高中數(shù)學(xué)“圓與圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)

“圓與圓的位置關(guān)系〃教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》（人民教育出版社A

版，課程教材研究所，數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著）必修2中第

四章《圓與方程》第二節(jié)“直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系〃的第二課時(shí)，《課

程標(biāo)準(zhǔn)》指出：能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓

的位置關(guān)系；能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

（二）、內(nèi)容解析

教材是在平面幾何對(duì)圓與圓的位置關(guān)系初步分析的根底上結(jié)合

前面學(xué)習(xí)的點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,得到判斷兩圓位置關(guān)系的

兩種方法。代數(shù)法：根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)圓與圓相交、相切、相離的定義的

根底上，類(lèi)比直線(xiàn)與圓判斷位置關(guān)系的方法，將兩圓的方程聯(lián)立方程

組，通過(guò)討論方程組的解的不同情況來(lái)判斷，該方法主要突出代數(shù)法

的思想且具有一般性，可類(lèi)比地推廣到對(duì)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)同類(lèi)

問(wèn)題的研究中。幾何法：根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的圓與圓五種具體位置關(guān)系的

判定，即利用兩圓心之間的距離與半徑的和以及差的絕對(duì)值進(jìn)行比

擬，該方法，實(shí)現(xiàn)了空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合。

解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它溝通了數(shù)學(xué)在數(shù)與形、代數(shù)

與幾何等最根本對(duì)象之間的聯(lián)系。用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題是解

析幾何的精髓,是平面幾何問(wèn)題的深化。因此,繼續(xù)深化用代數(shù)方法來(lái)

分析位置關(guān)系,這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、幾何問(wèn)題代數(shù)化等解

析幾何思想方法及辯證思維能力,其根本思維方法和解決問(wèn)題的技巧

對(duì)今后整個(gè)圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義。因此，本節(jié)課在教

材中起到了承上啟下的重要作用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和我所教學(xué)生的實(shí)際情況，教學(xué)目標(biāo)確定

為以下三個(gè)方面：

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)能根據(jù)給定圓的方程，用幾何和代數(shù)的方法判斷兩圓的位

置關(guān)系。

(2)理解幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想，深入了解解析幾何的本質(zhì)。

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

(1)類(lèi)比直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的探

究活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、動(dòng)手

實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)能力。

(2)強(qiáng)化學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決幾何問(wèn)題的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)

生分析問(wèn)題和靈活解決問(wèn)題的能

力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)對(duì)本節(jié)課知識(shí)的探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的

認(rèn)識(shí)，從而領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)探索中成功的喜悅，激

發(fā)學(xué)習(xí)熱情，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和進(jìn)

取精神。

(二八目標(biāo)解析

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，通過(guò)

不同形式的探究活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和開(kāi)展過(guò)程，從中

領(lǐng)悟解決問(wèn)題的思想方法，不斷提高分析和解決問(wèn)題的能力，使數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)變成一種愉快的探究活動(dòng)，從中體驗(yàn)成功的喜悅，不斷增強(qiáng)探究

知識(shí)的欲望和熱情，養(yǎng)成一種良好的思維品質(zhì)和習(xí)慣。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

這節(jié)課主要采用探究式教學(xué)法，組織學(xué)生自主探究，合作交流，

受學(xué)生生源的影響，學(xué)生思維能力一般，因此，本課的學(xué)習(xí)可能存在

以下困難：

1.探究圓與圓的五種位置關(guān)系可能不夠全面，或是多出五種。如

果不夠全面，我想采取討論補(bǔ)充的方法把個(gè)別同學(xué)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的補(bǔ)充上

來(lái)；對(duì)于多于五種的情況，則可以引導(dǎo)學(xué)生按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類(lèi)，從而

將多出的情況進(jìn)行合并。

2.探究如何利用d、rl和r2的數(shù)量關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系過(guò)

