人教A版高中數(shù)學(xué)（必修第一冊）同步講義 5.1任意角和弧度制（教師版）

第第頁5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見特殊角對應(yīng)的弧度數(shù)。⑤掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式，能用公式進行簡單的弧長及面積運算。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長公式和面積公式的運用；知識點01：任意角1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.3、角的運算設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是任意兩個角，SKIPIF1<0為角SKIPIF1<0的相反角．(1)SKIPIF1<0：把角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)角SKIPIF1<0.（SKIPIF1<0時,旋轉(zhuǎn)量為SKIPIF1<0,按逆時針方向旋轉(zhuǎn);SKIPIF1<0時,旋轉(zhuǎn)量為SKIPIF1<0,按順時針方向旋轉(zhuǎn)）(2)SKIPIF1<0：SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2023秋·高一課時練習(xí)）若角α＝30°，把角α逆時針旋轉(zhuǎn)20°得到角β，則β＝.【答案】50°【詳解】因為由SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0知識點02：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.2、象限角的常用表示：第一象限角SKIPIF1<0第二象限角SKIPIF1<0第三象限角SKIPIF1<0或SKIPIF1<0第四象限角SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知識點03：軸線角1、定義：軸線角是指以原點為頂點，SKIPIF1<0軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在SKIPIF1<0軸非負(fù)半軸SKIPIF1<0②終邊落在SKIPIF1<0軸非負(fù)半軸SKIPIF1<0③終邊落在SKIPIF1<0軸非正半軸SKIPIF1<0或SKIPIF1<0④終邊落在SKIPIF1<0軸非正半軸SKIPIF1<0或SKIPIF1<0⑤終邊落在SKIPIF1<0軸SKIPIF1<0⑥終邊落在SKIPIF1<0軸SKIPIF1<0或SKIPIF1<0⑦終邊落在坐標(biāo)軸SKIPIF1<0知識點04：終邊相同的角的集合所有與角SKIPIF1<0終邊相同的角為SKIPIF1<0【即學(xué)即練2】下列各角中，與SKIPIF1<0角終邊重合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】與SKIPIF1<0角終邊重合的角為：SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故C正確.經(jīng)檢驗，其他選項都不正確.故選：C.知識點05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1SKIPIF1<0，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<03、常用的角度與弧度對應(yīng)表角度制SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弧制度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【即學(xué)即練3】利用單位圓，寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圓心角的弧度數(shù)．【答案】SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【詳解】在單位圓中，SKIPIF1<0的圓心角的弧長是SKIPIF1<0，那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圓心角的弧長是SKIPIF1<0，那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是SKIPIF1<0．知識點06：扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：SKIPIF1<0.【即學(xué)即練4】已知一扇形的圓心角為SKIPIF1<0，半徑為9，則該扇形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0，所以該扇形的面積為SKIPIF1<0．故選：A題型01任意角的概念【典例1】（多選）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說：“經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)了SKIPIF1<0．”B．小錢同學(xué)說：“經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)了SKIPIF1<0．”C．小孫同學(xué)說：“當(dāng)時鐘顯示的時刻為12:35時，時針與分針?biāo)鶌A的鈍角為SKIPIF1<0．”D．小李同學(xué)說：“時鐘的時針與分針一天之內(nèi)會重合22次．”【答案】ACD【詳解】解：經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)過的角度對應(yīng)的弧度數(shù)為SKIPIF1<0，故A正確．經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)過的角度對應(yīng)的弧度數(shù)為SKIPIF1<0，故B錯誤．時鐘顯示的時刻為12:35，該時刻的時針與分針?biāo)鶌A的鈍角為SKIPIF1<0，故C正確．分針比時針多走一圈便會重合一次，設(shè)分針走了tmin，第n次和時針重合，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D正確．故選：ACD【典例2】親愛的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時間是2小時，則從考試開始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為鐘表的分針轉(zhuǎn)了兩圈，且是按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【詳解】鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的，而SKIPIF1<0×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.故選：B【變式2】時鐘走了3小時20分，則時針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】因為時針每小時轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，分針每小時轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，又因為時針、分針都按順時針方向旋轉(zhuǎn)，故時針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為SKIPIF1<0，分針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0題型02終邊相同的角【典例1】下列各角中，與SKIPIF1<0角終邊相同的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對于B，因為SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0與角SKIPIF1<0的終邊相同，B正確；對于A，因為SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，A錯誤；對于C，因為SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，C錯誤；對于D，因為SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，D錯誤.故選：B.