專題04解題技巧專題：菱形、矩形、正方形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題之七大考點(diǎn)(原卷版+解析)

專題04解題技巧專題：菱形、矩形、正方形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題之七大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一菱形中的折疊求角度、線段長等問題】 1【考點(diǎn)二矩形中的折疊求角度、線段長等問題】 7【考點(diǎn)三正方形中的折疊求角度、線段長等問題】 17【考點(diǎn)四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】 22【考點(diǎn)五菱形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】 25【考點(diǎn)六矩形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】 30【考點(diǎn)七正方形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】 36【典型例題】【考點(diǎn)一菱形中的折疊求角度、線段長等問題】例題：（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以DE為對(duì)稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為EF且交BC于點(diǎn)F．（1）∠DEF＝________；（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則DF的長為________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）圖，把菱形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)B落在BC邊上的F處，若∠BAE=15°，則∠FDC的大小為_____．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，將沿EF折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，若，則的長為______．3．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形紙片，，將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕與邊分別交于點(diǎn)M、N．則的長為___________．

【考點(diǎn)二矩形中的折疊求角度、線段長等問題】例題：（2023·湖南長沙·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，E在邊上，將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在矩形的對(duì)稱中心O處，若，則的長為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，長方形中，E為的中點(diǎn)，將沿直線折疊時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，若，則___________度．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）長方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為______．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)是矩形的邊上的點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在邊上．（1）寫出圖中與相等的角______；（2）若，，則折痕AE的長為______．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG∥CD，交BE于點(diǎn)G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．5．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，現(xiàn)進(jìn)行如下折疊：（1）沿著過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)落在BC邊上，此時(shí)折痕BE的長為______；（2）沿著過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部，且恰好使點(diǎn)E、、C三點(diǎn)在同一直線上，此時(shí)折痕BE的長為______．6．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上．（1）折疊后，DC的對(duì)應(yīng)線段是，CF的對(duì)應(yīng)線段是；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度數(shù)；（3）若AB=8，DE=10，求CF的長度．7．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，將一張長方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，使得與x軸重合，與y軸重合，點(diǎn)D為邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），且點(diǎn)，點(diǎn)．(1)如圖1，折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，折痕為，求此刻點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)如圖2，折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交與點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，求直線的解析式．【考點(diǎn)三正方形中的折疊求角度、線段長等問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將正方形沿對(duì)折，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處，連接，則_________．2．（2022秋·四川成都·八年級(jí)成都七中?？计谥校┮阎喝鐖D，在邊長為的正方形中，點(diǎn)在邊上，，將沿折疊至，延長交于點(diǎn)，連接(1)求的度數(shù)：(2)求的長度3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【考點(diǎn)四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，菱形紙片的邊長為，，將菱形沿，GH折疊，使得點(diǎn)B，D兩點(diǎn)重合于對(duì)角線上的點(diǎn)P（如圖2）．若，則六邊形的面積為______．

【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形面積為2，將正方形沿直線折疊，則圖中陰影部分的周長為（

）A． B． C． D．2．（2022春·廣東汕頭·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，已知，則陰影部分的面積為___________．【考點(diǎn)五菱形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】例題：（2023春·天津西青·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，連接，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C．是等邊三角形 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長為，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，將菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到四邊形點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)

A． B． C． D．2．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，在菱形中，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形點(diǎn)在上．與交于點(diǎn)則的長是____．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，菱形AEFG的兩邊AE、AG分別在菱形ABCD的邊AB和AD上，且∠BAD=60°，連接CF；（1）求證：；（2）如圖2，將菱形AEFG繞點(diǎn)A進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)六矩形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】例題：（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點(diǎn)E，且DE＝B′E，則AE的長為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處，延長交于點(diǎn)．若，，則的長為______．

