幾何圖形中的等量關(guān)系教學(xué)課件 2024-2025學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊

第五章一元一次方程5.3.1幾何圖形中的等量關(guān)系5.3一元一次方程的應(yīng)用探究新知等積變形問題1例1某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料。經(jīng)市場調(diào)研決定對該產(chǎn)品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm。那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?？?）這個問題中包含哪些量？它們之間有怎樣的等量關(guān)系？包含的量：舊包裝的底面直徑、高、容積，新包裝的底面直徑、高、容積.等量關(guān)系:舊包裝的容積=新包裝的容積.（2）設(shè)新包裝的高度為xcm，你能借助下面的表格梳理問題中的信息嗎？有關(guān)量舊包裝新包裝底面半徑/cm高/cm容積/cm312x

（3）根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程？設(shè)新包裝的高度為xcm。根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：

。解這個方程，得x=

。因此，易拉罐的高度變?yōu)?/p>

cm。14.5214.523.32π×12=32πx(3)根據(jù)等量關(guān)系，你能列出怎樣的方程?設(shè)新包裝的高度為xcm.根據(jù)等量關(guān)系，列出方程:.解這個方程，得x=

.因此，易拉罐的高度變?yōu)?/p>

cm.列方程時，關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系.等量關(guān)系:舊包裝的容積=新包裝的容積.14.5214.52

歸納：

形狀變了，體積沒變．解決等積變形的問題時，通常利用體積相等建立方程.

等積變形注意：

等積變形中，類似的問題還有相同體積的水注入不同形狀的容器中.容器的形狀不同，但水的體積沒有改變.等長變形問題2例1用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？解：(1)設(shè)此時長方形的寬為x

m，

則它的長為（x+1.4）m.根據(jù)題意，得x+x+1.4=10×.解這個方程，得x=1.8.1.8+1.4=3.2.此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m.xm(x+1.4)m例1用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化？解：(2)設(shè)此時長方形的寬為xm，

則它的長為(x+0.8)m.根據(jù)題意，得x+x+0.8=10×.解這個方程，得x=2.1.2.1+0.8=2.9.xm(x+0.8)m例1用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(1)中長方形的面積為3.2×1.8=5.76(m2).此時長方形的面積比(1)中長方形的面積增大6.09–5.76=0.33(m2).2.1

m2.9m此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09(m2)，(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米？此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化？用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米？正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化？解：(3)設(shè)正方形的邊長為xm.根據(jù)題意，得x+x=10×.解這個方程，得x=2.5.正方形的邊長為2.5m，面積為

2.5×2.5=6.25(m2)，xmxm例1比(2)中長方形的面積增大6.25–6.09=0.16(m2).長方形的周長不變時，它的面積會隨著長和寬的變化而變化，當_________（即為

）時，面積最大.

2.1

2.9

2.5

2.55.76

m26.09

m26.25

m2長=寬正方形1.8

3.2線段長度不變時，不管圍成怎樣的圖形，周長不變.即C前=C后.當長方形周長不變時，長方形的面積隨著長與寬的變化而變化，當長與寬相等時，面積最大.

等長變形列一元一次方程解決實際問題的一般步驟：1.審——通過審題找出等量關(guān)系.6.答——寫出答案（包括單位）.5.檢——檢驗所得的解是否符合題意.4.解——求出方程的解.3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.2.設(shè)——設(shè)未知數(shù)，并用未知數(shù)表示其他未知量.課堂小結(jié)應(yīng)用一元一次方程

圖形等積變化應(yīng)用一元一次方程解決實際問題的步驟

圖形等長變化列

⑤檢

④解設(shè)

審

⑥答

課堂訓(xùn)練1.根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是(

)AA.π×42x=π×32×(x+5)B.π×42x=π×32×(x-5)C.π×82x=π×62×(x+5)D.π×82x=π×62×(x-5)2.用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2(π-2)m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明誰的面積大.解：設(shè)圓的半徑為rm，則正方形的邊長為[r+2(π-2)]m。則有2πr=4[r+2(π-2)]。解得

r=4。所以鐵絲的長為