【典例2】（多選）與SKIPIF1<0角終邊相同的角的集合是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】與SKIPIF1<0終邊相同的角可寫為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0角終邊相同的角的集合為：SKIPIF1<0，A正確；SKIPIF1<0，C正確.故選：AC.【變式1】下列角的終邊與SKIPIF1<0角的終邊關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意知，與SKIPIF1<0角的終邊關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱的角為SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正確.經(jīng)驗證，其他三項均不符合要求.故選：SKIPIF1<0.【變式2】已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．【答案】﹣960°．【詳解】試題分析：α與120°角終邊相同，可表示為α=k?360°+120°，k∈Z，結(jié)合角的范圍，可得結(jié)論．解：α與120°角終邊相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此時α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案為﹣960°．題型03終邊在某條直線上的角的集合【典例1】若角SKIPIF1<0的終邊在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，試寫出角SKIPIF1<0的集合為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是第二、四象限的平分線，在SKIPIF1<0～SKIPIF1<0范圍內(nèi)，以第二象限射線為終邊的角為SKIPIF1<0，以第四象限射線為終邊的角為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的集合為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【典例2】寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見解析【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為SKIPIF1<0，所有與180°角終邊相同的角的集合為SKIPIF1<0，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為SKIPIF1<0．（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為SKIPIF1<0．（3）結(jié)合（2）知所求角的集合為SKIPIF1<0同理可得終邊在直線y＝x、y=-x上的角的集合為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【變式1】若角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線SKIPIF1<0上，則角α的取值集合是【答案】SKIPIF1<0【詳解】直線SKIPIF1<0的傾斜角是SKIPIF1<0，所以終邊落在直線SKIPIF1<0上的角的取值集合為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【變式2】在直角坐標(biāo)系中寫出下列角的集合：(1)終邊在SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在SKIPIF1<0上．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角有一個，它是0°，所以終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為SKIPIF1<0.（2）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個，它是45°，所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為SKIPIF1<0.題型04區(qū)域角【典例1】用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1SKIPIF1<0；圖2SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0角的終邊可以看作是SKIPIF1<0角的終邊，化為弧度，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0角的終邊即SKIPIF1<0的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為SKIPIF1<0．（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典例2】寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）在SKIPIF1<0范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為SKIPIF1<0，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為SKIPIF1<0，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為SKIPIF1<0；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式1】）集合SKIPIF1<0中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0表示的范圍與SKIPIF1<0表示的范圍一樣；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0表示的范圍與SKIPIF1<0表示的范圍一樣，故選：C．【變式2】已知角SKIPIF1<0的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】終邊在SKIPIF1<0角的終邊所在直線上的角的集合為SKIPIF1<0，終邊在SKIPIF1<0角的終邊所在直線上的角的集合為SKIPIF1<0，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，所以角SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式3】用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.題型05確定角的終邊所在的象限【典例1】已知SKIPIF1<0為第二象限角，則SKIPIF1<0所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0為第二象限角，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為第三象限角；②當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為第一象限角.綜上所述，SKIPIF1<0為第一或第三象限角.故選：D.【典例2】（多選）如果α是第三象限的角，那么SKIPIF1<0可能是下列哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【詳解】SKIPIF1<0是第三象限的角，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第一象限；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第三象限；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第四象限；所以SKIPIF1<0可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD【典例3】已知角SKIPIF1<0第二象限角，且SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】因為角SKIPIF1<0第二象限角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為第一象限角；當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為第三象限角.；綜上所述：SKIPIF1<0為第一象限角或第三象限角，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為第三象限角．故選：C．【變式1】已知SKIPIF1<0是第一象限角，那么（