程中，兩圓相交的情況，學(xué)生可能會(huì)只考慮到d〈rl+r2,而少考慮了

Irl-r2|<d;如果這樣，我想先認(rèn)同他們的觀點(diǎn)，然后和同學(xué)們一

起舉幾個(gè)例子驗(yàn)證他們的結(jié)論，從而讓他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，設(shè)疑激趣，激

發(fā)他們?cè)偬剿鳎瑥亩鉀Q這一問(wèn)題。

3.兩圓相交，則|rl-r2|<d<rl+r2,反之亦然，這一結(jié)果擔(dān)憂(yōu)

有些學(xué)困生難于一下子理解，我想通過(guò)學(xué)生交流多種不同的方法，來(lái)

讓同學(xué)們多角度認(rèn)識(shí)這一結(jié)論，比方移動(dòng)兩圓，直觀感受圓心距逐漸

減小的過(guò)程中兩圓由外切一一相交一一內(nèi)切；再通過(guò)三角形三邊關(guān)

系，理性論證這一結(jié)論。

4.在引導(dǎo)學(xué)生答復(fù)定義時(shí)，要注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。

當(dāng)兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，容易無(wú)視蘊(yùn)含其中一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓

的內(nèi)部；而外離時(shí)每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部。我想通過(guò)實(shí)驗(yàn)

及觀察分析，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩圓的五種位置關(guān)系及連心線(xiàn)的性質(zhì)有正確

的理解，通過(guò)圖形及數(shù)量關(guān)系剖析定義的內(nèi)部和外延，從而解決疑點(diǎn)。

四、教學(xué)支持條件分析

1.學(xué)生層面

本節(jié)內(nèi)容面對(duì)的是高一學(xué)生，所授課的班級(jí)生層次不同，存在一

定差異.雖經(jīng)歷了函數(shù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，但解析幾何的學(xué)習(xí)剛剛開(kāi)始,

對(duì)代數(shù)法還處于初步了解的層次.這個(gè)階段的學(xué)生思維仍屬于經(jīng)驗(yàn)性

的邏輯思維，很大程度上仍需依賴(lài)具體形象的經(jīng)驗(yàn)材料來(lái)理解抽象的

邏輯關(guān)系。本課程分別從直觀形象和數(shù)形結(jié)合上對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探

索。

2.知識(shí)層面

(1)學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)圓與圓相交、相切、相離的定義和判定。

(2)掌握了點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)的方程、圓的方程以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

公式。

(3)上一節(jié)已經(jīng)初步掌握判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的兩種方法。

3.能力層面

門(mén))掌握利用方程組的方法來(lái)求兩圓的交點(diǎn)。

(2)具有用代數(shù)法研究點(diǎn)與圓、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的根底。

(3)具有一定的數(shù)形結(jié)合解題思想的根底。

根據(jù)以上三個(gè)方面的分析，在已有的認(rèn)知根底條件下，經(jīng)歷直線(xiàn)、

圓的方程學(xué)習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的判斷圓與圓位置關(guān)系的能

力，但學(xué)生僅僅停留在模仿、類(lèi)比的知識(shí)外表，知識(shí)的來(lái)龍去脈并不

知曉，這時(shí)需要教師的引導(dǎo)和幫助。

因此，我在教學(xué)中通過(guò)提供的豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，創(chuàng)設(shè)便于觀

察和思考的情境，給他們提供自主探究的空間，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的根底上，通過(guò)積極主動(dòng)

的思維而將新知識(shí)內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.同時(shí)為他們施展創(chuàng)造

才華搭建一個(gè)合理的平臺(tái)，使他們感知學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

【課前準(zhǔn)備】教具：光盤(pán)、多媒體教室、課件

學(xué)具：圓規(guī)、尺子、硬幣

（一）回想一一溫故知新

問(wèn)題1:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系怎么判斷？

【設(shè)計(jì)意圖】教師關(guān)注學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的掌握情況，學(xué)生閉目回想答

復(fù)老師的問(wèn)題。復(fù)習(xí)舊知識(shí)，強(qiáng)調(diào)點(diǎn)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的兩種判

