四川省樂山市2025屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)查研究考試試題理含解析

PAGE24-四川省樂山市2025屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)查探討考試試題理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法寫出集合，即可求出.【詳解】易知，所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則“”是“在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分必要條件的性質(zhì)即可推斷.【詳解】復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，若，則，或都有可能，因而不肯定位于第一象限，所以不是充分條件；若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，有可得，可得，而所以是必要條件，綜上可知，“”是“在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”的必要不充分條件，故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，充分必要條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且時，，則（）.A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，，，則、、的大小關(guān)系是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出、、的范圍，即可比較大小；【詳解】解：由題得，，，故有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量與向量平行，，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解，涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.6.支付寶和微信已經(jīng)成為如今最流行的電子支付方式，某市通過隨機(jī)詢問100名居民（男女居民各50名）喜愛支付寶支付還是微信支付，得到如下的列聯(lián)表：附表及公式：，則下列結(jié)論正確的是（）.A.在犯錯的概率不超過的前提下，認(rèn)為“支付方式與性別有關(guān)”B.在犯錯的概率超過的前提下，認(rèn)為“支付方式與性別有關(guān)”C.有以上的把握認(rèn)為“支付方式與性別有關(guān)”D.有以上的把握認(rèn)為“支付方式與性別無關(guān)”【答案】C【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)題意得出、、以及，然后將其帶入中，最終通過計(jì)算并與表中數(shù)據(jù)進(jìn)行對比即可得出結(jié)果.【詳解】由列聯(lián)表得到，，，，代入，解得，因?yàn)?，所以有以上的把握認(rèn)為“支付方式與性別有關(guān)”，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，能否明確、、、所對應(yīng)的數(shù)字是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算實(shí)力，是簡潔題.7.秦九韶算法的主要功能就是計(jì)算函數(shù)多項(xiàng)式的值，如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入，，依次輸入為1，2，4，則輸出的的值為（）.A.4 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】模擬程序運(yùn)行，視察變量值的改變，推斷循環(huán)條件后可得結(jié)論．【詳解】輸入時，，，此時不成立；輸入時，，，此時不成立；輸入時，，，此時成立；輸出的的值為12，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運(yùn)行，視察程序中變量值的改變，得出結(jié)論．8.數(shù)列中，已知對隨意，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解可得,進(jìn)而得到為等比數(shù)列,首項(xiàng),公比為,再利用等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】①當(dāng),②①-②得,又符合.為等比數(shù)列,首項(xiàng),公比為,為等比數(shù)列,首項(xiàng),公比為,故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系以及等比數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.9.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，即可求得的不等關(guān)系，據(jù)此求得離心率范圍.【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，且“右”區(qū)域由不等式組確定，∵點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，∴，即，∴，即雙曲線離心率e的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率范圍的求解，屬中檔題.10.已知角始邊與軸的非負(fù)半軸重合，與圓相交于點(diǎn)，終邊與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，的面積為，函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖A（2，0），在RT△BOC中，

