2024高考數學二輪專題復習測試專題強化練十二含解析

PAGE專題強化練(十二)1．已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線2x－y＋1＝0垂直，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)解析：依題意，2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))＝－1，所以b＝2a.則e2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)＝5，所以e＝eq\r(5).答案：D2．(2024·吉林省試驗中學第一次質檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2，且短軸長為6，則C的方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1 D.eq\f(x2,37)＋eq\f(y2,36)＝1＋c2＝10，所以C的方程為eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,9)＝1.故選B.答案：B3．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l：y＝x－1經過點F，且分別交C于A、B兩點，則|AB|＝()A．4eq\r(2) B．8C．8eq\r(2) D．12解析：因為直線l：y＝x－1經過點F，所以F(1，0)，故eq\f(p,2)＝1即p＝2，所以C：y2＝4x.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－1，))可得x2－6x＋1＝0，故x1＋x2＝6，故|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：B4.為響應國家“節(jié)能減排，開發(fā)清潔能源”的號召，小華制作了一個太陽灶，如圖所示．集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉得到)形的反光鏡構成，已知鏡口圓的直徑為2m，鏡深0.25m，為達到最佳汲取太陽光的效果，容器灶圈應距離集光板頂點()A．0.5米 B．1米C．1.5米 D．2米解析：若使汲取太陽光的效果最好，容器灶圈應在拋物面對應軸截面的拋物線的焦點處，如圖，畫出拋物面的軸截面，并建立坐標系，設拋物線方程x2＝2py，集光板端點A(1，0.25)，代入拋物線方程可得2p＝4，所以拋物線方程x2＝4y，故焦點坐標是F(0，1)．所以容器灶圈應距離集光板頂點1m.答案：B5．(2024·北京市東城區(qū)模擬)雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線與直線x＝1交于A，B兩點，且|AB|＝4，那么雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：由雙曲線的方程可得a＝1，且漸近線的方程為：y＝±bx，與x＝1聯(lián)立可得y＝±b，所以|AB|＝|2b|，由題意可得4＝2|b|，解得|b|＝2，c2＝a2＋b2，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\f(1＋4,1))＝eq\r(5)，故選D.答案：D6．(2024·全國名校模擬)若雙曲線C：eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，則C的兩個焦點坐標為()A．(0，±eq\r(5)) B．(±eq\r(5)，0)C．(0，±eq\r(13)) D．(±eq\r(13)，0)解析：因為雙曲線C：eq\f(y2,m)－eq\f(x2,9)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，所以eq\f(\r(m),3)＝eq\f(2,3)，解得m＝4，所以雙曲線方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，所以雙曲線C的兩個焦點坐標為(0，±eq\r(13))，故選C.答案：C7．(2024·開封模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦點，點M在E上，MF2與x軸垂直，sin∠MF1F2＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)＝2a－eq\f(b2,a)，由sin∠MF1F2＝eq\f(1,3)，可得3×eq\f(b2,a)＝2a－eq\f(b2,a)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2).答案：C8．(2024·石家莊調研)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，＝30°，且虛軸長為2eq\r(2)，則雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：如圖，不妨設點P(x0，y0)在第一象限，則PF2⊥x軸，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，則|PF2|＝eq\f(2\r(3)c,3)，|PF1|＝eq\f(4\r(3)c,3)，又因為|PF1|－|PF2|＝eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq\r(3)a.又2b＝2eq\r(2)，知b＝eq\r(2)，且c2－a2＝2，從而得a2＝1，c2＝3.故雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.答案：D9．(2024·泉州模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線2x＋y－4＝0與y軸交于點A，線段AF2與E交于點B.若|AB|＝|BF1|，則E的方程為()A.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1 D.eq\f(x2,5)＋y2＝1解析：由題可得A(0，4)，F(xiàn)2(2，0)所以c＝2，又|AB|＝|BF1|，所以2a＝|BF1|＋|BF2|＝|AF2|＝2eq\r(5)，得a＝eq\r(5)，所以b＝1，所以橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1.