）A．SKIPIF1<0是第一、二象限角 B．SKIPIF1<0是第一、三象限角C．SKIPIF1<0是第三、四象限角 D．SKIPIF1<0是第二、四象限角【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0是第一象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0是第一象限角，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0是第三象限角，綜上所述，SKIPIF1<0第一、三象限角.故選：B.【變式2】若SKIPIF1<0是第三象限角，則SKIPIF1<0所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0為第三象限角,即SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時,SKIPIF1<0是第四象限的角;當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時,SKIPIF1<0是第二象限的角.故選:D.【變式3】若角SKIPIF1<0是第二象限角，試確定角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第幾象限角．【答案】SKIPIF1<0可能是第三象限角、第四象限角或終邊在SKIPIF1<0軸非正半軸上的角；SKIPIF1<0可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【詳解】因為SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可能是第三象限角、第四象限角或終邊在SKIPIF1<0軸非正半軸上的角．又由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0是第一象限角；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0是第二象限角；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0是第四象限角．綜上所述，SKIPIF1<0可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．題型06弧度制的概念【典例1】自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意，當(dāng)大鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過SKIPIF1<0周，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度是SKIPIF1<0.故選B.【典例2】下列說法正確的是（）A．弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【詳解】對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．【變式1】下列與SKIPIF1<0終邊相同角的集合中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為角度值和弧度制不能混用，故A、B錯誤；因為SKIPIF1<0，故C正確；對于選項D：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0終邊不相同，故D錯誤；故選：C.【變式2】若SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由于SKIPIF1<0，故角SKIPIF1<0的終邊在第一象限，故選：A題型07角度與弧度的互化【典例1】（多選）下列各角中，與角SKIPIF1<0終邊相同的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【詳解】對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正確；對于B，與SKIPIF1<0終邊相同的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故B正確；對于C，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D錯誤．故選：AB.【典例2】把下列各角從度化為弧度：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【變式1】設(shè)r為圓的半徑，弧長為SKIPIF1<0的圓弧所對的圓心角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由弧長、圓心角、半徑的關(guān)系：SKIPIF1<0，弧長為SKIPIF1<0的圓弧所對的圓心角：SKIPIF1<0.故選：A.【變式2】SKIPIF1<0化為角度是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0.故選：B題型08用弧度表示角或范圍【典例1】寫出一個與角SKIPIF1<0終邊相同的正角：SKIPIF1<0（用弧度數(shù)表示）.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，符合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可）【詳解】與角SKIPIF1<0終邊相同的角：SKIPIF1<0又題目要求正角，SKIPIF1<0可取SKIPIF1<0，化為弧度數(shù)為SKIPIF1<0.答案不唯一故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一，符合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可）【典例2】已知SKIPIF1<0.(1)將SKIPIF1<0寫成SKIPIF1<0的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與SKIPIF1<0終邊相同的角SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，是第四象限角；(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是第四象限角.（2）SKIPIF1<0，所以與SKIPIF1<0終邊相同的角可表示為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【變式1】將－1485°化成SKIPIF1<0的形式是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以－1485°可化成SKIPIF1<0．故選：D．【變式2】已知角SKIPIF1<0.(1)將SKIPIF1<0改寫成SKIPIF1<0的形式，并指出SKIPIF1<0是第幾象限的角；(2)在區(qū)間SKIPIF1<0上找出與SKIPIF1<0終邊相同的角．【答案】(1)SKIPIF1<0，第二象限角(2)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為第二象限，所以SKIPIF1<0是第二象限角；（2）與SKIPIF1<0終邊相同的角可以寫出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以在區(qū)間SKIPIF1<0上與SKIPIF1<0終邊相同的角為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．題型09弧長公式【典例1】若扇形的面積是SKIPIF1<0，它的周長是SKIPIF1<0，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)扇形的半徑為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，由題意，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．故扇形圓心角的弧度數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A【典例2】若扇形的圓心角為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0.則它的弧長為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，又扇形的圓心角為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以它的弧長為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【變式1】已知扇形面積SKIPIF1<0，半徑是1，則扇形的周長是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)扇形的弧長為SKIPIF1<0，由扇形的面積公式可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則扇形的周長為SKIPIF1<0.故選：C【變式2】已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)扇形的半徑為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以扇形的周長為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型10扇形面積公式【典例1】圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.【答案】1【詳解】設(shè)扇形的半徑為SKIPIF1<0，弧長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，扇形的面積SKIPIF1<0.故答案為：1.【典例2】建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0，則此扇環(huán)形磚雕的面積為SKIPIF1<0．

