第11講平方根(5種題型)(原卷版+解析)

第11講平方根（5種題型）【知識(shí)梳理】一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).要點(diǎn)：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點(diǎn)：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.三、平方根的性質(zhì)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【考點(diǎn)剖析】題型一、平方根和算術(shù)平方根的概念 例1、若2－4與3－1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，求的值．【變式1】下列說法錯(cuò)誤的是（）A.5是25的算術(shù)平方根B.l是l的一個(gè)平方根C.的平方根是－4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0【變式2】判斷下列各題正誤，并將錯(cuò)誤改正：（1）沒有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算術(shù)平方根．（）例2、填空：（1）是的負(fù)平方根．（2）表示的算術(shù)平方根，．（3）的算術(shù)平方根為．（4）若，則，若，則．【變式1】下列說法中正確的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的負(fù)的平方根．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【變式2】的平方根是．例3.為何值時(shí)，下列各式有意義？(1)；(2)；(3)；(4)．【變式1】使代數(shù)式有意義的的取值范圍是______________．【變式2】已知，求的算術(shù)平方根．題型二、平方根的運(yùn)算例4、求下列各式的值．(1)；(2)．題型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【變式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【變式2】求x的值：（x﹣2）2=4．題型四、平方根的綜合應(yīng)用例6.若x，y為實(shí)數(shù)，且滿足．求的值．【變式】若，求的值．【變式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列問題：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．例7、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300的長(zhǎng)方形紙片使它長(zhǎng)寬之比為，請(qǐng)你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【變式1】如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為6和9．（1）小正方形的邊長(zhǎng)在哪兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間？并說明理由．（2）求陰影部分的面積．【變式2】小波想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片，使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為3：2．(1)請(qǐng)你幫小波求出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬；(2)小波能用這塊正方形紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)說明理由．題型五：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律例8.觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知，，則_____；______．【變式】如果＝3.9522，則＝；＝39.522，則x＝；【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?杭州期末）若一個(gè)正方形的面積小于20，它的邊長(zhǎng)是一個(gè)整數(shù)，則邊長(zhǎng)可能是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2015?下城區(qū)校級(jí)二模）的平方根（）A．4 B．2 C．±4 D．±23．（2022秋?越城區(qū)期中）“的平方根是±”用數(shù)學(xué)式子可以表示為（）A． B． C．﹣ D．±4．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）平方根是±的數(shù)是（）A． B． C． D．±5．（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）平方根等于本身的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±16．（2020秋?義烏市期中）的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±27．（2022秋?越城區(qū)期中）若，則＝（）A．1.01 B．±1.01 C．±0.101 D．10.1二．填空題（共11小題）8．（2022秋?金華期末）某數(shù)的一個(gè)平方根為，則它的另一個(gè)平方根是．9．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知一個(gè)數(shù)的一個(gè)平方根是﹣10，則另一個(gè)平方根是．10．（2022秋?柯橋區(qū)期中）已知一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+2和a﹣18，則這個(gè)數(shù)是．11．（2022秋?蒼南縣期末）已知一個(gè)正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是a和（a﹣4），則（b﹣a）的算術(shù)平方根為．12．（2022秋?永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，則b﹣c+2a＝．13．（2022秋?蘭溪市期末）如圖，在3×3的方格紙中，有一個(gè)正方形ABCD，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．14．（2022秋?余姚市月考）4的算術(shù)平方根是．15．（2021秋?松陽(yáng)縣期末）如圖，在7×7方格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中陰影正方形的邊長(zhǎng)是．16．（2022秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根分別是2a﹣1和3，則a的值為．17．（2022秋?蒼南縣期中）如圖，把一張面積為25的正方形紙片剪成五塊（其中⑤是一個(gè)小正方形），然后恰好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為．18．（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖所示的是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入的x值為7時(shí)，輸出的y值為；（2）當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運(yùn)算，輸出的y值為時(shí)，輸入的x值為；（3）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，所有滿足要求的x的值為．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?越城區(qū)期中）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，面積是72cm2，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．