天津市師范大學(xué)南開附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題.含解析

PAGE18-天津市師范高校南開附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題.（含解析）一、選擇題（本大題共9小題，共45.0分）1.直線l經(jīng)過原點和，則它的傾斜角是（）A.45° B.﹣45° C.135° D.45°或135°【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知的兩點計算出斜率，再依據(jù)傾斜角的正切值為斜率，即可求得傾斜角.【詳解】因為直線經(jīng)過原點和，故，設(shè)直線傾斜角為，故，又，故可得.故選：C.【點睛】本題考查已知兩點求直線斜率，以及斜率與傾斜角之間的關(guān)系.2.與向量共線的單位向量是（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】求出的，再由與共線的單位向量是，求出結(jié)果.【詳解】解：∵向量的模為，故與向量共線的單位向量是，即或.故選：A.【點睛】本題考查空間向量的共線問題，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由幾何圖形可得，然后兩邊平方，依據(jù)向量的數(shù)量積可得，進而得到的長度．【詳解】因為，所以||2=()2=||2+||2+||2)．故A1C的長為．故選A．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用數(shù)量積可解決垂直、長度、夾角等問題，用向量求長度時，可將向量用基底或坐標(biāo)表示出來，然后依據(jù)數(shù)量積的運算或坐標(biāo)運算求解即可，體現(xiàn)了向量具有數(shù)形二重性的特點．4.已知過點的直線的斜率為，則等于（）A.10 B.180 C.6 D.6【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線MN的斜率求出a的值，再利用兩點間的距離公式計算的值.【詳解】過點，的直線斜率為，

解得，

.

所以D選項是正確的.【點睛】本題考查了直線斜率的公式與應(yīng)用問題，也考查了兩點間距離公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.5.設(shè)點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（）A.或 B.C. D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】由題意得，所求直線l的斜率k滿意或，求出即可.【詳解】如圖所示，由題意得，所求直線l的斜率k滿意或，即，或，∴，或，即直線的斜率的取值范圍是或.故選：A．【點睛】本題主要考查直線的斜率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.若光線從點射到y(tǒng)軸上，經(jīng)y軸反射后經(jīng)過點，則光線從點P到點Q走過的路程為（）A.10 B.5＋C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】關(guān)于y軸的對稱點，易知光線從點P到點Q走過的路程為.【詳解】找到Q點關(guān)于y軸的對稱點，

由對稱性可知P，Q間距離等于間的距離，

求得.所以本題選C.【點睛】本題考查求點關(guān)于y軸的對稱點問題和兩點間的距離公式，要求熟記公式，駕馭數(shù)形結(jié)合的思想運用，屬基礎(chǔ)題.7.直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E為BB′的中點，異面直線CE與所成角的余弦值是（）A. B. C.- D.【答案】D【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】直三棱柱中，，，為的中點．以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，設(shè)異面直線與所成角為，則．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題．8.已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點，，且，直線與直線平行，則（）A.-4 B.0 C.-2 D.【答案】C【解析】∵l的斜率為?1,因為，所以的斜率為1，∴.由∥得,，得b=?2，所以，a+b=?2.

故選C.9.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標(biāo)為（）A.(1，1，1) B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：設(shè)交于點，連結(jié)，因為正方形與矩形所在的平面相互垂直，，點在上，且平面，所以，又，所以是平行四邊形，所以是的中點，因為，所以，故選C．考點：空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)．二、填空題（本大題共8小題，共40.0分）10.已知，，若，且與反向，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意可設(shè)，且，然后可得出，依據(jù)解出，即可得出的值.【詳解】解：∵，且與反向，∴設(shè)，，∴，∴，∵，∴解得，∴.故答案為：.【點睛】本題考查空間向量的共線問題，考查運算實力，是基礎(chǔ)題.11.已知，，，若，，共面，則實數(shù)________．【答案】【解析】【分析】由空間向量的共面定理，列出方程組求出實數(shù)的值.詳解】解：由，，，且，，共面，所以存在實數(shù)m，n，使得，即，列方程組，得，解得，；所以.故答案為：.【點睛】本題考查空間向量共面定理，考查運算實力，是基礎(chǔ)題.12.若直線的方向向量為．平面的法向量為，則直線與平面的關(guān)系為________．【答案】【解析】【分析】利用向量共線定理、線面垂直的判定定理即可推斷出.【詳解】解：∵，∴，因此.故答案為：.【點睛】本題考查空間向量共線定理，線面垂直的向量方法，考查運算實力，是基礎(chǔ)題.13.長方體中，，，那么直線和平面的距離是________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合長方體，將原距離轉(zhuǎn)化為點和平面的距離解決，最終轉(zhuǎn)化為直角三角形斜邊上的高求解即可.【詳解】解：∵直線平面，∴直線和平面的距離即為點和平面的距離.∵面面，在面內(nèi)過作的垂線，即為面的垂線，也就是直角三角形斜邊上的高d，由面積法得：.故答案為：.【點睛】本題考查線面距離求法，屬于基礎(chǔ)題.14.過點(－2，－3)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為____________.【答案】或【解析】【分析】分類探討，當(dāng)直線過原點，即截距都為零，易得直線方程；當(dāng)直線不過原點，由截距式，設(shè)出直線方程，把P點坐標(biāo)代入，能求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)直線過原點，即截距都為零時，

