第01講二次函數(shù)的表達(dá)式求法專題探究(原卷版+解析)

第1講二次函數(shù)的表達(dá)式求法專題探究類型一一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)已知拋物線上的無規(guī)律的三個點的坐標(biāo)時，常用一般式，通過解方程組求出三個待定系數(shù)的值；【類題訓(xùn)練】1．請寫出一個開口向上且過點（0，﹣2）的拋物線表達(dá)式為．2．若二次函數(shù)y＝mx2+（2m+n）x+3n的二次項系數(shù)比一次項系數(shù)小12，一次項系數(shù)比常數(shù)項大8，則這個二次函數(shù)的解析式為．3．已知拋物線過A（﹣2，0）、B（1，0）、C（0，2）三點，則這條拋物線的解析式為．4．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過其中任意三個點，當(dāng)a的值最大時，二次函數(shù)的解析式為．5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；（2）請你判斷點P（﹣2，3）是否在這個二次函數(shù)的圖象上？類型二頂點式：y＝a（x-m）2+k（a≠0）若已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸或最值，通常選設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x-m）2+k（a≠0），其中頂點坐標(biāo)為（m，k）；二次函數(shù)表達(dá)式間的轉(zhuǎn)化，一般式往頂點式轉(zhuǎn)化，常用配方法進(jìn)行；【類題訓(xùn)練】1．若二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），且拋物線過（0，3），則二次函數(shù)的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣12．一拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，頂點為（﹣2，1），則此拋物線的解析式為（）A． B． C． D．3．拋物線y＝2x2+c的頂點坐標(biāo)為（0，1），則拋物線的解析式為（）A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣24．若拋物線y＝x2+2x+c的頂點在x軸上，則c的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．45．拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點坐標(biāo)是（1，﹣2），則該拋物線的解析式是．6．小聰在畫一個二次函數(shù)的圖象時，列出了下面幾組y與x的對應(yīng)值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…該二次函數(shù)的解析式是．7．在平面直角坐標(biāo)系中有一條拋物線，已知拋物線的解析式是y＝x2+bx+c，且頂點坐標(biāo)為（﹣1，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點A（3，m），B（a，m）都是拋物線上的點，求a的值；（3）已知直線l與拋物線交于C（c，6），D（5，d）兩點，若點M（xM，yM）也在拋物線上，且在直線l的上方，求yM的取值范圍．類型三交點式：y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）若已知（x1，0）(x2，0)是拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，通常選取設(shè)交點式來求拋物線的表達(dá)式；【類題訓(xùn)練】1．如果拋物線經(jīng)過點A（2，0）和B（﹣1，0），且與y軸交于點C，若OC＝2，則這條拋物線的解析式是（）A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+22．已知拋物線過A（﹣2，0）、B（1，0）、C（0，2）三點，則這條拋物線的解析式為．3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點A（﹣3，0）、點B（0，﹣3）和點C（2，5），求該二次函數(shù)的解析式，并指出圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)．4．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜x＜3時，求y的取值范圍；（3）點P為拋物線上一點，若S△PAB＝10，求出此時點P的坐標(biāo)．5．已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點A，且這個點不是原點．①求證：m＝ab；②若y2y1的另一個交點B為二次函數(shù)y1的頂點，求b的值．6．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3）．點P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若﹣1≤x≤d時，﹣1≤y≤8，則d的取值范圍是．（3）點P和點A之間（包括端點）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時，求m的值．類型四用平移的方法求解拋物線解析式二次函數(shù)平移的方法：①轉(zhuǎn)化成頂點式（已經(jīng)是頂點式的此步忽略），②“左加右減（x），上加下減（y）”【類題訓(xùn)練】1．把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+32．將拋物線y＝x2+4x﹣4向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝（x+4）2﹣11 B．y＝（x+4）2﹣5 C．y＝x2﹣11 D．y＝x2﹣53．已知拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線，若拋物線y上任意一點M坐標(biāo)是（m，n），則其對應(yīng)點M坐標(biāo)一定是（）A．（m，n﹣2） B．（m﹣2，n） C．（m+2，n） D．（m，n+2）4．將二次函數(shù)y＝x2+2x+1圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為．5．將拋物線y＝x2﹣6x+5先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的新拋物線的頂點坐標(biāo)為．6．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+4．（1）寫出拋物線的開口方向及頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減?。浚?）把此拋物線向左移動3個單位，再向下移動7個單位后，得到的新拋物線是否過點P（1，﹣5），請說明理由．【綜合練習(xí)】1．