20．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．21．（2022秋?鄞州區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：，求a+b+c的值．22．（2021秋?余姚市校級(jí)期中）已知2a+1的平方根為±5，a+b+7的算術(shù)平方根為4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．23．（2022秋?拱墅區(qū)期末）已知一個(gè)正數(shù)m的平方根為2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？24．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）用字母a表示一個(gè)實(shí)數(shù)，則|a|，a2一定是非負(fù)數(shù)，也就是它們的值為正數(shù)或0，所以|a|的最小值為0，而﹣|a|一定是非正數(shù)，即它的值為負(fù)數(shù)或0，所以﹣|a|有最大值0，根據(jù)這個(gè)結(jié)論完成下列問題：（1）|a|+3有最（填“大”或“小”）值；（2）5﹣a2有最（填“大”或“小”）值；（3）若正整數(shù)a，b滿足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．25．（2022秋?蕭山區(qū)期中）（1）已知某正數(shù)的平方根為a+3和2a﹣15，求這個(gè)數(shù)是多少？（2）已知m，n是實(shí)數(shù)，且，求m2+n2的平方根．26．（2020秋?諸暨市期中）先閱讀所給材料，再解答下列問題：若與同時(shí)成立，求x的值？解：和都是算術(shù)平方根，故兩者的被開方數(shù)x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互為相反數(shù)．兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)，只有一種情形成立，那就是它們都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1．解答問題：已知y＝++2，求xy的值．

第11講平方根（5種題型）【知識(shí)梳理】一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).要點(diǎn)：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．要點(diǎn)：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.三、平方根的性質(zhì)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【考點(diǎn)剖析】題型一、平方根和算術(shù)平方根的概念 例1、若2－4與3－1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，求的值．【思路點(diǎn)撥】由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可以得到2－4＝－（3－1），解方程即可求解．【答案與解析】解：依題意得2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值為1．【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．【變式1】下列說法錯(cuò)誤的是（）A.5是25的算術(shù)平方根B.l是l的一個(gè)平方根C.的平方根是－4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】C；【解析】利用平方根和算術(shù)平方根的定義判定得出正確選項(xiàng)．A.因?yàn)椋?，所以本說法正確；B.因?yàn)椤溃健?，所以l是l的一個(gè)平方根說法正確；C.因?yàn)椤溃健溃健?，所以本說法錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋?，＝0，所以本說法正確；【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根、算術(shù)平方根的定義，關(guān)鍵是明確運(yùn)用好定義解決問題．【變式2】判斷下列各題正誤，并將錯(cuò)誤改正：（1）沒有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算術(shù)平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算術(shù)平方根．【變式3】已知2－1與－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1與－＋2是的平方根，所以2－1與－＋2相等或互為相反數(shù).解：①當(dāng)2－1＝－＋2時(shí)，＝1，所以＝②當(dāng)2－1＋（－＋2）＝0時(shí)，＝－1，所以例2、填空：（1）是的負(fù)平方根．（2）表示的算術(shù)平方根，．（3）的算術(shù)平方根為．（4）若，則，若，則．【思路點(diǎn)撥】（3）就是的算術(shù)平方根＝，此題求的是的算術(shù)平方根.【答案與解析】(1)16；(2)(3)(4)9；±3【總結(jié)升華】要審清楚題意，不要被表面現(xiàn)象迷惑.注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)化.【變式1】下列說法中正確的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的負(fù)的平方根．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】B；提示：①④是正確的.【變式2】的平方根是．【答案】±3.解：因?yàn)?9，9的平方根是±3，所以答案為±3.例3.為何值時(shí)，下列各式有意義？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案與解析】解：(1)因?yàn)?，所以?dāng)取任何值時(shí)，都有意義．(2)由題意可知：，所以時(shí)，有意義．(3)由題意可知：解得：．所以時(shí)有意義．(4)由題意可知：，解得且．所以當(dāng)且時(shí)有意義．【總結(jié)升華】方法總結(jié)：(1)當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討論，只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義．(2)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為0時(shí)，式子才有意義．【變式1】使代數(shù)式有意義的的取值范圍是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【總結(jié)升華】當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.【變式2】已知，求的算術(shù)平方根．【答案】解：根據(jù)題意，得則，所以＝2，∴，∴的算術(shù)平方根為．題型二、平方根的運(yùn)算例4、求下列各式的值．(1)；(2)．【思路點(diǎn)撥】（1）首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.（2）注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解：(1)；(2)．【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算按先后順序進(jìn)行．(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根據(jù)來解．題型三、利用平方根解方程例5、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路點(diǎn)撥】（1）移項(xiàng)后，根據(jù)平方根定義求解；（2）移項(xiàng)后，根據(jù)平方根定義求解．