2024-2025學年河北省秦皇島市山海關一中高三（上）第一次模擬數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河北省秦皇島市山海關一中高三（上）第一次模擬數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=4}，B={(x,y)|y=2cosx}A.5個 B.6個 C.7個 D.8個2.若干人站成一排，其中為互斥事件的是(

)A.“甲站排頭”與“乙站排頭” B.“甲站排頭”與“乙站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙不站排頭” D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”3.拋物線y=2x2的準線方程為(

)A.y=?18 B.y=?12 C.4.已知直線a，b，c是三條不同的直線，平面α，β，γ是三個不同的平面，下列命題正確的是(

)A.若a//α，b//α，則a//b

B.若a//b，a//α，則b//α

C.若a?α，b?α，且a//β，b//β，則α//β

D.α，β，γ三個平面最多可將空間分割成8個部分5.若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側面積為(

)A.24 B.32 C.96 D.1286.已知雙曲線C：x2a2?y2=1(a>0)，點M在C上，過點M作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，BA.62 B.233 7.直線y=2x?2與曲線y=sinπx+xx?1?1的交點個數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.58.已知函數(shù)f(x)=lnx?mx2+x，若不等式f(x)>0的解集中佮有兩個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是A.[2+ln28,3+ln39) B.(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x)=f(2?x)，則(

)A.f(0)=0 B.f(x)的圖象關于直線x=2對稱

C.f(x)=?f(x+4) D.f(x)的一個周期為410.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的圖象過點A(0,1)和B(x0,?2)(A.φ=π6

B.ω=π3

C.當x∈[?14,1]時，函數(shù)f(x)11.已知函數(shù)f(x)=x3?2ax2+bx+c(a,b,c∈R)，f′(x)A.“a=c=0”是“f(x)為奇函數(shù)”的充要條件

B.“a=b=0”是“f(x)為增函數(shù)”的充要條件

C.若不等式f(x)<0的解集為{x|x<1且x≠?1}，則f(x)的極小值為?3227

D.若x1，x2是方程f′(x)=0的兩個不同的根，且1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項式(x?y)6的展開式中x413.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù).當0<x<2時，f(x)=log2(x+1)，則f(101)=14.二階魔方是一個2×2×2的正方體，由8個角塊組成，沒有中心塊和棱塊，結構相對簡單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同(即通過整體旋轉后相同)的情況只算一種，則任意二階魔方共有______種不同的狀態(tài).(提示：任選其中1個角塊作為參考，則其余7塊能自由排列，在這7塊中，任意確定6塊，最后1塊也就唯一確定了)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且bcosA+3bsinA=a+c．

(1)求B；

(2)若b=2，△ABC的面積為3，D為AC邊上一點，滿足CD=2AD16.(本小題15分)

4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國將這天定為“聯(lián)合國中文日”，以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進聯(lián)合國六種官方語言平等使用.某大學面向在校留學生舉辦中文知識競賽，每位留學生隨機抽取問題并依次作答，其中每個問題的回答相互獨立.若答對一題記2分，答錯一題記1分，已知甲留學生答對每個問題的概率為14，答錯的概率為34．

(1)甲留學生隨機抽取3題，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學期望；

(2)(ⅰ)若甲留學生隨機抽取m道題，記總得分恰為2m分的概率為Pm，求數(shù)列{Pm}的前m項和；

(ⅱ)記甲留學生已答過的題累計得分恰為n17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2alnx+34x2?(a+3)x.(a∈R)

(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為f(x)=?x+b，求a和b的值；

(2)18.(本小題15分)

某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95].根據(jù)長期檢測結果，得到芯片的質量指標值X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，并把質量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為B等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)長期檢測結果，該芯片質量指標值的標準差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x?作為μ的近似值，用樣本標準差s作為σ的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ?3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973.)