斷方法，為學(xué)新知識(shí)做鋪墊。

（二）體驗(yàn)一一形成方法

問(wèn)題2：在準(zhǔn)備的白紙上畫(huà)一個(gè)半徑為3cm的圓，拿出硬幣在白紙所

在的平面上移動(dòng)，觀察發(fā)現(xiàn)硬幣所在的圓與3cm的圓之間有哪些位置

關(guān)系？

【教學(xué)方式】由學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖、移動(dòng)、思考，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生代表

到前面演示，一邊講解做題過(guò)程一邊與同學(xué)們核對(duì).隨后教師根據(jù)學(xué)

生演示情況給予評(píng)價(jià)，特別注意糾正學(xué)生尺規(guī)作圖的標(biāo)準(zhǔn)性.強(qiáng)調(diào)數(shù)

學(xué)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)三大品質(zhì)：勤奮、創(chuàng)新、嚴(yán)謹(jǐn)，并引導(dǎo)學(xué)生帶著嚴(yán)謹(jǐn)

的態(tài)度一起觀察動(dòng)畫(huà)演示,再次對(duì)圓與圓的位置關(guān)系有深刻的理解。

【設(shè)計(jì)意圖】在知識(shí)的進(jìn)一步穩(wěn)固過(guò)程中，為本節(jié)內(nèi)容提供學(xué)習(xí)思路

和方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)品質(zhì)：勤奮、創(chuàng)新、嚴(yán)謹(jǐn).

【總結(jié)歸納】得出圓與圓的五種位置關(guān)系：

1、兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，

叫做這兩個(gè)圓外離。

2、兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的

點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫

做切點(diǎn)。

3、兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩個(gè)圓相交。

4、兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的

點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫

做切點(diǎn)。兩個(gè)圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱(chēng)兩個(gè)圓相切。

5、兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，

叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例。

問(wèn)題3：探究圓與圓的五種位置關(guān)系中，圓心距d10102的長(zhǎng)〕與大

圓半徑和小圓半徑之間的關(guān)系？

【教學(xué)方式】教師為探究方法做輔導(dǎo)，下到各組中參與學(xué)生的活動(dòng)。

【總結(jié)歸納】1.兩圓外離d>rl+r2；2.兩圓外切d=rl+r2；3.兩圓

相交Irl-r2|<d<rl+r2；4.兩圓內(nèi)切d=|rl-r2|；5.兩圓內(nèi)

含OWd<|rl-r2|0

問(wèn)題4：是否任意的兩個(gè)圓都存在上述五種位置關(guān)系？

【教學(xué)方式】通過(guò)兩光盤(pán)的具體實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自我觀察總結(jié)五種位置

關(guān)系存在的前提是兩半徑不等的圓，并歸納出兩個(gè)半徑相等的圓的四

種位置關(guān)系。

【例題講解】判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系

Cl:(x+2y+(y-2)2=49,C2:(x-4)2+(y-2)2=9.

解：G(—2,2)八=7G@2)r2=3

d=J(-2-4)2+(2-2『=6

rx—r2<d<rx+r2

相交

【跟蹤練習(xí)】判斷圓Cl與圓C2的位置關(guān)系

⑴C1:x2+y2=9,C2:x2+y2-4x+3=0.

(2)|Cl:x2+y2+2x+8y-8=0,

[C2;x2+4x-4y-2=0.

【教學(xué)方式】學(xué)生獨(dú)立完成，抽兩位學(xué)生上黑板板演運(yùn)算過(guò)程。教師

關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況及練習(xí)的正確率。

小結(jié)1:類(lèi)比判斷直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的幾何法，總結(jié)出屬于圓與圓的

幾何方法步驟。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生板演格式，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題給予糾正；讓學(xué)生再一

次明確解析幾何是一門(mén)數(shù)與形緊密聯(lián)系的學(xué)科，同時(shí)體會(huì)圓與圓問(wèn)題

到直線(xiàn)與圓問(wèn)題的轉(zhuǎn)化化歸思想，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