【答案與解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【總結(jié)升華】本題考查了平方根，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，他們互為相反數(shù)．【變式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【答案與解析】解：（1）∵∴∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程，開平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度.【變式2】求x的值：（x﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x﹣2）2=36，∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．題型四、平方根的綜合應(yīng)用例6.若x，y為實(shí)數(shù)，且滿足．求的值．【答案與解析】解：∵+|y﹣|=0，∴x=，y=，則原式==1．【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與算術(shù)平方根的綜合題，先由非負(fù)性解出x，y，然后代入求值即可.【變式】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①當(dāng)＝1，＝－1時(shí)，．②當(dāng)＝－1，＝－1時(shí)，．【變式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列問題：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．【分析】（1）根據(jù)平方根、絕對(duì)值的定義解決此題．（2）根據(jù)平方根、絕對(duì)值的非負(fù)性解決此題．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a＝±4，b＝±3．∴當(dāng)a＝4，b＝3，則a﹣b＝4﹣3＝1；當(dāng)a＝4，b＝﹣3，則a﹣b＝4﹣（﹣3）＝7；當(dāng)a＝﹣4，b＝3，則a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣3，則a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．綜上：a﹣b＝±1或±7．（2）∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0．∴a+b＝1或7．∴當(dāng)a+b＝1時(shí)，a+b的平方根為±1；當(dāng)a+b＝7時(shí)，a+b的平方根為±．綜上：a+b的平方根為±1或±．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根、絕對(duì)值，熟練掌握平方根、絕對(duì)值的定義是解決本題的關(guān)鍵．例7、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300的長(zhǎng)方形紙片使它長(zhǎng)寬之比為，請(qǐng)你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3(＞0)，則寬為2，依題意得...∵＞0，∴.∴長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為.∵50＞49,∴.∴,即長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)大于20.由正方形紙片的面積為400,可知其邊長(zhǎng)為20,∴長(zhǎng)方形的紙片長(zhǎng)大于正方形紙片的邊長(zhǎng).答:小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片.【總結(jié)升華】本題需根據(jù)平方根的定義計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，再判斷能否用邊長(zhǎng)為20的正方形紙片裁出長(zhǎng)方形紙片.【變式1】如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)兩個(gè)相鄰正方形的面積分別為6和9．（1）小正方形的邊長(zhǎng)在哪兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)之間？并說明理由．（2）求陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根可得小正方形的邊長(zhǎng)，估算在2和3之間；（2）利用長(zhǎng)×寬可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵小正方形的面積為6，∴小正方形的邊長(zhǎng)為，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的邊長(zhǎng)在2和3之間；（2）陰影部分的面積＝×（3﹣）＝3﹣6．【點(diǎn)評(píng)】考查列代數(shù)式和算術(shù)平方根問題，得到兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】小波想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片，使長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之比為3：2．(1)請(qǐng)你幫小波求出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬；(2)小波能用這塊正方形紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為cm，寬為cm(2)不能，理由見詳解【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3xcm，則寬為2xcm，根據(jù)面積求出矩形的長(zhǎng)和寬即可；（2）將（1）中求出的矩形的長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)進(jìn)行比較大小即可得出結(jié)果．（1）解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3xcm，則寬為2xcm，根據(jù)題意得3x·2x=300，解得或（不合題意，舍去），則cm，cm．答：長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為cm，寬為cm；（2）小波不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的紙片，理由如下：∵正方形的面積為400cm2，∴邊長(zhǎng)為20cm，∵cmcm

，∴不能剪出符合要求的紙片．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的應(yīng)用以及實(shí)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是理解題意并正確列出方程．題型五：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律例8.觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知，，則_____；______．【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動(dòng)一位；（4）-0.01【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；【詳解】解：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位．故答案為：兩；右；一；（2）已知，，則；；故答案為：12.25；0.3873；【變式】如果＝3.9522，則＝395.22；＝39.522，則x＝1562；【分析】根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義找出他們之間的規(guī)律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，則＝395.22，＝39.522，則x＝1562；故答案為：395.22，1562；【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?