專題06分式與分式方程(原卷版+解析)

專題6分式與分式方程分式有意義的條件1．（2021?寧波）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣22．（2023?寧波）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足．分式的運(yùn)算3．（2022?湖州）當(dāng)a＝1時(shí)，分式的值是．4．（2022?杭州）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式＝+（v≠f）表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（）A． B． C． D．5．（2021?金華）+＝（）A．3 B． C． D．6．（2022?溫州）計(jì)算：+＝．7．（2023?溫州）計(jì)算：（2）﹣．8．（2022?衢州）（2）化簡(jiǎn)：+．9．（2022?舟山）觀察下面的等式：＝+，＝+，＝+，……（1）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．（2）請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．分式的應(yīng)用10．（2022?臺(tái)州）如圖的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是5．先化簡(jiǎn)，再求值：+1，其中x＝★．解：原式＝?（x﹣4）+（x﹣4）…①＝3﹣x+x﹣4＝﹣111．（2021?衢州）先化簡(jiǎn)，再求值：+，其中x＝1．12．（2021?臺(tái)州）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20% B．×100% C．×100% D．×100%解分式方程13．（2023?紹興）方程的解是x＝3．14．（2022?寧波）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b＝+．若（x+1）?x＝，則x的值為﹣．15．（2022?金華）若分式的值為2，則x的值是4．16．（2023?浙江）小丁和小迪分別解方程﹣＝1過(guò)程如下：你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過(guò)程．17．（2022?嘉興）（2）解方程：＝1．分式方程的應(yīng)用18．（2022?衢州）金師傅近期準(zhǔn)備換車，看中了價(jià)格相同的兩款國(guó)產(chǎn)車．燃油車油箱容積：40升油價(jià)：9元/升續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：元新能源車電池電量：60千瓦時(shí)電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：_____元（1）用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費(fèi)用．（2）若燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用．②若燃油車和新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和7500元．問(wèn)：每年行駛里程為多少千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）19．（2021?溫州）某公司生產(chǎn)的一種營(yíng)養(yǎng)品信息如表．已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購(gòu)買的甲食材比用20元購(gòu)買的乙食材多1千克．營(yíng)養(yǎng)品信息表營(yíng)養(yǎng)成分每千克含鐵42毫克配料表原料每千克含鐵甲食材50毫克乙食材10毫克規(guī)格每包食材含量每包單價(jià)A包裝1千克45元B包裝0.25千克12元（1）問(wèn)甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該公司每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．①問(wèn)每日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營(yíng)養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時(shí)，每日所獲總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少元？20．（2022?麗水）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN．已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1）若a，b是整數(shù)，則PQ的長(zhǎng)是a﹣b；（2）若代數(shù)式a2﹣2ab﹣b2的值為零，則的值是3+2．

專題6分式與分式方程分式有意義的條件1．（2021?寧波）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2【分析】直接利用分式有意義則分母不等于零，即可得出答案．【解答】解：要使分式有意義，則x+2≠0，解得：x≠﹣2．故選：B．2．（2023?寧波）要使分式有意義，x的取值應(yīng)滿足x≠2．【分析】當(dāng)分母不等于0時(shí)，分式有意義．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案為：x≠2．分式的運(yùn)算3．（2022?湖州）當(dāng)a＝1時(shí)，分式的值是2．【分析】把a(bǔ)＝1代入分式計(jì)算即可求出值．【解答】解：當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝＝2．故答案為：2．4．（2022?杭州）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式＝+（v≠f）表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（）A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性質(zhì)，把等式＝+（v≠f）恒等變形，用含f、v的代數(shù)式表示u．【解答】解：＝+（v≠f），＝+，，，u＝．故選：C．5．（2021?金華）+＝（）A．3 B． C． D．【分析】根據(jù)同分母的分式的加減法法則計(jì)算即可．【解答】解：+＝＝，故選：D．6．（2022?溫州）計(jì)算：+＝2．【分析】根據(jù)同分母分式的運(yùn)算法則運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝，＝，＝2．故答案為：2．7．（2023?溫州）計(jì)算：（2）﹣．【分析】（2）直接利用分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算，再利用分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】（2）原式＝＝＝a﹣1．8．（2022?衢州）（2）化簡(jiǎn)：+．【分析】（2）運(yùn)算異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解（2）．9．（2022?舟山）觀察下面的等式：＝+，＝+，＝+，……（1）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．（2）請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．【分析】（1）觀察已知等式，可得規(guī)律，用含n的等式表達(dá)即可；（2）先通分，計(jì)算同分母分式相加，再約分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）觀察規(guī)律可得：＝+；（2）∵+＝+＝＝，∴＝+．分式的應(yīng)用10．（2022?臺(tái)州）如圖的解題過(guò)程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是5．先化簡(jiǎn)，再求值：+1，其中x＝★．解：原式＝?（x﹣4）+（x﹣4）…①＝3﹣x+x﹣4＝﹣1【分析】先將題目中的分式化簡(jiǎn)，然后令化簡(jiǎn)后式子的值為﹣1，求出相應(yīng)的x的值即可．【解答】解：+1＝＝，當(dāng)＝﹣1時(shí)，可得x＝5，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時(shí)，4﹣x≠0，∴圖中被污染的x的值是5，故答案為：5．11．（2021?衢州）先化簡(jiǎn)，再求值：+，其中x＝1．【分析】根據(jù)分式的加法法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝1+3＝4．12．（2021?臺(tái)州）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20% B．×100% C．×100% D．×100%【分析】根據(jù)x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，可知含糖的質(zhì)量為10%x+30%y，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的質(zhì)量除以混合后糖水的質(zhì)量再乘以100%即可．