河南省鄭州市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)二模試題理含解析

PAGE20-河南省鄭州市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次質(zhì)量預(yù)料（二模）試題理（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．設(shè)集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}2．若復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則a的值為（）A．﹣2 B． C．﹣ D．23．如圖是某統(tǒng)計(jì)部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2024年2～12月國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》中居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第n個(gè)月與去年第n個(gè)月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期和上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期相比）下列說法錯(cuò)誤的是（）①2024年9月CPI環(huán)比上升0.5%，同比上漲2.1%②2024年9月CP1環(huán)比上升0.2%，同比無改變③2024年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲0.2%④2024年3月CPI環(huán)比下降0.2%，同比上漲1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③4．函數(shù)f（x）＝sinxln在（﹣π，π）的圖象大致為（）A． B． C． D．5．Sn是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S9是S3和S6的等差中項(xiàng)，則＝（）A． B． C． D．6．已知x，y滿意，則z＝2x+4y的取值范圍是（）A．[0，4] B．[4，6] C．[0，6] D．[6，8]7．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿意lna＝eb＝，則下列不等式中不行能成立的是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．關(guān)于函數(shù)f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|，下列推斷正確的是（）A．f（x）的值域?yàn)閇0，] B．f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù) C．f（x）在[0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn) D．f（x）在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減9．元宵節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)佳節(jié)，放煙花、吃湯圓、觀花燈是常見的元宵活動(dòng)．某社區(qū)支配舉辦元宵節(jié)找花燈活動(dòng)，打算在3個(gè)不同的地方懸掛5盞不同的花燈，其中2盞是人物燈．現(xiàn)要求這3個(gè)地方都有燈（同一地方的花燈不考慮位置的差別），且人物燈不能掛在同一個(gè)地方，則不同的懸掛方法種數(shù)有（）A．114 B．92 C．72 D．4210．已知函數(shù)f（x）＝2x4+ex+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）對(duì)隨意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）11．已知三棱錐P﹣ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AB上一點(diǎn)，且AD＝5DB．過點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28π，則球O的表面積為（）A．128π B．132π C．144π D．156π12．已知梯形ABCD中，以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E在線段AC上，且＝，若以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分）.13．函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+x2ex的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為．14．已知向量與的夾角為60°，||＝3，||＝6，則2﹣在方向上的投影為．15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．若a+4c的最小值為9，則BD＝．16．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0對(duì)隨意的x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，Sn＝．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若bn＝（﹣1）n+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2024．18．在四棱錐P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：PB＝PC；（Ⅱ）求直線PA與平面PCD所成角的正弦值．19．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)D（1，）是橢圓C上一點(diǎn)，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l過橢圓右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ與直線x＝4分別交于M，N．（?。┣笞C：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；（ⅱ）求△AMN面積的最小值．20．已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運(yùn)行的狀況下，生產(chǎn)的零件尺寸X（單位：mm）聽從正態(tài)分布N（280，25）．（Ⅰ）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，求至少有一個(gè)尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）為了保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，須要對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障修理，假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)用期限為四年，每一年為一個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)周期內(nèi)日常維護(hù)費(fèi)為5000元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生故障修理費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除了日常維護(hù)費(fèi)外，還會(huì)產(chǎn)生一次故障修理費(fèi)．