杭州期末）若一個(gè)正方形的面積小于20，它的邊長(zhǎng)是一個(gè)整數(shù)，則邊長(zhǎng)可能是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】先求出20的算術(shù)平方根，再估算出其取值范圍即可．【解答】解：20的算術(shù)平方根為，∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∵正方形的面積小于20，它的邊長(zhǎng)是一個(gè)整數(shù)，∴正方形的邊長(zhǎng)小于5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是算術(shù)平方根，熟知算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2015?下城區(qū)校級(jí)二模）的平方根（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的定義化簡(jiǎn)，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∵（±2）2＝4，∴的平方根為±2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了算術(shù)平方根的定義，平方根的定義，需要先求出，是易錯(cuò)題，需要注意．3．（2022秋?越城區(qū)期中）“的平方根是±”用數(shù)學(xué)式子可以表示為（）A． B． C．﹣ D．±【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根．4．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）平方根是±的數(shù)是（）A． B． C． D．±【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【解答】解：∵（）2＝，∴平方根是±的數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?桐鄉(xiāng)市期中）平方根等于本身的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1【分析】根據(jù)平方根的定義選項(xiàng)．【解答】﹣1沒有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題關(guān)鍵．6．（2020秋?義烏市期中）的算術(shù)平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【分析】利用算術(shù)平方根的意義解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算術(shù)平方根為2，∴的算術(shù)平方根是2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了算術(shù)平方根的意義，熟練掌握算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?越城區(qū)期中）若，則＝（）A．1.01 B．±1.01 C．±0.101 D．10.1【分析】當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)的向右（或向左）移動(dòng)1位．【解答】解：∵，∴故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了被開方數(shù)的變化與算術(shù)平方根之間的變化規(guī)律，熟練掌握小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右（或向左）移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)的向右（或向左）移動(dòng)1位．二．填空題（共11小題）8．（2022秋?金華期末）某數(shù)的一個(gè)平方根為，則它的另一個(gè)平方根是﹣．【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【解答】解：∵（±）2＝2，∴2的平方根一個(gè)是，另一個(gè)是﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根的定義，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知一個(gè)數(shù)的一個(gè)平方根是﹣10，則另一個(gè)平方根是10．【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【解答】解：∵一個(gè)數(shù)的一個(gè)平方根是﹣10，∴這個(gè)數(shù)是（﹣10）2＝100，∴100的平方根為±10，∴另一個(gè)平方根是10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?柯橋區(qū)期中）已知一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+2和a﹣18，則這個(gè)數(shù)是100．【分析】根據(jù)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)求出a的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+2和a﹣18，∴a+2＝﹣（a﹣18），∴a＝8，∴a+2＝8+2＝10，∴這個(gè)數(shù)是102＝100．故答案為：100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平方根，熟知一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?蒼南縣期末）已知一個(gè)正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是a和（a﹣4），則（b﹣a）的算術(shù)平方根為．【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)求得a值，再求出（b﹣a）的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是a和（a﹣4），∴a+a﹣4＝0，∴a＝2，∴b＝4，∴b﹣a＝2，∴（b﹣a）的算術(shù)平方根為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根和算術(shù)平方根，熟知一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，算術(shù)平方根是正的平方根是解答的關(guān)鍵．12．（2022秋?永康市期中）已知等式+（b﹣c+1）2＝0，則b﹣c+2a＝﹣7．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性分別求出a、b﹣c，代入計(jì)算即可．【解答】解：∵+（b﹣c+1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣c+1＝0，∴a＝﹣3，b﹣c＝﹣1，∴b﹣c+2a＝﹣1+2×（﹣3）＝﹣7，故答案為：﹣7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記算術(shù)平方根、偶次方具有非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?蘭溪市期末）如圖，在3×3的方格紙中，有一個(gè)正方形ABCD，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．【分析】根據(jù)正方形的面積＝大正方形的面積﹣三角形面積×4求出正方形的面積，從而得到正方形的邊長(zhǎng)．【解答】解：正方形的面積＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的邊長(zhǎng)＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，求出正方形的面積是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?