【例題講解】根據(jù)練習(xí)(2)探究圓與圓的代數(shù)判斷方法。

用代數(shù)法判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系：

解:圓與圓。2的方程聯(lián)立得到方程組產(chǎn)+>2+2》+8廣8=0,(1)

|x2+y2-4x-4y-2=0.(2)

(1)-(2)得x+2y-1=0⑶

由⑶得代入⑴并整理得必_2》—3=0(4)

2

方程⑷的判別式△=16>0,所以方程(4)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

即圓a與圓G相交

【師生活動(dòng)】

師：此題在(3)式的處理上哪位同學(xué)還有不同的方法？

生：由⑶得x=l-2y,把上式代入⑴并整理得產(chǎn)_1=0

師：數(shù)學(xué)的世界是豐富多彩的，解題方法也不拘泥于一種，同學(xué)們?cè)?/p>

聯(lián)立方程時(shí)，總習(xí)慣消去入這位同學(xué)選擇了消去x,得到了關(guān)于》的

一元二次方程形式，y得特別感謝你了，終于有我的出頭之日了。

小結(jié)2：類(lèi)比判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的代數(shù)法，總結(jié)出屬于圓與圓

的代數(shù)方法步驟。

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力，學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的

能力。

(三)比照--感悟方法

反思1:判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，用哪種方法更簡(jiǎn)捷？

反思2：假設(shè)兩圓相交求交點(diǎn)，應(yīng)選用哪種方法？

【設(shè)計(jì)意圖】拓展學(xué)生的思維，并由學(xué)生分組探討反思在具體運(yùn)算過(guò)

程中兩種方法如何選擇，在小組交流合作的過(guò)程中形成思維，得出結(jié)

論。

(四)穩(wěn)固一-提高方法

思考：圓Cl：x2—2mx+m2+y2=9和圓C2：x2+y2—2my+m2=l相交，求

實(shí)數(shù)m的取值范圍。(用兩種方法解答)

【教學(xué)方式】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，同桌交流；教師在下面巡視，

講解幾何法的過(guò)程，板書(shū)代數(shù)法的過(guò)程。目的是具有示范性，為后續(xù)

學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)做鋪墊。

【設(shè)計(jì)意圖】為了穩(wěn)固學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，方法和思想，培養(yǎng)學(xué)生

知識(shí)的遷移能力。

(五)課堂小結(jié)

知識(shí)：1.判斷圓與圓位置關(guān)系的兩種方法；

2.閉目回想半徑不等的兩個(gè)圓的五種位置關(guān)系及半徑相等的

兩個(gè)圓的四種位置關(guān)系。

思想方法：1、類(lèi)比；2、數(shù)形結(jié)合；3、轉(zhuǎn)化。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小結(jié)使學(xué)生理清本節(jié)知識(shí)的脈絡(luò)和使用方法，對(duì)所

學(xué)知識(shí)技能和思想方法有一個(gè)全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生概括總結(jié)

所學(xué)知識(shí)的能力。

(六)作業(yè)布置

1.書(shū)面作業(yè)：教材P130練習(xí)(用兩種方法求解)；

2.拓展作業(yè)：M={(x,y)x2+y2<4},N={(x,y)(x—1)2+(y

-l)2=r2(r>0)},假設(shè)MAN=N,則r的取值范圍是(〕

(A)(0,72-1)(B)(0,1](C)(0,2-^2](D)(0,2]

【設(shè)計(jì)意圖】目的是穩(wěn)固所學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)學(xué)生學(xué)習(xí)中的遺漏和

缺乏，強(qiáng)化根本技能訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和習(xí)慣，通過(guò)書(shū)

面作業(yè)和拓展作業(yè)，使不同層次的學(xué)生均有所收獲，表達(dá)因材施教的

教學(xué)原則。

(七)板書(shū)設(shè)計(jì)

圓與圓的位置關(guān)系

1.幾何法例1解：2.代數(shù)法例2解：

[BSG方程

1國(guó)02方程

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