已知故障修理費(fèi)第一次為2000元，此后每增加一次則故障修理費(fèi)增加2000元．假設(shè)每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立，每個(gè)周期內(nèi)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行的概率為．求該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用總和Y的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若Z～N（μ，σ2），則P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．21．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣alnx﹣e．（Ⅰ）當(dāng)a＝2e時(shí)，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值為g（a），求g（a）的最大值以及此時(shí)a的值．(二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．在答題卷上將所選題號(hào)涂黑，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，α∈[0，）），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．（Ⅰ）寫出曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線C1與C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求sin2α﹣sinαcosα的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．設(shè)集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{3，4}．故選：C．2．若復(fù)數(shù)（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則a的值為（）A．﹣2 B． C．﹣ D．2解：復(fù)數(shù)＝＝，它是純虛數(shù)，所以2a﹣1＝0，a＝故選：B．3．如圖是某統(tǒng)計(jì)部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2024年2～12月國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》中居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第n個(gè)月與去年第n個(gè)月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期和上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期相比）下列說法錯(cuò)誤的是（）①2024年9月CPI環(huán)比上升0.5%，同比上漲2.1%②2024年9月CP1環(huán)比上升0.2%，同比無改變③2024年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲0.2%④2024年3月CPI環(huán)比下降0.2%，同比上漲1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③解：依據(jù)折線圖（下圖）可得，其中上一條折線為月度同比折線圖，下一條為月度環(huán)比折線圖，所以依據(jù)數(shù)據(jù)可得，9月份月度環(huán)比比上年上漲0.5%，同比比上年上漲2.1%，故①正確；依據(jù)數(shù)據(jù)可得，3月份月度環(huán)比比上年下降0.2%，同比比上年上漲1.7%，故④正確；因此②③錯(cuò)誤．故選：B．4．函數(shù)f（x）＝sinxln在（﹣π，π）的圖象大致為（）A． B． C． D．解：依據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝sinxln，x∈（﹣π，π），f（﹣x）＝sin（﹣x）ln＝sinxln＝f（x），則f（x）在區(qū)間（﹣π，π）上為偶函數(shù)，解除BC，又由f（）＝sinln＝ln＜0，解除D，故選：A．5．Sn是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S9是S3和S6的等差中項(xiàng)，則＝（）A． B． C． D．解：∵S9是S3和S6的等差中項(xiàng)，∴S3+S6＝2S9，∵Sn是公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴，整理得，q3（2q6﹣q3﹣1）＝0，∵q≠0，∴2q6﹣q3﹣1＝0，則（2q3+1）（q3﹣1）＝0，又∵q≠1，∴2q3+1＝0，解得，，則＝＝．故選：A．6．已知x，y滿意，則z＝2x+4y的取值范圍是（）A．[0，4] B．[4，6] C．[0，6] D．[6，8]解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z＝2x+4y得y＝﹣x+，平移直線y＝﹣x+，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，此時(shí)x+2y＝3，即z＝2x+4y＝6，經(jīng)過點(diǎn)C（2，0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，z＝2x+4y＝4+0＝4，即4≤z≤6，即z的取值范圍是[4，6]，故選：B．7．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿意lna＝eb＝，則下列不等式中不行能成立的是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵實(shí)數(shù)a，b，c滿意lna＝eb＝，∴eb＞0，∴a＞1，c＞0，當(dāng)a＝e時(shí)，b＝0，c＝1，此時(shí)a＞c＞b，故B可能成立；當(dāng)a＝e3時(shí)，b＝ln3∈（1，2），c＝∈（0.5，1），此時(shí)a＞b＞c，故A可能成立；當(dāng)b＝﹣1時(shí)，c＝e，a＝，此時(shí)，c＞a＞b，故C可能成立；∴由解除法得D不行能成立．故選：D．8．關(guān)于函數(shù)f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|，下列推斷正確的是（）A．f（x）的值域?yàn)閇0，] B．f（x）是以π為最小正周期的周期函數(shù) C．f（x）在[0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn) D．