答案：D10．已知斜率為k1(k1≠0)的直線l與橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為C，直線OC(O為坐標原點)的斜率為k2，則k1·k2＝()A．－eq\f(1,4) B．－4C．－eq\f(1,2) D．－2＝2x0，y1＋y2＝2y0.因為A，B兩點在橢圓上，所以xeq\o\al(2,1)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),4)＝1，xeq\o\al(2,2)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),4)＝1.兩式相減得：xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,4)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，(x1＋x2)(x1－x2)＋eq\f(1,4)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，2x0(x1－x2)＋eq\f(1,2)y0(y1－y2)＝0，2＋eq\f(1,2)·eq\f(y0（y1－y2）,x0（x1－x2）)＝0，即2＋eq\f(1,2)k1·k2＝0，解得k1·k2＝－4.答案：B＝8x上運動，點Q在曲線(x－2)2＋y2＝1上運動，則eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值為()A．eq\r(3) B．4C．eq\r(5) D．6解析：設圓心為F，則F也為拋物線y2＝8x的焦點，該拋物線的準線方程為x＝－2，設P(x，y)，由拋物線的定義：|PF|＝x＋2，要使eq\f(|PB|2,|PQ|)最小，則|PQ|需最大，如圖，＋1＝x＋3，且|PB|＝eq\r(（x－4）2＋y2)＝eq\r(x2＋16).所以eq\f(|PB|2,|PQ|)＝eq\f(x2＋16,x＋3)，令x＋3＝t(t≥3)，則x＝t－3，所以eq\f(|PB|2,|PQ|)＝t＋eq\f(25,t)－6≥4，當t＝5時取“＝”，此時x＝2.所以eq\f(|PB|2,|PQ|)的最小值為4.答案：B12．(多選題)設M、N是拋物線x2＝4y上的兩個不同的點，O是坐標原點，若直線OM與ON的斜率之積為－eq\f(1,4)，則下列結論正確的是()A．|OM|＋|ON|≥5B．以MN為直徑的圓面積的最小值為4πC．直線MN過拋物線x2＝4y的焦點D．點O到直線MN的距離不大于1解析：對于A選項，若MN與y軸垂直，設直線MN為y＝a(a>0)，則M(2eq\r(a)，a)，N(－2eq\r(a)，a)，所以kOM＝eq\f(\r(a),2)，kON＝－eq\f(\r(a),2)，所以kOM·kON＝－eq\f(a,4)＝－eq\f(1,4)，所以a＝1，即M(2，1)，N(－2，1)，此時|OM|＋|ON|＝2eq\r(5)<5，A選項錯誤；對于B、C選項，由題意可知直線MN斜率存在，設直線MN的方程為y＝kx＋m，＋m>0，設點M(x1，y1)、N(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，因為kOMkON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2),16x1x2)＝eq\f(x1x2,16)＝－eq\f(m,4)＝－eq\f(1,4)，所以m＝1，此時直線MN的方程為y＝kx＋1，恒過定點(0，1)，C選項正確；因為|MN|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝4(1＋k2)≥4，所以，以MN為直徑的圓面積的最小值為4π，B選項正確；對于D選項，點O到直線MN的距離為d＝eq\f(1,\r(k2＋1))≤1，D選項正確．答案：BCD13．已知直線l過點(1，0)且垂直于x軸．若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為________．解析：由題意知，a>0，對于y2＝4ax，當x＝1時，y＝±2eq\r(a)，由于l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，所以4eq\r(a)＝4，所以a＝1，所以拋物線的焦點坐標為(1，0)．答案：(1，0)14．在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F(c，0)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(3),2)c，則其離心率的值是________．解析：不妨設雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq\f(\r(3),2)c，所以b2＝c2－a2＝eq\f(3,4)c2，得c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：215．(2024·四川省南充市其次次模擬)已知F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，過F作直線與C相交于P，Q兩點，且Q在第一象限，若2eq\o(PF,\s\up14(→))＝eq\o(FQ,\s\up14(→))，則直線PQ的斜率是__________．解析：設l是準線，過P作PM⊥l于M，過Q作QN⊥l于N，＝eq\o(FQ,\s\up14(→))，所以|QF|＝2|PF|，所以|QN|＝2|PM|，所以|QH|＝|NH|＝|PM|＝|PF|，|PH|＝eq\r(（3|PF|）2－|PF|2)＝2eq\r(2)|PF|，所以tan∠HQF＝eq\f(|PH|,|QH|)＝2eq\r(2)，所以直線PQ斜率為2eq\r(2).答案：2eq\r(2)16．(2024·博雅聞道聯(lián)合質檢)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．解析：依據題意作圖如下：由圖可得：當點P在橢圓的上(下)頂點處時，∠PF1F2最大，要滿意橢圓C上存在點P(x0，y0)(x≥0)使得∠PF1F