中位數(shù)分別是（）A．，472 B．1482，472 C．，471 D．1482，4714．已知，，，則（）A． B． C． D．5．阿基米德是宏大的物理學(xué)家，哲學(xué)家，數(shù)學(xué)家和力學(xué)家，是名副其實(shí)的“全能天才”.他本人最得意的發(fā)覺(jué)是名為“圓柱容球”的幾何圖形，就是在圓柱形容器里放了一個(gè)球，這個(gè)球頂天立地，四周噴邊（球的直徑與圓柱形容器的高和底面直徑分別相等）.人們?yōu)榱思o(jì)念他，依據(jù)他本人生前的愿望，在他的墓碑上刻了該幾何圖形，在一個(gè)“圓柱容球”的圓柱內(nèi)任取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好落在這個(gè)“圓柱容球”的球內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則的極大值為（）A．0 B． C． D．17．20世紀(jì)30年頭，查爾斯·里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是運(yùn)用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為，其中是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中距離造成的偏差）.當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時(shí)，震源中心以地震波的形式放出的能量的指示參數(shù)，震級(jí)越大，震源放出的能量就越大.1989年美國(guó)舊金山地震中，一個(gè)測(cè)震儀記錄的最大振幅為8000，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.0001，則預(yù)料此次地震震源放出的能量（單位：焦耳）約為（，）（）A． B． C． D．8．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，則的斜率為（）A． B． C． D．10．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，則（）A． B． C． D．11．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A． B． C． D．112．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的面積為（）A． B．9 C． D．4第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量，，若，則______.14．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_____.15．已知，則______.16．在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，平面，，則異面直線與所成角的正切值為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．（12分）已知數(shù)列中，，且.（1）證明為等差數(shù)列并求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，四棱錐，側(cè)面平面，且底面為矩形，，，，為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求到平面的距離.19．（12分）華為系統(tǒng)是一款面對(duì)將來(lái)、面對(duì)全場(chǎng)景的分布式操作系統(tǒng)，預(yù)料該系統(tǒng)將會(huì)成為繼、系統(tǒng)之后的全球第三大手機(jī)操作系統(tǒng).為了了解手機(jī)用戶對(duì)系統(tǒng)的期盼程度，某公司隨機(jī)在20000人中抽取了100名被調(diào)查者，記錄他們的期盼值，將數(shù)據(jù)分成［0，15），［15，30），···，［75，90］6組，其中期盼值不低于60的稱為特別期盼系統(tǒng)，現(xiàn)整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖.（1）已知樣本中期盼值小于15的有4人，試估計(jì)總體中期盼值在區(qū)間［15，30）內(nèi)的人數(shù)；（2）已知樣本中的男生有一半特別期盼系統(tǒng)，且樣本中特別期盼系統(tǒng)的男、女生人數(shù)相等.請(qǐng)依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有99％的把握認(rèn)為是否特別期盼系統(tǒng)與性別有關(guān).特別期盼不特別期盼合計(jì)男女合計(jì)100附：，其中.0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.（1）記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若與的圖象上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，求的取值范圍.（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為多參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知，線與曲線交于，兩點(diǎn)，若，求的值.23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若，，求的取值范圍.新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)參考答案（文科）1．A 因?yàn)?，，所?2．B 因?yàn)椋栽趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.3．D 極差為，中位數(shù)為.4．C 因?yàn)?，，．，所以，?5．B 設(shè)圓柱的體積為，球的體積為，球的半徑為，則圓柱的高為，，，所以所求概率為.6．D 因?yàn)?，所以在，上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，所以的極大值為.7．C 因?yàn)椋?8．A 如圖，該幾何體為三棱錐，其外接球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為6，寬為4，高為4，所以，故外接球的表面積為.9．D 由題知，拋物線方程為，設(shè)的直線方程為，代入拋物線方程，得，設(shè)，，則，.因?yàn)樗曰蚬?，即的斜率?10．C 因?yàn)?，所以，即，又，則，從而，又，故.11．B 將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象.因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，，所以的最大值為.12．A 如圖，設(shè)的右焦點(diǎn)為，由題意可得，，因?yàn)?，所以?的周長(zhǎng)為，即當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立方程組.解得或，即此時(shí)的縱坐標(biāo)為，故的面積為.13． 因?yàn)椋?，解得，所以，?14．3 作出可行域（圖略），可知可行域是由點(diǎn)，，圍成的三角形區(qū)域，所以面積為.15． 因?yàn)椋?，?16． 如圖所示，不妨設(shè).因?yàn)槠矫?，所以，?因?yàn)闉楹椭悬c(diǎn)，所以，即，，所以是等腰直角三角形.設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則，所以或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角，因?yàn)椋裕?17.（1）因?yàn)?，，所以即，因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故.（2）因?yàn)?，所以是首?xiàng)為4，公比為8的等比數(shù)列，故或（）18．（1）證明：連接.因?yàn)閭?cè)面底面且交于，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?在中，，，所以，即.因?yàn)椋?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，相交，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，，，為的中點(diǎn)，，所以三棱錐的體積為，在中，，，所以的面積為.設(shè)到平面的距離為，則，所以.19．解：（1）因?yàn)闃颖局衅谂沃挡恍∮?0的頻率為，所以樣本中期盼值小于30的頻率為0.1，所以樣本中期盼值在區(qū)間［15，30）內(nèi)的人數(shù)為，故總體中期盼值在區(qū)間［15，30）內(nèi)的人數(shù)約為.（2）因?yàn)闃颖局刑貏e期盼系統(tǒng)的人數(shù)為，所以樣本中特別期盼系統(tǒng)的男生人數(shù)為，所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.特別期盼不特別期盼合計(jì)男303060女301040合計(jì)6040100所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為是否特別期盼系統(tǒng)與性別有關(guān).20．解：設(shè)點(diǎn)，，（1）因?yàn)?，，所以，?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，.所以，所以的坐標(biāo)為.假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，則直線的斜率為.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?因?yàn)?，，所以，即，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在這樣的點(diǎn).21．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則.令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)榕c的圖象上恰有兩對(duì)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)正根，即關(guān)于的方程有兩個(gè)正根.令，則當(dāng)時(shí)，在（0，2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，得.當(dāng)時(shí)，在（0，2），上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以或.而，令，則.設(shè)，則，所以在（2，4）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不滿意題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不滿意題意.當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以或而，，不滿意題意.綜上所述，.