f（x）在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減解：f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|＝|sin（2x﹣）+sin2x|＝|2sin（2x﹣）cos|＝|sin（2x﹣）|，對(duì)于A，f（x）的值域?yàn)閇0，]，不是[0，]，所以A錯(cuò)；對(duì)于B，f（x）的最小正周期為，不是π，所以B錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)閒（x）一個(gè)周期（0，]內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，f（0）≠0，所以f（x）在[0，π]上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以C對(duì)；對(duì)于D，因?yàn)閰^(qū)間，]長(zhǎng)度為，所以f（x）在區(qū)間[，]上不是單調(diào)函數(shù)，所以D錯(cuò)．故選：C．9．元宵節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)佳節(jié)，放煙花、吃湯圓、觀花燈是常見的元宵活動(dòng)．某社區(qū)支配舉辦元宵節(jié)找花燈活動(dòng)，打算在3個(gè)不同的地方懸掛5盞不同的花燈，其中2盞是人物燈．現(xiàn)要求這3個(gè)地方都有燈（同一地方的花燈不考慮位置的差別），且人物燈不能掛在同一個(gè)地方，則不同的懸掛方法種數(shù)有（）A．114 B．92 C．72 D．42解：依據(jù)題意，分2步分析：①將5盞不同的燈分為3組，要求兩盞人物燈不在同一組，若分為3、1、1的三組，有C53﹣C31＝7種分組方法，若分為2、2、1的三組，有﹣C32＝12種分組方法，則有7+12＝19種分組方法，②將分好的三組全排列，支配到3個(gè)不同的地方，有A33＝6種狀況，則有19×6＝114種支配方法，故選：A．10．已知函數(shù)f（x）＝2x4+ex+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）對(duì)隨意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）解：函數(shù)f（x）＝2x4+ex+e﹣x﹣1，所以f（﹣x）＝2（﹣x）4+e﹣x+ex﹣1＝f（x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＝8x3+ex﹣e﹣x單調(diào)遞增，故f'（x）＞f'（0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則不等式f（1+ax）＜f（2+x2）對(duì)隨意x∈R恒成立，等價(jià)于不等式f（|1+ax|）＜f（|2+x2|）對(duì)隨意x∈R恒成立，即|1+ax|＜|2+x2|對(duì)隨意x∈R恒成立，即|1+ax|＜2+x2對(duì)隨意x∈R恒成立，所以﹣2﹣x2＜1+ax＜2+x2對(duì)隨意x∈R恒成立，則對(duì)隨意x∈R恒成立，所以，解得﹣2＜a＜2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2）．故選：D．11．已知三棱錐P﹣ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AB上一點(diǎn)，且AD＝5DB．過點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28π，則球O的表面積為（）A．128π B．132π C．144π D．156π解：因?yàn)锳B⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以，設(shè)面ABC所截的截面圓的圓心為O'，外接球的球心為O，則O'為BC的中點(diǎn)，且OO'⊥平面ABC，則有O'A＝O'B＝O'C＝，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)O'E，O'O，則O'E＝，因?yàn)锳D＝5DB，AB＝8，E為AB的中點(diǎn)，所以DE＝2，所以，設(shè)OO'＝x，則有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，則球的半徑R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，故與OD垂直的截面圓的半徑，所以截面圓面積的最小值為πr2＝5π，截面圓面積的最大值為πR2，由題意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33π，所以球的表面積為S＝4πR2＝132π．故選：B．12．已知梯形ABCD中，以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E在線段AC上，且＝，若以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解：設(shè)雙曲線方程為，由題中的條件可知|CD|＝c，且CD所在直線平行x軸，設(shè)C（），A（﹣c，0），E（x，y），∴，，∴，…①由＝，可得，點(diǎn)E的坐標(biāo)滿意雙曲線方程，所以，…②聯(lián)立①②可得，故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)f（x）＝ln（x+1）+x2ex的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x﹣y＝0．解：∵f（x）＝ln（x+1）+x2ex，∴f′（x）＝+2xex+x2ex，則f′（0）＝1，又f（0）＝0，∴函數(shù)y＝f（x）圖象在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為：y﹣0＝x，即函數(shù)y＝f（x）圖象在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y＝x；故答案為：x﹣y＝0．14．已知向量與的夾角為60°，||＝3，||＝6，則2﹣在方向上的投影為﹣3．解：向量與的夾角為60°，||＝3，||＝6，可得2﹣在方向上的投影為：＝＝＝﹣3．故答案為：﹣3．15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．若a+4c的最小值為9，則BD＝．解：如圖，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，所以∠ABD＝∠CBD＝45°，所以S△ABC＝acsin90°＝c?BD?sin45°+a?BD?sin45°，可得2ac＝c?BD+a?BD，可得＝1，所以a+4c＝?BD，a+4c＝BD（+5+）≥BD?（5+2）＝BD＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2c時(shí)取等號(hào)，所以BD＝．故答案為：．16．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0對(duì)隨意的x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e]．解：不等式（x+1）1﹣aex+1﹣aln（x+1）≥0對(duì)隨意的x∈（0，+∞）恒成立，令t＝x+1，則t＞1，所以不等式等價(jià)于t1﹣aet﹣alnt≥0對(duì)t＞1恒成立，變形可得不等式tet≥talnta對(duì)t＞1恒成立，令f（t）＝tet，t＞1，則不等式等價(jià)于f（t）≥f（lnta）對(duì)t＞1恒成立，f'（t）＝（t+1）et，當(dāng)t＞1時(shí)，f'（t）＞0，故f（t）單調(diào)遞增，所以不等式轉(zhuǎn)化為t≥lnta對(duì)t＞1恒成立，即對(duì)t＞1恒成立，令，所以，令g'（t）＝0，解得t＝e，當(dāng)1＜t＜e時(shí)，g'（t）＜0，則g（t）單調(diào)遞減，當(dāng)t＞e時(shí)，g'（t）＞0，則g（t）單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝e時(shí)，g（t）取得最小值g（e）＝e，所以a≤e，又a＞0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e]．