2．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在上，延長交于點(diǎn).(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．3．（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在長方形中，，，將長方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到長方形．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)，求的面積．【考點(diǎn)七正方形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】例題：（2022秋·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將正方形繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，與相交于點(diǎn)E，連接，相交于點(diǎn)F．(1)填空：______度；(2)求證：四邊形是菱形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)是正方形對(duì)角線的延長線上任意一點(diǎn)，以線段為邊作一個(gè)正方形，線段和相交于點(diǎn)．(1)求證：，．(2)若，，求的長．(3)如圖2，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，與的面積之差是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出與的面積之差；若變化，請(qǐng)說明理由．2．（2023秋·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在上時(shí)，求證：；(2)將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線右側(cè)時(shí)，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；②當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出線段的長．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）已知四邊形和四邊形均為正方形，連接，，直線與交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，線段和的數(shù)量關(guān)系是___________，的度數(shù)為___________.(2)如圖2，將正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度.①請(qǐng)你判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)H在直線AD左側(cè)時(shí)，連接AH，則存在實(shí)數(shù)m，n滿足等式，直接寫出___________，___________；(3)若，，則正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F，H是否重合？若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段BG的長，若不能，說明理由.

專題04解題技巧專題：菱形、矩形、正方形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題之七大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一菱形中的折疊求角度、線段長等問題】 1【考點(diǎn)二矩形中的折疊求角度、線段長等問題】 7【考點(diǎn)三正方形中的折疊求角度、線段長等問題】 17【考點(diǎn)四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】 22【考點(diǎn)五菱形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】 25【考點(diǎn)六矩形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】 30【考點(diǎn)七正方形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】 36【典型例題】【考點(diǎn)一菱形中的折疊求角度、線段長等問題】例題：（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以DE為對(duì)稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為EF且交BC于點(diǎn)F．（1）∠DEF＝________；（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則DF的長為________．【答案】

90°

2.8【分析】（1）由折疊得∠，再根據(jù)平角的定義可得結(jié)論；（2）首先證明B、G、D在同一條直線上，再運(yùn)用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解由折疊得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案為：90°；（2）∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且AB=2∴∵點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，∴∵點(diǎn)B與點(diǎn)H重合∴又∴∴點(diǎn)G與點(diǎn)H重合∵∠∴三點(diǎn)在同一條直線上過點(diǎn)D作，交BC的延長線于點(diǎn)O，如圖，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折疊得，，設(shè)，則∴，在中，∴解得，∴故答案為2.8【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）圖，把菱形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)B落在BC邊上的F處，若∠BAE=15°，則∠FDC的大小為_____．【答案】22.5°【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AB=AF，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠B=∠AFE=75°，可得∠C，根據(jù)AF=AD，求出∠AFD，由三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可得答案．【詳解】解：∵菱形ABCD沿AE折疊，B落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴AD=AB=AF，∠AEB=90°=∠AEF，∠FAE=∠BAE=15°，∴∠B=∠AFE=75°，在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE=75°，∠C=180°-∠B=105°，∵AF=AD，∴∠ADF=∠AFD==52.5°，∴∠DFB=∠AFE+∠AFD=127.5°，∴∠FDC=∠DFB-∠B=22.5°，故答案為：22.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形中的翻折問題，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，將沿EF折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，若，則的長為______．【答案】##【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和，可得，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)于點(diǎn)，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：在菱形中，，，，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)于點(diǎn)，得矩形，如圖所示：，，，，，，由翻折可知：，，，，，，解得，，在中，，，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得：，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理求線段長，涉及到翻折變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形紙片，，將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕與邊分別交于點(diǎn)M、N．則的長為___________．

【答案】【分析】過點(diǎn)作與的延長線交于點(diǎn)E，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，設(shè)，則，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程進(jìn)行解答．【詳解】解：過點(diǎn)作與的延長線交于點(diǎn)E，

∵四邊形是菱形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)知：，在中，，∴，解得：，，即的長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．【考點(diǎn)二矩形中的折疊求角度、線段長等問題】例題：（2023·湖南長沙·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形中，E在邊上，將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在矩形的對(duì)稱中心O處，若，則的長為_____．【答案】【分析】連接，由O是矩形中心，得到B，O，D共線，由翻折變換得到，由矩形的性質(zhì)得到，由勾股定理求出的長即可．【詳解】解：連接，∵O是矩形中心，∴B，O，D共線，∵沿翻折到，∴，∵四邊形是矩形，O是它的中心，∴，∵，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，中心對(duì)稱，翻折變換，關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，長方形中，E為的中點(diǎn)，將沿直線折疊時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，若，則___________度．【答案】37【分析】由折疊的性質(zhì)得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性質(zhì)求出，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是長方形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，為的中點(diǎn)，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）長方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為______．【答案】或3【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，先利用勾股定理計(jì)算出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，而當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，所以點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，則，，可計(jì)算出，設(shè)，則，然后在中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，在中，，∴，∵∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，∴點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線上的點(diǎn)F處，∴，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴解得：；②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形，∴．故答案為：或3；【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)是矩形的邊上的點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好在邊上．（1）寫出圖中與相等的角______；（2）若，，則折痕AE的長為______．【答案】