直線經(jīng)過原點，，

直線方程為，

整理得直線方程為；

當(dāng)直線不過原點，依據(jù)截距式，設(shè)直線方程為，

把代入，得，則直線方程為.

故答案為:或.【點睛】本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要仔細審題，留意分類探討思想的合理運用.15.設(shè)，是空間兩個不共線向量，已知，，，且，，三點共線，實數(shù)________．【答案】1【解析】【分析】由題意可得向量和共線，存在實數(shù)，使，可得關(guān)于k，的方程組，進行求解即可.【詳解】解：∵A，B，D三點共線，∴向量和共線，故存在實數(shù)，使，由題意可得，即，故可得，解得，故.故答案為：1.【點睛】本題考查向量基本定理和共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.已知直線，直線，若，則實數(shù)的值為_______.【答案】或【解析】【分析】由兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式，進而可解得實數(shù)的值.【詳解】已知直線，直線，若，則，解得或.故答案為：或.【點睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.17.如圖，在正四棱錐中，，點為的中點，．若，則實數(shù)_____【答案】4【解析】【分析】連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出實數(shù)λ．【詳解】解：連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝2，則A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），設(shè)N（0，b，0），則（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得實數(shù)λ＝4．故答案為4．【點睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是中檔題．三、解答題（本大題共4小題，共65.0分）18.已知直線與直線的交點為M.（Ⅰ）求過點M且與直線平行的直線l的方程；（Ⅱ）若直線過點M，且點到的距離為，求直線的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）聯(lián)立直線方程可求出交點，依據(jù)所求直線過交點且與平行即可求解（Ⅱ）分斜率存在與不存在兩種狀況探討，利用點到直線距離求解即可.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立，解得：.所以與平行的的直線方程為：，整理得：.（Ⅱ）當(dāng)斜率不存在時，不合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，即：.由題得：，解得：，；所以，所求直線的方程為：.【點睛】本題主要考查了兩直線的交點，平行直線，點到直線的距離，分類探討，屬于中檔題.19.已知空間三點，，，設(shè)，．（1）若，，求；（2）若與相互垂直，求；（3）若向量與平行，求．【答案】（1）或；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）依據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與共線定理，利用模長公式，即可求出；（2）利用兩向量垂直數(shù)量積為0，列方程求出k的值；（3）依據(jù)向量共線定理，列出方程求出k的值.【詳解】解：（1）點，，，∴，由，設(shè)，且，∴，解得，∴或；（2），，若與相互垂直，則，∴，即，化簡得，解得或；（3）向量，，由向量與平行，則，解得或.【點睛】本題考查空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.20.已知的三個頂點分別為，，．（1）求邊和所在直線的方程；（2）求邊上的中線所在直線的方程；（3）求邊上的中垂線的方程．【答案】（1）邊所在直線的方程：，邊所在直線的方程：；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由于A、C兩點分別在y軸和x軸，由直線方程的截距式列式，化簡可得所在直線的方程；再由A、B的坐標(biāo)，利用直線方程的兩點式列式，化簡即可得出所在直線的方程.（2）利用線段中點坐標(biāo)公式，算出的中點D坐標(biāo)為，利用直線方程的兩點式列式，化簡即可得出上的中線所在直線的方程.（3）由，得邊上的中垂線的斜率為，的中點坐標(biāo)為，點斜式可求出直線方程.【詳解】解：（1）∵，，∴直線的截距式方程得：，化簡得.∵，，∴由直線的兩點式方程，得方程為，即，綜上所述，邊所在直線的方程為，邊所在直線的方程為.（2）設(shè)中點，由線段的中點坐標(biāo)公式，可得，，∴中點D坐標(biāo)為.再由直線的兩點式方程，得所在直線的方程為，化簡得，即為所求邊上的中線所在的直線的方程.（3）由，得邊上的中垂線的斜率為，又的中點坐標(biāo)為，由點斜式，得邊上的中垂線的方程為，即.【點睛】本題考查直線的方程的求解，直線垂直的斜率關(guān)系，考查運算實力，是基礎(chǔ)題.21.在直四棱柱中，已知，，，為上一點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先證明，再利用線面平行的判定即可得證；（2