【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)圓心角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以此扇環(huán)形磚雕的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1】已知扇形弧長為SKIPIF1<0，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】B【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為SKIPIF1<0，因為扇形弧長為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由扇形的面積公式，可得SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開的中心角為SKIPIF1<0，外圓半徑為40cm，內(nèi)圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為cm2

【答案】400π【詳解】解：根據(jù)題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為SKIPIF1<0.故答案為：400π題型11扇形中的最值問題【典例1】已知一個扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時，圓心角大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【詳解】設(shè)扇形的半徑為SKIPIF1<0，弧長為SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，扇形面積為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，此時SKIPIF1<0，則圓心角SKIPIF1<0，故選：D.【典例2】已知一扇形的圓心角為SKIPIF1<0，半徑為R，弧長為l．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)扇形周長的最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以扇形的弧長SKIPIF1<0；（2）由扇形面積SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則扇形周長為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，取等號，此時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以扇形周長的最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.【典例3】已知扇形的圓心角是SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求扇形的弧長SKIPIF1<0.（2）若扇形的周長為SKIPIF1<0，當(dāng)扇形的圓心角SKIPIF1<0為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，扇形的面積取得最大值25.【詳解】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由已知得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值25，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【變式1】已知扇形的圓心角為SKIPIF1<0，所在圓的半徑為SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧長SKIPIF1<0(2)若扇形的周長為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為多少弧度時，該扇形面積最大SKIPIF1<0并求出最大面積．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，扇形的面積最大，最大面積是SKIPIF1<0．【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由題設(shè)條件知，SKIPIF1<0,因此扇形的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，扇形的面積最大，最大面積是SKIPIF1<0．【變式1】已知扇形的圓心角為SKIPIF1<0，所在圓的半徑為r．(1)若SKIPIF1<0，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)SKIPIF1<0為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為l．因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由題設(shè)條件，知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以扇形的面積SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，S有最大值36，此時SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，扇形的面積最大，最大面積是36．【變式1】已知一扇形的圓心角為SKIPIF1<0，所在圓的半徑為R.（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角SKIPIF1<0等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為l，弓形面積為S，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）設(shè)扇形弧長為l，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴扇形面積SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，S有最大值SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此當(dāng)SKIPIF1<0時，這個扇形面積最大.A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于SKIPIF1<0的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【詳解】銳角是指大于SKIPIF1<0小于SKIPIF1<0的角，故其在第一象限，即A正確；選項B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差SKIPIF1<0整數(shù)倍，故錯誤；選項C．小于SKIPIF1<0的角不一定在第一象限，也可以為負(fù)角，故錯誤；選項D．根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負(fù)角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象限角，故錯誤.故選：A2．把SKIPIF1<0表示成SKIPIF1<0的形式，則θ的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：B．3．已知角的集合SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0內(nèi)的角有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【詳解】依題意，解不等式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0內(nèi)的角有3個.故選：B4．一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點SKIPIF1<0同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以SKIPIF1<0的速度爬行，黑螞蟻以SKIPIF1<0的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】

如圖所示，紅螞蟻以SKIPIF1<0的速度爬行，黑螞蟻以SKIPIF1<0的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為SKIPIF1<0，到達B處，黑螞蟻繞圓的角度為SKIPIF1<0，到達C處，此時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為正三角形，故SKIPIF1<0.故選：A5．已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A6．某圓臺的側(cè)面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為SKIPIF1<0，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角SKIPIF1<0的大小為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由該扇環(huán)的面積為SKIPIF1<0，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即扇環(huán)的圓心角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.故選：D.7．扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久，最早關(guān)于扇面書畫的文獻記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫的外弧長為48，內(nèi)弧長為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）

A．990 B．495 C．380 D．300【答案】C【詳解】如圖，

設(shè)該扇面畫的外弧所在圓的半徑為R，弧長為SKIPIF1<0，內(nèi)弧所在圓的半徑為r，弧長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以扇面畫的面積約為SKIPIF1<0.故選：C.8．玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】如圖，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由弧長公式可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)扇形SKIPIF1<0，扇形SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該壁畫的扇面面積約為SKIPIF1<0．故選：A二、多選題9．若角SKIPIF1<0的終邊與角SKIPIF1<0的終邊關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】因為角SKIPIF1<0的終邊與角SKIPIF1<0的終邊關(guān)于x軸對稱，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故選：AD.10．已知SKIPIF1<0為第四象限角，則SKIPIF1<0可能為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【詳解】由題意知SKIPIF1<0為第四象限角，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為第四象限角，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為第二象限角，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為第三象限角，即SKIPIF1<0可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，故選：SKIPIF1<0三、填空題11．已知半徑為SKIPIF1<0的扇形的圓心角為SKIPIF1<0，則扇形的面積為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為半徑SKIPIF1<0扇形的圓心角為SKIPIF1<0，則圓心角SKIPIF1<0，所以弧長SKIPIF1<0，面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．如圖，半徑為1的圓M與直線l相切于點A，圓M沿著直線l滾動．當(dāng)圓M滾動到圓SKIPIF1<0時，圓SKIPIF1<0與直線l相切于點B，點A運動到點SKIPIF1<0，線段AB的長度為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】根據(jù)條件可知圓周長為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故可得圓旋轉(zhuǎn)了SKIPIF1<0圓周，SKIPIF1<0位置如圖：則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．四、解答題13．寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）由題圖易知，在SKIPIF1<0范圍內(nèi)，終邊在直線SKIPIF1<0上的角有兩個，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因此，終邊在直線S