(2)(i)從樣本的質量指標值在[45,55)和[85,95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質量指標值在[85,95]的芯片件數(shù)為η，求η的分布列和數(shù)學期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件A等品芯片的利潤是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利潤是ln19.(本小題17分)

對于任意正整數(shù)n，進行如下操作：若n為偶數(shù)，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為an；若n為奇數(shù)，則對3n+1不斷地除以2，直到得出一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為an.若an=1，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”．

(1)求20以內的質數(shù)“理想數(shù)”；

(2)已知am=m?9.求m的值；

(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列{bn}，記{參考答案1.C

2.A

3.A

4.D

5.C

6.B

7.A

8.C

9.AD

10.AD

11.ACD

12.15

13.?1

14.3674160

15.解：(1)由正弦定理可得sinBcosA+3sinBsinA=sinA+sinC，

由sinC=sin(A+B)化簡得3sinBsinA=sinA+sinAcosB，

由sinA≠0有3sinB=1+cosB，可得sin(B?π6)=12，

故B?π6=π6或B?π6=5π6(舍)，則B=π3；

(2)∵S=116.解：(1)依題意可得X的可能取值為3、4、5、6，

則P(X=3)=(34)3=2764，P(X=4)=C31×(X3456P272791所以E(X)=3×2764+4×2764+5×964+6×164=24064=154．

(2)(ⅰ)若甲留學生隨機抽取m道題，總得分恰為2m分，即m道題均答對了，

所以Pm=(14)m，

設數(shù)列{Pm}的前m項和為Sm，則Sm=14[1?(14)m]1?14=13?13×(14)m．

17.解：(1)f(x)=2alnx+34x2?(a+3)x，則f′(x)=2ax+32x?a?3，

曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為f(x)=?x+b，

則f′(1)=a?32=?1，解得a=12，

由f(1)=?a?94=?1+b，解得b=?74．

(2)f(x)=2alnx+34x2?(a+3)x，函數(shù)定義域為(0,+∞)，

則f′(x)=2ax+32x?a?3=(3x?2a)(x?2)2x，

令f′(x)=0，解得x=2或x=2a3，

若a≤0，則當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

若0<a<3，則當x∈(2a3,2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(0,2a3)和x∈(2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

若a=3，則f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，f(x)單調遞增，

若a>3，則當x∈(2,2a3)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(0,2)和x∈(2a3,+∞)18.解：(1)由題意，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件的平均數(shù)為：x?=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69，

即μ≈x?=69，又因為σ≈s≈11，

所以X～N(69,112)，

因為質量指標值X近似服從正態(tài)分布N(69,112)，

所以P(X≥80)=1?P(69?11<X<69+11)2=1?P(μ?σ<X<μ+σ)2≈1?0.68272≈0.16，

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為0.16；

(2)(i)(0.01+0.01)×10×100=20，

所以所取樣本的個數(shù)為20件，質量指標值在[85,95]的芯片件數(shù)為10件，

故η可能取的值為0，1η0123P215152所以η的數(shù)學期望E(η)=0×219+1×1538+2×1538+3×219=32；

(ii)設每箱產(chǎn)品中A等品有Y件，則每箱產(chǎn)品中B等品有(100?Y)件，

設每箱產(chǎn)品的利潤為Z元，

由題意知：Z=mY+(100?Y)ln(25?m)=(m?ln(25?m))Y+100ln(25?m)，

由(1)知：每箱零件中A等品的概率為0.16，

所以Y～B(100,0.16)，

所以E(Y)=100×0.16=16，

所以E(Z)=E[(m?ln(25?m))Y+100ln(25?m)]=16(m?ln(25?m))+100ln(25?m)=16m+84ln(25?m)，

令f(x)=16x+84ln(25?x)(1<x<24)，

則f′(x)=16?8425?x，

令f′(x)=0得，x=79419.解：(1)易知a1=1，a2=1，a3=5，a4=1，a5=1，?(后續(xù)直到20都不滿足條件)，

∴2和5為兩個質數(shù)“理想數(shù)”；

(2)由題設可知am=m?9必為奇數(shù)，∴m必為偶數(shù)