和

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，由折疊知，由此得到，即可證明，再由平行線的性質(zhì)得到，則；（2）由矩形的性質(zhì)得到，由折疊知，，利用勾股定理求出，則，在中，根據(jù)勾股定理得，解得，則．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，，由折疊知，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：和；（2）∵四邊形是矩形，∴，由折疊知，，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理，∴解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理與折疊問題，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG∥CD，交BE于點(diǎn)G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE，根據(jù)FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，從而∠FGE=∠BEF，F(xiàn)G=FE，故FG=EC，四邊形CEFG是平行四邊形，即可得證；（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的長，可得DF=1，設(shè)EF=x，則CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．【詳解】（1）證明：（1）∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，∴△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE=FE，∴四邊形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF==8，∴DF=AD-AF=2，設(shè)EF=x，則CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+（6-x）2=x2，解得x=，∴CE=，∴四邊形CEFG的面積是：CE?DF=×2=．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、菱形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，現(xiàn)進(jìn)行如下折疊：（1）沿著過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)落在BC邊上，此時(shí)折痕BE的長為______；（2）沿著過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部，且恰好使點(diǎn)E、、C三點(diǎn)在同一直線上，此時(shí)折痕BE的長為______．【答案】3【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得出三角形ABE是邊長為3的等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出BE的長；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得出EC＝BC＝5，再根據(jù)勾股定理求出DE，AE，最后再根據(jù)勾股定理求出BE即可．【詳解】解：（1）由折疊可得，AB＝A′B，AE＝A′E，∠ABE＝∠A′BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°＝∠BA′E，∴∠ABE＝∠A′BE＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得，，故答案為：3；（2）由折疊可得，AB＝A′B＝3，∠A＝∠BA′E＝90°，∵點(diǎn)E、A′、C三點(diǎn)在同一直線上，∴S△EBC＝BC?AB＝EC?A′B，∴EC＝BC＝5，在Rt△DCE中，由勾股定理可得，，∴AE＝AD﹣DE＝5﹣4＝1，在Rt△ABE中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．有一定的綜合性．6．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置上．（1）折疊后，DC的對(duì)應(yīng)線段是，CF的對(duì)應(yīng)線段是；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度數(shù)；（3）若AB=8，DE=10，求CF的長度．【答案】（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得出；（2）由折疊的性質(zhì)可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，從而得∠3=80°；（3）根據(jù)勾股定理先求得AE的長度，也可求出AD，BC的長度，然后根據(jù)∠1=∠BEF=50°，可得BF=BE=10，繼而可求得CF=BC﹣BF．【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可得：折疊后，DC的對(duì)應(yīng)線段是BC′，CF的對(duì)應(yīng)線段是C′F；故答案為：BC′，C′F．（2）由折疊的性質(zhì)可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；（3）∵AB=8，DE=10，∴BE=10，∴AE==6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相關(guān)知識(shí)．7．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，將一張長方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，使得與x軸重合，與y軸重合，點(diǎn)D為邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），且點(diǎn)，點(diǎn)．(1)如圖1，折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，折痕為，求此刻點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)如圖2，折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交與點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，求直線的解析式．【答案】(1)；(2)直線的解析式為．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，利用勾股定理得出關(guān)于n的方程，解方程求得n的值，即可求得D的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)，在中，利用勾股定理得出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，即可求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得作出直線的解析式．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，∴，由折疊的性質(zhì)可知，在中，，∴，解得，∴，∴；（2）解：設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，在中，，∴，解得，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，代入得，，解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，求得D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三正方形中的折疊求角度、線段長等問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再由折疊可得，然后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，由折疊得：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將正方形沿對(duì)折，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處，連接，則_________．【答案】67.5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵四邊形為正方形，∴，，平分，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∴．故答案為：67.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，判定等腰三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川成都·八年級(jí)成都七中?？计谥校┮阎喝鐖D，在邊長為的正方形中，點(diǎn)在邊上，，將沿折疊至，延長交于點(diǎn)，連接(1)求的度數(shù)：(2)求的長度【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)沿折疊至，可得,，證明可得，根據(jù)對(duì)折可得，即可得出的度數(shù)；（2）令，則，，在中，勾股定理即可求解．【詳解】（1）∵將沿折疊至，∴,，∵四邊形是正方形，∴，在與中，，∴，∴，