【解答】解：由題意可得，混合后的糖水含糖：×100%＝×100%，故選：D．解分式方程13．（2023?紹興）方程的解是x＝3．【分析】解分式方程得結(jié)論．【解答】解：去分母，得3x＝9，∴x＝3．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解．故答案為：x＝3．14．（2022?寧波）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b＝+．若（x+1）?x＝，則x的值為﹣．【分析】根據(jù)新定義列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：+＝，化為整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），解得：x＝﹣，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣時(shí)，x（x+1）≠0，∴原方程的解為：x＝﹣．故答案為：﹣．15．（2022?金華）若分式的值為2，則x的值是4．【分析】依據(jù)題意列出分式方程，解分式方程即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意得：＝2，去分母得：2＝2（x﹣3），去括號(hào)得：2x﹣6＝2，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：2x＝8，∴x＝4．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的根，∴x＝4．故答案為：4．16．（2023?浙江）小丁和小迪分別解方程﹣＝1過(guò)程如下：你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過(guò)程．【分析】根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算并判斷即可．【解答】解：小丁和小迪的解法都不正確，正確步驟如下：﹣＝1，兩邊同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x＝1，檢驗(yàn)：將x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，則x＝1是分式方程的解，故原分式方程的解是x＝1．17．（2022?嘉興）（2）解方程：＝1．【分析】（2）首先去分母化分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后驗(yàn)根．【解答】解：（2）去分母得x﹣3＝2x﹣1，∴﹣x＝3﹣1，∴x＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2是分式方程的解，∴原方程的解為：x＝﹣2．分式方程的應(yīng)用18．（2022?衢州）金師傅近期準(zhǔn)備換車，看中了價(jià)格相同的兩款國(guó)產(chǎn)車．燃油車油箱容積：40升油價(jià)：9元/升續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：元新能源車電池電量：60千瓦時(shí)電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：_____元（1）用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費(fèi)用．（2）若燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用．②若燃油車和新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和7500元．問(wèn)：每年行駛里程為多少千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）【分析】（1）根據(jù)表中的信息，可以計(jì)算出新能源車的每千米行駛費(fèi)用；（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元和表中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn)；②根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．【解答】解：（1）由表格可得，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為：＝（元），即新能源車的每千米行駛費(fèi)用為元；（2）①∵燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元，∴﹣＝0.54，解得a＝600，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝600是原分式方程的解，∴＝0.6，＝0.06，答：燃油車的每千米行駛費(fèi)用為0.6元，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為0.06元；②設(shè)每年行駛里程為xkm，由題意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，解得x＞5000，答：當(dāng)每年行駛里程大于5000km時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低．19．（2021?溫州）某公司生產(chǎn)的一種營(yíng)養(yǎng)品信息如表．已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購(gòu)買的甲食材比用20元購(gòu)買的乙食材多1千克．營(yíng)養(yǎng)品信息表營(yíng)養(yǎng)成分每千克含鐵42毫克配料表原料每千克含鐵甲食材50毫克乙食材10毫克規(guī)格每包食材含量每包單價(jià)A包裝1千克45元B包裝0.25千克12元（1）問(wèn)甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該公司每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．①問(wèn)每日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營(yíng)養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時(shí)，每日所獲總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)為多少元？【分析】（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為a元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為2a元，根據(jù)“用80元購(gòu)買的甲食材比用20元購(gòu)買的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克，根據(jù)（1）的結(jié)論以及“每日用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完”列方程組解答即可；②設(shè)A為m包，則B為包，根據(jù)“A的數(shù)量不低于B的數(shù)量”求出m的取值范圍；設(shè)總利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意求出W與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到獲利最大的進(jìn)貨方案，并求出最大利潤(rùn)．【解答】解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為a元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為2a元，由題意得，解得a＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝20是所列方程的根，且符合題意，∴2a＝40（元），答：甲食材每千克進(jìn)價(jià)為40元，乙食材每千克進(jìn)價(jià)為20元；（2）①設(shè)每日購(gòu)進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克，由題意得，解得，答：每日購(gòu)進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克；②設(shè)A為m包，則B為＝（2000﹣4m）包，∵A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，∴m≥2000﹣4m，∴m≥400，設(shè)總利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意得：W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，∵k＝﹣3＜0，∴W隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝400時(shí)，W的最大值為2800，答：當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為2800元．20．（2022?麗水）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN．已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1