故答案為：（0，e]．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，Sn＝．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若bn＝（﹣1）n+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2024．解：（Ⅰ）由a1＝1，Sn＝，①可得n≥2時(shí)，Sn﹣1＝，②由①﹣②可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，化為（n﹣1）an＝nan﹣1，即＝＝…＝＝1，可得an＝n，上式對(duì)n＝1也成立，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n，n∈N*；（Ⅱ）bn＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1（+），所以T2024＝（1+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）＝1+＝．18．在四棱錐P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：PB＝PC；（Ⅱ）求直線PA與平面PCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：設(shè)AD，BC的中點(diǎn)分別為O，E，連結(jié)PO，OE，EP，則OE為直角梯形ABCD的中位線，故BC⊥OE，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩OE＝O，PO，OE?平面PEO，所以BC⊥平面PEO，又PE?平面PEO，所以BC⊥PE，又E為BC的中點(diǎn)，所以PB＝PC；（Ⅱ）解：在AB上取一點(diǎn)F，使得AB＝4AF，則OF，OE，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，則有，令z＝﹣1，則y＝0，x＝，故，所以，故直線PA與平面PCD所成角的正弦值為．19．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)D（1，）是橢圓C上一點(diǎn)，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l過橢圓右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ與直線x＝4分別交于M，N．（?。┣笞C：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；（ⅱ）求△AMN面積的最小值．解：（Ⅰ）由題意可知，解得a2＝4，b2＝3，所以橢圓C的方程為+＝1．（Ⅱ）（?。┰O(shè)直線l的方程為x＝my+1，聯(lián)立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），所以y1+y2＝，y1y2＝，直線AP的方程為y＝（x+2），令x＝4得yM＝，同理可得yN＝，所以yMyN＝＝＝＝＝﹣9．（ⅱ）S△AMN＝?6?|yM﹣yN|＝3|yM+|≥3?2＝18．當(dāng)且僅當(dāng)yM＝3，yN＝﹣3或yM＝﹣3，yN＝3時(shí)等號(hào)成立．20．已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運(yùn)行的狀況下，生產(chǎn)的零件尺寸X（單位：mm）聽從正態(tài)分布N（280，25）．（Ⅰ）從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，求至少有一個(gè)尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）為了保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，須要對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障修理，假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)用期限為四年，每一年為一個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)周期內(nèi)日常維護(hù)費(fèi)為5000元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生故障修理費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除了日常維護(hù)費(fèi)外，還會(huì)產(chǎn)生一次故障修理費(fèi)．已知故障修理費(fèi)第一次為2000元，此后每增加一次則故障修理費(fèi)增加2000元．假設(shè)每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立，每個(gè)周期內(nèi)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行的概率為．求該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用總和Y的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若Z～N（μ，σ2），則P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．解：（Ⅰ）因?yàn)閄～N（280，25），則μ＝280，σ＝5，265＝μ﹣3σ，所以P（X＜265）＝＝0.0013，所以從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，至少有一個(gè)尺寸小于265mm的概率為：P＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.998710≈0.0129．（Ⅱ）由題意可得Y的全部可能取值為20000，22000，24000，26000，28000，P（Y＝20000）＝＝，P（Y＝22000）＝××＝，P（Y＝24000）＝××＝，P（Y＝26000）＝××＝，P（Y＝28000）＝＝，所以Y的分布列為：Y2000022000240002600028000P數(shù)學(xué)期望E（Y）＝20000×+22000×+24000×+26000×+28000×＝22000．21．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣alnx﹣e．（Ⅰ）當(dāng)a＝2e時(shí)，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值為g（a），求g（a）的最大值以及此時(shí)a的值．解：（Ⅰ）a＝2e時(shí)，f（x）＝xex﹣2elnx﹣e，令u（x）＝f（x）﹣mx+m＝xex﹣2elnx﹣e﹣mx+m，則u′（x）＝（x+1）ex﹣﹣m，u″（x）＝（x+2）ex+＞0，故u′（x）在[1，+∞）遞增，u′（1）＝﹣m，u′（x）≥u′（1），當(dāng)m＞0時(shí)，u′（1）＝﹣m＜0，故存在x0＞1，使得u（x）在[1，x0）遞減，∴u（x0）＜u（1）＝0，∴u（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立，∴m＞0不行取，m≤0可取，∴m的取值范圍是（﹣∞，0]；（Ⅱ）f′（x）＝（x+1）ex﹣，令f′（x）＝0，得a＝ex（x2+x），令h（x）＝ex（x2+x），則h′（x）＝ex