由對(duì)折得，∴；（2）令，則，，∵，∴，，在中，

，

解得：．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析，②線段的長為2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得．，由折疊的性質(zhì)得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得出，得出即可；（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得，，再由三角形的外角性質(zhì)得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設(shè)，表示出、，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，．，沿折疊得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）證明：如圖2所示：沿折疊得到，為的中點(diǎn)，，，，，，，即，；②解：設(shè)，則，，正方形邊長為6，為的中點(diǎn)，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，即線段的長為2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】例題：（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，菱形紙片的邊長為，，將菱形沿，GH折疊，使得點(diǎn)B，D兩點(diǎn)重合于對(duì)角線上的點(diǎn)P（如圖2）．若，則六邊形的面積為______．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，可證四邊形是平行四邊形，可得，，由面積和差關(guān)系可求解．【詳解】解：如圖，

∵四邊形是菱形，，∴，，cm，，∴，,∴∴．∵，∴，，∵將菱形沿，折疊，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得：，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴六邊形面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求出的長是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形面積為2，將正方形沿直線折疊，則圖中陰影部分的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由正方形面積為2，即可求得其邊長為，然后由折疊的性質(zhì)，可得，則可得圖中陰影部分的周長為：，繼而求得答案．【詳解】解：設(shè)折疊后的點(diǎn)分別為，與分別交于點(diǎn)，如圖所示，∵正方形面積為2，∴，由折疊的性質(zhì)：，∴圖中陰影部分的周長為：．故選:D．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·廣東汕頭·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形沿直線折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，已知，則陰影部分的面積為___________．【答案】30【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，由勾股定理得，CF=4，，即，解得，AD=10，∴BF=6，CF=4，圖中陰影部分面積=．故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；②勾股定理，三角形的面積公式求解．【考點(diǎn)五菱形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】例題：（2023春·天津西青·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，連接，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C．是等邊三角形 D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由“”可證，即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，，，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長為，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，將菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到四邊形點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)的坐標(biāo)是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交軸于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而求得的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交軸于點(diǎn)，

∵四邊形是菱形，點(diǎn)在軸的正半軸上，平分，，∴，∵將菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴，則，∴∴，在中，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，在菱形中，，將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形點(diǎn)在上．與交于點(diǎn)則的長是____．【答案】【分析】連接BD交AC于O，由菱形的性質(zhì)得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，，由直角三角形的性質(zhì)求出OB=AB=1，由直角三角形的性質(zhì)得出，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE，證出∠CPE=90°，由直角三角形的性質(zhì)得出PE的長【詳解】解：連接BD交AC于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，，OA=OC，AC⊥BD，∴∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，∴∵四邊形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，菱形AEFG的兩邊AE、AG分別在菱形ABCD的邊AB和AD上，且∠BAD=60°，連接CF；（1）求證：；（2）如圖2，將菱形AEFG繞點(diǎn)A進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）CF=，（1）中的結(jié)論不變．理由見解析．【分析】（1）延長EF交CD于M點(diǎn)，證明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，過點(diǎn)M作MN⊥CF，垂足為N，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，和勾股定理，得FN=NC=即CF=2FN=；（2）過D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，連接NC，證明△DGN為等腰三角形，四邊形GFNC為平行四邊形即可．【詳解】（1）如圖１，延長EF交CD于M點(diǎn)，∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是菱形∴DC//GF//AB,DM//GF∴四邊形GFMD是平行四邊形則∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，過點(diǎn)M作MN⊥CF，垂足為N，∴MN=,根據(jù)勾股定理，得FN=，∵M(jìn)C=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=；（2）如圖2，過D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，連接NC，∴△AGD≌△DNC(SAS）∴AG=NC∠DNC=∠AGD∴△DGN為等腰三角形，則∠DGN=∠DNG，∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG∴∠NGF+∠GNC=240°-∠DGN-∠DNG,∵∠DGN+∠DNG=180°-∠GDN=60°∴∠NGF+∠GNC=180°∴NC//GF，∴四邊形GFNC為平行四邊形∴CF=GN，則GN=，∴CF=，結(jié)論（1）不變．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性質(zhì)，靈活構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六矩形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】例題：（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點(diǎn)E，且DE＝B′E，則AE的長為_____．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性得到AB′＝AB＝5，設(shè)AE＝CE＝x，在中結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，∴AB′＝AB＝5，∵DE＝B′E，∴AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，∴DE＝5﹣x，∵∠D＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，即，解得：x＝，即AE的長為（也可以寫作4.1），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求線段長．解題過程中涉及到矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握幾何圖形旋轉(zhuǎn)不變性及勾股定理求線段長是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的處，延長交于點(diǎn)．若，，則的長為______．