|BC|=2|sinx|，|OC|=2|cosx|，

∴△ABC的面積為S（x）=|BC||AC|≥0，

所以解除C、D；

選項(xiàng)A、B的區(qū)分是△ABC的面積為S（x）何時取到最大值？

下面結(jié)合選項(xiàng)A、B中的圖象利用特值驗(yàn)證：

當(dāng)x=時，△ABC的面積為S（x）=×2×2=2，

當(dāng)x=時，|BC|=2|sin|=，|OC|=2|cos|=則|AC|=2+∴△ABC的面積為S（x）=××=+1＞2，

綜上可知，答案B的圖象正確，

故選B．點(diǎn)睛：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積公式，以及選擇題的解題方法：解除法和特值法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．11.已知是球的內(nèi)接三棱錐，球的半徑為2，且，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得為直徑，則中點(diǎn)即為球心，可得.由，可得為正三角形.取中心，則.在中求出，即可求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由題意知四點(diǎn)都在球面上，且為直徑，中點(diǎn)即為球心，如圖所示，，，，又，為正三角形.取中心，連接.則面，.可求得，，.又因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以點(diǎn)到面的距離為點(diǎn)到面的距離的2倍，即距離為.故選：.點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)面距，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，，若函數(shù)的全部零點(diǎn)依次記為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得，是要求解關(guān)于對稱軸對稱兩點(diǎn)與對稱軸的關(guān)系問題，須要先求出對稱軸通式，再推斷在符合定義域取值范圍內(nèi)有多少條對稱軸，確定每相鄰兩零點(diǎn)與對稱軸關(guān)系，再通過疊加法表示出，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式求和即可【詳解】函數(shù)，令，可得，即函數(shù)的對稱軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數(shù)在上有29條對稱軸，依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，（最終一條對稱軸為函數(shù)的最大值點(diǎn)，應(yīng)取前一條對應(yīng)的對稱軸）將以上各式相加得答案選A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合型正弦函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題，而相鄰兩個零點(diǎn)之間等于中間對稱軸數(shù)值的兩倍這個條件至關(guān)重要，通過每兩個相鄰零點(diǎn)疊加的方式，可表示出，難點(diǎn)在于確定對稱軸的條數(shù)問題，最終一條對稱軸是函數(shù)的最大值點(diǎn)，所以取第28條確定對稱軸數(shù)值為特別關(guān)鍵，后續(xù)通過數(shù)列的通項(xiàng)求和最終求得數(shù)值．本題整體綜合性強(qiáng)，對于邏輯性與推理性，運(yùn)算實(shí)力都有較高要求二、填空題：13.已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令可求得，再計(jì)算出，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，整理成一般式．【詳解】因?yàn)?，則，得，則，故切線方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．求切線方程時要區(qū)分在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線．14.七巧板是我國古代勞動人民的獨(dú)創(chuàng)之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形組成.如圖是一塊用七巧板組成的正方形，若在此正方形中隨意取一點(diǎn)，則該點(diǎn)來自于陰影部分的概率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)拼成的正方形的面積為1，計(jì)算出陰影部分的面積，再依據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)拼成的正方形的面積為1，由圖知，最大的三角形面積為，最小的三角形面積為，平行四邊形的面積是最小三角形面積的2倍，由此可得陰影部分的面積為，則所求的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的概率計(jì)算問題，屬于基礎(chǔ)題.15.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，、分別為的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，若，且的面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【解析】【分析】依題意可得，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以，從而得到，，，再依據(jù)的面積計(jì)算可得；【詳解】解：由，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），得，所以，，，又因?yàn)?，解得，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16.我們把一系列向量按次序排列成一列，稱之為向量列，記作.已知向量列滿意：，，設(shè)表示向量與的夾角，若，對于隨意正整數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積公式得出，進(jìn)而得出，從而得出，利用定義證明的單調(diào)性，求出其最小值，再解不等式，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】所以，故，令則所以單調(diào)遞增，所以，則因?yàn)?，所以，則解得綜上所述，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列不等式的恒成立問題，涉及了推斷數(shù)列的增減性，向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于較難題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)需求作答.（一）必考題17.在中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求角的值；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用平方關(guān)系得到，再由正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到，然后利用余弦定理求得角B.（2）結(jié)合（1）及，，由余弦定理求得，再由求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所?（2）由（1）得，即，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平方關(guān)系，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.18.為了治理空氣污染，某市設(shè)9個監(jiān)測站用于監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有2、4、3個監(jiān)測站，并以9個監(jiān)測站測得的AQI的平均值為依據(jù)播報該市的空氣質(zhì)量.（1）若某日播報的AQI為119，已知輕度污染區(qū)AQI平均值為70，中度污染區(qū)AQI平均值為115，求重試污染區(qū)AQI平均值；（2）如圖是2024年11月份30天的AQI的頻率分布直方圖，11月份僅有1天AQI在內(nèi).①某校參照官方公布的AQI，假如周日AQI小于150就組織學(xué)生參與戶外活動，以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校學(xué)生周日能參與戶外活動的概率；②環(huán)衛(wèi)部門從11月份AQI不小于170的數(shù)據(jù)中抽取三天的數(shù)據(jù)進(jìn)行探討，求抽取的這三天中AQI值不小于200的天數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）①②詳見解析【解析】【分析】（1）設(shè)重度污染區(qū)AQI平均值為,依據(jù)每日9個監(jiān)測站測得的AQI總值進(jìn)行求解即可；（2）①由頻率分布直方圖可得AQI在不小于140的不同區(qū)間的頻數(shù),再依據(jù)11月份僅有1天AQI在內(nèi),即可獲得AQI不小于150的頻數(shù),進(jìn)而求解；②由①,AQI不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,則的全部可能取值為0,1,2,進(jìn)而依據(jù)超幾何分布求解分布列和期望【詳解】解:（1）設(shè)重度污染區(qū)AQI平均值為,則,解得.（2）①AQI在上的有天,AQI在上的有天,AQI在上的有天,因?yàn)?1月份僅有1天AQI在內(nèi),所以11月份AQI不小于150的共天,即能參與戶外活動的概率為.②由①,AQI不小于170天的共7天,不小于200天的共2天,則的全部可能取值為0,1,2,所以,,,所以的分布列為:012則.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,考查利用頻率分布直方圖求頻數(shù),考查超幾何分布的分布列和期望.19.如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，中點(diǎn)，為線段上的一個動點(diǎn).（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時，證明：.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連，可證四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結(jié)論；（2）不妨設(shè)，如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到坐標(biāo)，求出平面的法向量坐標(biāo)，取平面法向量為，依據(jù)已知求出，證明即可.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，在直三棱柱中，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）不妨設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，所以平面的一個法向量，平面的一個法向量，所以，此時，，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查直線與平面平行、異面直線垂直的證明，利用空間向量法求二面角的余弦，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.20.已知拋物線，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn).（1）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，直線的方程為；定值為【解析】【分析】（1）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后，用將表示出來即可.（2）假設(shè)滿意條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，然后將表示出來即可.【詳解】（1）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，，直線的方程為，與聯(lián)立得.由韋達(dá)定理得：，，于是，所以當(dāng)時，面積最小值，最小值為.（2）假設(shè)滿意條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，則.設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，，則，，于是有.當(dāng)，即時，為定值.故滿意條件的直線存在，其方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形面積的最值及弦長的定值問題，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，推斷并說明函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).若函數(shù)全部零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，求的最小值.【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）存在兩個零點(diǎn)，，且，，詳見解析；的最小值為3【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分，三種狀況分類探討求解..（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，則，故不存在零點(diǎn)；然后從定義域入手，分，，，四種狀況分類探討求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，（舍）.當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，則，故不存在零點(diǎn)；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一，使得.當(dāng)時，，，所以單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，，因此，在上恒成立，故不存在零點(diǎn).當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，單調(diào)遞減，又，，所以存在唯一，使得.當(dāng)時，，故不存在零點(diǎn).綜上，存在兩個