余姚市月考）4的算術(shù)平方根是2．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：4的算術(shù)平方根是2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的意義是正確計(jì)算的關(guān)鍵．15．（2021秋?松陽(yáng)縣期末）如圖，在7×7方格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖中陰影正方形的邊長(zhǎng)是5．【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可得答案．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．16．（2022秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根分別是2a﹣1和3，則a的值為﹣1．【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，求出a的值即可．【解答】解：根據(jù)題意得：2a﹣1+3＝0，解得：a＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．17．（2022秋?蒼南縣期中）如圖，把一張面積為25的正方形紙片剪成五塊（其中⑤是一個(gè)小正方形），然后恰好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為12．【分析】根據(jù)拼圖可知直角三角形的“長(zhǎng)直角邊”等于“短直角邊”的2倍，設(shè)未知數(shù)，求出直角三角形的直角邊，再根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與“直角邊”的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由拼圖可知，直角三角形的“長(zhǎng)直角邊”等于“短直角邊”的2倍，設(shè)短直角邊為x，則長(zhǎng)直角邊為2x，由題意得，x2+（2x）2＝25，解得x＝或x＝﹣（舍去），拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為5x，寬為x，所以周長(zhǎng)為（5x+x）×2＝12x＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根，直角三角形的邊角關(guān)系，理解平方根的定義，掌握直角三角形、矩形的性質(zhì)是正確解答的前提．18．（2022秋?蕭山區(qū)期中）如圖所示的是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入的x值為7時(shí)，輸出的y值為；（2）當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運(yùn)算，輸出的y值為時(shí)，輸入的x值為25；（3）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，所有滿足要求的x的值為0或1．【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)兩次取算術(shù)平方根運(yùn)算，輸出的y值為，返回運(yùn)算兩次平方可得x的值；（3）根據(jù)0和1的算術(shù)平方根分別是0和1，可得結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)x＝7時(shí)，則y＝；故答案為：；（2）當(dāng)y＝時(shí)，（）2＝5，52＝25，則x＝25；故答案為：25；（3）當(dāng)x＝0，1時(shí)，始終輸不出y值，∵0，1的算術(shù)平方根是0，1，一定是有理數(shù)，∴所有滿足要求的x的值為0或1．故答案為：0或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，能夠正確計(jì)算算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?越城區(qū)期中）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍，面積是72cm2，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．【分析】設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，根據(jù)面積是72cm2列方程求出x的值，然后根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，由題意得：2x?x＝72，即x2＝36，∵x＞0，∴x＝6，即這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為6cm，長(zhǎng)為12cm，則這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)2×（12+6）＝36（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解答本題的關(guān)鍵．20．（2022秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知x＝，z是9的平方根，求5z﹣2x的值．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義求出x、z的值，然后代入代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵x＝，∴x＝5，∵z是9的平方根，∴z＝±3，∴分兩種情況：當(dāng)z＝+3時(shí)，5z﹣2x＝3×5﹣2×5＝5；當(dāng)z＝﹣3時(shí)，5z﹣2x＝﹣3×5﹣2×5＝﹣25．故5z﹣2x的值為：5或﹣25．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了算術(shù)平方根和平方根的定義，算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤．21．（2022秋?鄞州區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：，求a+b+c的值．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求出a、b、c的值，然后將代數(shù)式化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：．則a+b+c＝﹣2+3+1＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．22．（2021秋?余姚市校級(jí)期中）已知2a+1的平方根為±5，a+b+7的算術(shù)平方根為4．（1）求a，b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義解決此題．（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解決此題．【解答】解：（1）由題意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．∴a＝12，b＝﹣3．（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．∴a+b＝12﹣3＝9．∴a+b的平方根為＝±3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根、算術(shù)平方根，熟練掌握平方根、算術(shù)平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．23．（2022秋?拱墅區(qū)期末）已知一個(gè)正數(shù)m的平方根為2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？【分析】（1）由正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，則可求解．【解答】解：（1）∵正數(shù)m的平方根為2n+1和4﹣3n，正數(shù)m的平方根互為相反數(shù)，∴2n