【答案】1【分析】如圖所示，連接，由矩形的性質(zhì)和勾股定理得到，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，四邊形是矩形，證明，則可得，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵在矩形中，，，∴，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，利用等面積法求出的長是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在上，延長交于點(diǎn).(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，再證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，再計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得：，，∴，，∵在矩形中，，∴，在和中，，∴，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確得出全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在長方形中，，，將長方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到長方形．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）60°：（3）.【分析】（1）只需要證明△EFM≌△ADE即可得到答案；（2）連接DG，證明△CDG≌△BAG，得到△ADG為等邊三角形，從而可以得到答案；（3）連接AC，證明△ABC≌△AEC，得到∠EAC=∠BAC=∠ACD，從而得到CN=AN，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BC=EF，∠B=∠FEA∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠FEA=90°，BC=AD=EF∵∠FEM+∠AED=90°，∠DAE+∠AED=90°∴∠FEM=∠DAE∴△EFM≌△ADE（HL）∴EM=AE（2）如圖所示，連接DG∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD∵GC=GB∴∠GCB=∠GBC∴∠DCG=∠ABG∴△CDG≌△BAG∴DG=AG由翻折的性質(zhì)可得：AD=AG∴AD=AG=DG∴△ADG為等邊三角形∴∠DAG=60°∴∠DAE=30°∴∠BAE=60°∴α=60°（3）如圖所示，連接AC由矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：AB=AE，∠AEF=∠B=90°∵∠AEF=∠B=90°∴∠AEC=∠B=90°又∵AB=AE∴△ABC≌△AEC（HL）∴∠EAC=∠BAC∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD∴∠EAC=∠ACD∴NC=AN設(shè)DN=x，則NC=AN=CD-DN=5-x在直角三角形AND中，∴解得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【考點(diǎn)七正方形中旋轉(zhuǎn)求角度、線段長等問題】例題：（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，將正方形繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形，與相交于點(diǎn)E，連接，相交于點(diǎn)F．(1)填空：______度；(2)求證：四邊形是菱形．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出相關(guān)角度，再根據(jù)角度之間的關(guān)系求出即可．（2）先證出四邊形是平行四邊形，再連接，構(gòu)造全等三角形證鄰邊相等即可．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形是正方形∴∵∴∴（2）解：連接．∵四邊形和四邊形是正方形∴∵∴∴（方法不唯一，直接寫由（1）得也可以）在正方形中，∴∴，即．同理，∴．∴四邊形是平行四邊形在和中∴∴∴平行四邊形是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟記相關(guān)性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)是正方形對(duì)角線的延長線上任意一點(diǎn)，以線段為邊作一個(gè)正方形，線段和相交于點(diǎn)．(1)求證：，．(2)若，，求的長．(3)如圖2，正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，與的面積之差是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出與的面積之差；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)；(3)與的面積之差不變，且．【分析】（1）根據(jù)證明，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等可得；（2）由，在中求得，從而得和的長，最后利用勾股定理即可求得結(jié)果；（3）如圖3，過A作于P，過C作于Q，先證明，得，