2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.3誘導(dǎo)公式一課一練含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1第五章三角函數(shù)5.3誘導(dǎo)公式第1課時(shí)誘導(dǎo)公式(1)考點(diǎn)1誘導(dǎo)公式的理解1.已知角α和β的終邊關(guān)于x軸對稱,則下列各式中正確的是()。A.sinα=sinβB.sin(α-2π)=sinβC.cosα=cosβD.cos(2π-α)=-cosβ答案:C解析:由角α和β的終邊關(guān)于x軸對稱,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故cosα=cosβ。2.已知f(x)=sinx,下列式子中成立的是()。A.f(x+π)=sinx B.f(2π-x)=sinxC.fx-π2=-cosxD.f答案:C解析:f(x+π)=sin(x+π)=-sinx,f(2π-x)=sin(2π-x)=-sinx,fx-π2=sinx-π2=-sinπ2-x=-cosx,f(π-x)=sin(π-x)=sin3.若角A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,則下列等式中肯定成立的是()。A.cos(A+B)=cosC B.sin(A+B)=-sinCC.cosA2+C=sinB D.sin答案:D解析:∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,∴A,B都不正確。同理,B+C=π-A,∴sinB+C2=sinπ2-4.已知函數(shù)f(x)=cosx2,則下列等式中成立的是()A.f(2π-x)=f(x) B.f(2π+x)=f(x)C.f(-x)=-f(x) D.f(-x)=f(x)答案:D解析:對于A,f(2π-x)=cos2π-x2=cosπ-x2=-cosx2≠f(x),A不成立;對于B,f(2π+x)=cos2π+x2=cosπ+x2=-cosx2≠f(x),B不成立;對于C,f(-x)=cos-x2考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式二~四的應(yīng)用5.(2024·天津一中高一上期末考試)化簡sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的結(jié)果為()。A.1 B.2sin2αC.0 D.2答案:D解析:原式=(-sinα)2-(-cosα)·cosα+1=sin2α+cos2α+1=2。6.(2024·河北保定一中高一期中考試)已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(kπA.{-1,1,-2,2} B.{1,-1}C.{2,-2} D.{-2,-1,0,1,2}答案:C解析:當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),A=2;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),A=-2。故A構(gòu)成的集合為{-2,2}。7.(2024·銀川調(diào)考)sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是()。A.14 B.34 C.114答案:A解析:原式=sin230°+sin245°+2sin(180°+30°)+cos2(180°+45°)=122+222+(-2sin30°)+-222=18.(2024·成都七中月考)下列三角函數(shù):①sinnπ+43③sin2nπ+π⑤sin(2n+1)π其中函數(shù)值與sinπ3的值相同的是()A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤答案:C解析:①sinnπ+43π=(-1)nsin43π=(-1)n+1sinπ3;②cos2nπ+π6=cosπ6=sinπ3;③sin2nπ+π3=sinπ3;④cos9.(2024·鄭州調(diào)考)已知sinα-π4=32,則sin5π4A.12 B.-12 C.32 答案:C解析:sin5π4-α=sinπ-α10.(2024·成都診斷)若cos(-100°)=a,則tan80°等于()。A.-1-a2C.-1+a2a答案:A解析:cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=a,∴cos80°=-a。又sin280°+cos280°=1,sin80°>0,∴sin80°=1-cos280°=1-(-a)2=11.(2024·重慶調(diào)考)已知cos(508°-α)=1213,則cos(212°+α)=答案:12解析:由于cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=1213所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=121312.(2024·武漢四月調(diào)考)設(shè)函數(shù)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零實(shí)數(shù),且滿意f(2024)=-1,則f(2024)的值為。

答案:1解析:∵f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=-1,∴f(2024)=asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)=asin[π+(2024π+α)]+bcos[π+(2024π+β)]=-[asin(2024π+α)+bcos(2024π+β)]=1。13.(2024·天津一中期中)化簡1-2sin10°答案:1解析:原式=(sin10°-cos10°14.(2024·東北育才中學(xué)檢測)化簡下列各式:(1)cos(答案:原式=-=-cosα(2)cos190°·答案:原式=cos=-=-12-考點(diǎn)3誘導(dǎo)公式五、六的應(yīng)用15.已知cosπ2+φ=32,且|φ|<π2,則tanφA.-33 B.33 C.-3 答案:C解析:由cosπ2+φ=-sinφ=32,得sinφ=-32。又|φ|<π2,∴φ=-π316.(2024·浙江溫州高一下期末考試)若cosπ12-θ=13,則sin5πA.13 B.223 C.-13答案:A解析:∵cosπ12-θ=13,∴sin5π12+θ=sinπ217.(2024·石家莊模擬)已知sin10°=k,則cos620°的值等于()。A.k B.-k C.±k D.不能確定答案:B18(2024·濟(jì)南調(diào)考)已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,則cosπA.233 B.13 C.-13答案:D解析:cosπ12-α=cosπ2-5π12+α=sin5π12+α。又-π<α<-π2,∴-7π12<考點(diǎn)4誘導(dǎo)公式二~六的綜合應(yīng)用19.(2024·西安月考)假如sin(π+α)=12,那么cos32π-αA.12 B.-12 C.32 答案:A解析:∵sin(π+α)=-sinα=12,∴sinα=-12,∴cos32π-20.