2024-2025學(xué)年湖南省常德一中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省常德一中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={x||x?1|<2,x∈N?}，N={?1,0,1,2,3}，則M∩N=(

)A.{0,1,2} B.{1,2} C.{?1,0,1,2} D.{2,3}2.已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(?12,y)，則cosα=A.?33 B.?12 3.設(shè)a，b∈R，則“a2=b2”是“2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知曲線y=x24?3ln?x的一條切線的斜率為1A.3 B.2 C.1 D.15.若3sinα+cosα=0，則1cos2α+sin2α的值為A.103 B.53 C.236.已知實(shí)數(shù)a>0，且滿足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1)，若A.x+y>0 B.x+y>1 C.x?y>0 D.x?y>17.已知函數(shù)f(x)=x3?3x2A.?8098 B.?8096 C.0 D.81008.已知函數(shù)f(x)=5cosπxa，若存在f(x)的極值點(diǎn)x0，滿足xA.(?∞,?2)∪(2,+∞) B.(?∞,?3)?(3,+∞)

C.(?∞,?5)?(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列式子結(jié)果為3的是(

)

①tan25°+tan35°+3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；

③1+tan15°1?tanA.① B.② C.③ D.④10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π<φ<π)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.φ=?π3

B.f(x)≤f(?π12)

C.f(x)在[π,4π311.已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)+g′(x)=2，f(x)?g′(4?x)=2，若g(x)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A.f(4)=2 B.g′(2)=0 C.f(?1)=f(?3) D.f(1)+f(3)=4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若扇形的圓心角為150°，半徑為3，則該扇形的面積為______．13.曲線y=ex在x=0處的切線恰好是曲線y=ln(x+a)的切線，則實(shí)數(shù)a=14.若定義在A上的函數(shù)f(x)和定義在B上的函數(shù)g(x)，對(duì)任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)+g(x2)=t(t為常數(shù))，則稱f(x)與g(x)具有關(guān)系P(t).已知函數(shù)f(x)=2cos(2x+π6)(x∈[四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2cos2x?1.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足f(A)=1．

(1)求A的值；

(2)16.(本小題15分)

已知在多面體ABCDE中，DE//AB，AC⊥BC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC且平面DAC⊥平面ABC．

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，試證明EF⊥平面ABC；

(Ⅱ)若直線BE與平面ABC所成的角為60°，求二面角B?AD?C的余弦值．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax?1x?(a+1)lnx(a∈R)．

(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程；

(2)若f(x)既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)18.(本小題17分)

已知兩點(diǎn)A(?1,0)、B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為3，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)F(2,0)作直線l交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)均在y軸的右側(cè)，直線AP、BQ的斜率分別為k1、k2．

①證明：k1k2為定值；

②若點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)H，探究：是否存在直線l，使得△PFH的面積為919.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=alnxx+1+bx，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y?3=0．

(Ⅰ)求a、b的值；

(Ⅱ)如果當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f(x)>參考答案1.B

2.B

3.B

4.A

5.A

6.C

7.A

8.C

9.ABC

10.BD

11.ABD

12.

13.2

14.(?∞,?4]∪[4,+∞)

15.解：(1)f(x)=23sinxcosx+2cos2x?1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

因?yàn)閒(A)=2sin(2A+π6)=1，所以sin(2A+π6)=12，

又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<A<π2，所以π6<2A+π6<7π6，

則2A+π6=5π6，解得A=π3；

(2)由(1)知，銳角△ABC中，A=π3，所以B=2π3?C，

所以0<C<π20<B=23π?C<π216.解：(Ⅰ)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接EF，OF，

由在△DAC中DA=DC，所以DO⊥AC，

由平面DAC⊥平面ABC，且交線為AC，得DO⊥平面ABC，

因?yàn)镺F/?/AB，且AB=2OF，

又DE/?/AB，AB=2DE，所以O(shè)F/?/DE，且OF=DE，

∴四邊形DEFO為平行四邊形，∴EF//DO，

∴EF⊥平面ABC；

(Ⅱ)解：由DO⊥平面ABC，AC⊥BC，

以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過點(diǎn)O與BC平行的直線為y軸，OD所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(1,0,0)，C(?1,0,0)，B(?1,4,0)，

由EF⊥平面ABC，所以直線BE與平面ABC所成的角為∠EBF=60°，

所以DO=EF=BFtan60°=23，∴D(0,0,23)，

取平面ADC的法向量m=(0,1,0)，

設(shè)平面ADB的法向量n=(x,y,z)，AB=(?2,4,0)，AD=(?1,0,23)，

由n?AB=0n17.解：(1)因?yàn)閍=?1，f(x)=?x?1x，

所以f′(x)=?1+1x2，

因此f′(e)=1e2?1=1?e2e2，f(e)=?e?1e，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y+e+1e=1?e2e2(x?e)，

即y=1?e2e2x?2e；

(2)因?yàn)?8.解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)，則kMA=yx+1，kMB=yx?1，

由題意得yx+1?yx?1=3，即x2?y23=1(y≠0)，

故曲線C的方程為x2?y23=1(y≠0)；

(2)由(1)得曲線C的方程為x2?y23=1(y≠0)，

設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可設(shè)直線l的方程為x=my+2，

聯(lián)立直線的方程與曲線C的方程得x=my+2x2?y23=1，整理得(3m2?1)y2+12my+9=0，

則Δ>0y1+y2=?12m3m2?1y1?y2=9319.解：由題意f(1)=1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是(1,1)

(Ⅰ)f′(x)=a(x+1x?lnx)(x+1)2?bx2

由于直線x+2y?3=0的斜率為?12，且過點(diǎn)(1,1)，故f(1)=1f′(1)=?12

即b=1a2?b=?12解得a=1，b=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=lnxx+1+1x，所以

f(x)