(2024·寧波調(diào)考)若sin(π+α)+cosπ2+α=-m,則cosπ2-α+2sin(3π-αA.-23m B.23m C.-32m 答案:D21(2024·西安調(diào)考)已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,則cos(30°-α)的值為()A.-223 B.223 C.-答案:A解析:由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°。又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-1-cos222.(2024·北京東城區(qū)期末測試)若tan(π-α)=2,則2sin(3π+α)·cos5π2+α+sin32π-α答案:223(2024·南京質(zhì)檢)已知sinα是方程5x2-7x-6=0的實(shí)根,α是第三象限角,則sin-α-答案:3解析:5x2-7x-6=0的兩實(shí)根x1=-35,x2=2,故sinα=-35又α為第三象限角,故cosα=-45,所以原式=cosα(-第2課時(shí)誘導(dǎo)公式(2)考點(diǎn)1給角求值問題1.(2024·浙江杭州高一上期末)sin315°+sin(-480°)+cos(-330°)的值為()。A.12 B.-12 C.-22答案:C解析:原式=sin(360°-45°)+sin(-360°-120°)+cos(-360°+30°)=-sin45°-sin60°+cos30°=-22-32+32=-22.(2024·寧波一中月考)計(jì)算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=()。A.89 B.90 C.892 答案:C解析:∵sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1,sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1,…,∴sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin244°+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos23°+cos22°+cos21°=44+12=89【歸納總結(jié)】給角求值的運(yùn)算規(guī)則:負(fù)化正,大化小,化到銳角再查表。3.(2024·江蘇啟東中學(xué)月考)計(jì)算:cos(-585°)答案:2-2解析:原式=cos585°sin(360°+135°)-sin(3604.(2024·合肥二中月考)若k為整數(shù),則sinkπ-23π·答案:-34解析:分k為奇數(shù)和k為偶數(shù)兩種狀況進(jìn)行探討。(1)當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),原式=sin2nπ-23π·cos2nπ+π6=-sin23πcosπ(2)當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),原式=sin2nπ+π-2π3·cos2nπ+π+π6=sinπ3cos所以sinkπ-23πcoskπ+π考點(diǎn)2給值求值問題5.(2024·成都七中月考)已知sinα-π4=13,則cosπ4A.223 B.-232 C.1答案:D解析:∵π4+α-α-π4=π2,∴cosπ4+α=sin6.(2024·江西贛州十三縣十四校高一上聯(lián)考)設(shè)tanα=3,則sin(α-πA.3 B.2 C.1 D.-1答案:B解析:sin(α-π)+cos(π7.(2024·安徽江南六校高一聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)滿意f(cosx)=1-cos2x,則f(sin15°)=。

答案:1+32解析:∵f(cosx)=1-cos2x,∴f(sin15°)=f(cos75°)=1-cos150°=1-cos(180°-30°)=1+cos30°=1+328.(2024·黑龍江鶴崗一中高一上期末考試)已知f(α)=sin((1)化簡f(α);答案:f(α)=sinα·cos(2)若α是第三象限角,且cosα-3π2=15,求f答案:因?yàn)棣潦堑谌笙藿?且cosα-3π2所以sinα=-15,cosα=-265,所以f(α)=-cosα考點(diǎn)3利用誘導(dǎo)公式化簡求值問題9.(2024·南寧一中月考)cos(α+π)·siA.1 B.-1 C.sinα D.tanα答案:B解析:原式=-cosα·sin210.化簡sin400°sin(-答案:cos50° 解析:sin400°sin(-230°)cos850°11.(2024·陜西西安鐵一中單元測評(píng))化簡cosα-π2sin52π+α·sin(答案:-sin2α解析:原式=cosπ2-αsin2π+π2+α·(-sinα)·cos(-α)=sinαsinπ2+α·(-sinα)考點(diǎn)4利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式問題12.(2024·武漢二中月考)求證:tan(2π答案:證明:左邊=tan(-α)-所以原式成立?？键c(diǎn)5誘導(dǎo)公式的綜合問題13.(2024·河北武邑中學(xué)高一周考)若sin(π-θ)<0,tan(π+θ)>0,則θ的終邊在()。A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案:C解析:因?yàn)閟in(π-θ)=sinθ<0,且tan(π+θ)=tanθ>0,所以θ的終邊在第三象限,故選C。14.(2024·青島調(diào)考)已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-33π4,則a,b,cA.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b答案:A解析:∵a=tan-7π6=-tanπ+π6=-tanπ6=-33,b=cos23π4=cos6π-π4=cosπ4=22,c=sin-33π15.(2024·西安調(diào)考)假如f(sinx)=cos2x,那么f(cosx)=()。A.-sin2x B.sin2xC.-cos2x D.cos2x答案:C解析:f(cosx)=fsinπ2-x=cos2π216.(2024·江西南昌蓮塘一中月考)已知sinx+π6=14,則sin5π6-答案:5解析:∵sin5π6-x=sinπcos2π3-x=1-sin2π3-x=1-sin2π2又sinx+π6=14,∴sin5π6-x+cos2π3-x=sinx17.(2024·吉林四平高一上期末聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-cosπx,x>0,f(答案:3解析:f43=-cos4π3=cosπ3=12,f-43=f-43+1+1=f-13+1=f-13+1+1+1=f23+2=-cos2π3+2=cosπ318.(2024·哈爾濱測評(píng))化簡:sin4k-14π-α+cos4答案:0解析:原式=sinkπ-π當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),設(shè)k=2n+1(n∈Z),則原式=sin(2n=sinπ-π=sinπ4+=sinπ4+=sinπ4+α當(dāng)k為偶