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（1）圖象經(jīng)過點（﹣1，3），（1，3），（2，6）；（2）拋物線頂點坐標(biāo)為（﹣1，9），并且與y軸交于（0，﹣8）；（3）拋物線的對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點為（﹣2，0），與y軸交于點（0，12）；（4）圖象頂點坐標(biāo)是（2，﹣5），且過原點；（5）圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0），（﹣3，0）且函數(shù)有最小值﹣5；（6）當(dāng)x＝2時，函數(shù)的最大值是1，且圖象與x軸兩個交點之間的距離為2．2．設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過A（0，2），B（4，3），C三點，其中點C在直線x＝2上，且點C到拋物線的對稱軸的距離等于1，則拋物線的函數(shù)解析式為．3．已知二次函數(shù)y＝x2+bx+2b（b為常數(shù)）．（1）若圖象過（1，4），求函數(shù)的表達(dá)式．（2）在（1）的條件下，當(dāng)﹣1≤x≤3時，求函數(shù)的最大值和最小值．（3）若函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限，當(dāng)﹣4≤x≤1時，函數(shù)的最大值和最小值之差為9，求b的值．

第1講二次函數(shù)的表達(dá)式求法專題探究類型一一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)已知拋物線上的無規(guī)律的三個點的坐標(biāo)時，常用一般式，通過解方程組求出三個待定系數(shù)的值；【類題訓(xùn)練】1．請寫出一個開口向上且過點（0，﹣2）的拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣2．【分析】令拋物線的對稱軸為y軸，二次項系數(shù)為1，則拋物線的解析式可設(shè)為y＝x2+m，然后把已知點的坐標(biāo)代入求出m即可．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝x2+m，把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，所以滿足條件的拋物線解析式為y＝x2﹣2．故答案為y＝x2﹣2．2．若二次函數(shù)y＝mx2+（2m+n）x+3n的二次項系數(shù)比一次項系數(shù)小12，一次項系數(shù)比常數(shù)項大8，則這個二次函數(shù)的解析式為y＝8x2+20x+12．【分析】根據(jù)題干列出方程組，解之得到m，n的值，可得結(jié)果．【解答】解：由題意可得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為y＝8x2+20x+12，故答案為：y＝8x2+20x+12．3．已知拋物線過A（﹣2，0）、B（1，0）、C（0，2）三點，則這條拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．【分析】由于已知拋物線與x的兩交點坐標(biāo)，則可設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+2）（x﹣1），然后把C（0，2）代入求出a的值即可．【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣1），把C（0，2）代入得a?2?（﹣1）＝2，解得a＝﹣1，所以拋物線解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．故答案為：y＝﹣x2﹣x+2．4．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過其中任意三個點，當(dāng)a的值最大時，二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x+2．【分析】比較任意三個點組成的二次函數(shù)，比較開口方向和大小，開口向下時，a＜0，只需把開口向上，開口較小的二次函數(shù)解析式求出即可．【解答】解：由圖象知，A、B、D組成的點開口向上，a＞0，A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，a＞0；B、C、D三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；A、D、C三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；∵A、B、D組成的二次函數(shù)的圖象的開口小于A、B、C組成的二次函數(shù)的開口大小．∴A、B、D組成的二次函數(shù)的圖象中，a的值最大，當(dāng)拋物線y＝ax2+bx+c過A、B、D三點時，則，解得，故a的值最大時二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x+2，故答案為：y＝x2﹣x+2．5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；（2）請你判斷點P（﹣2，3）是否在這個二次函數(shù)的圖象上？【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組求出a，b，得到此二次函數(shù)的解析式；（2）把x＝﹣2代入函數(shù)解析式計算，判斷即可．【解答】解：（1）由題意得，，解得，，則二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴點P（﹣2，3）在這個二次函數(shù)的圖象上．類型二頂點式：y＝a（x-m）2+k（a≠0）若已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸或最值，通常選設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x-m）2+k（a≠0），其中頂點坐標(biāo)為（m，k）；二次函數(shù)表達(dá)式間的轉(zhuǎn)化，一般式往頂點式轉(zhuǎn)化，常用配方法進(jìn)行；【類題訓(xùn)練】1．若二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），且拋物線過（0，3），則二次函數(shù)的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式求解析式．【解答】解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣h）2+k∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），∴二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入得a＝1，所以y＝（x﹣2）2﹣1．故選：C．2．一拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，頂點為（﹣2，1），則此拋物線的解析式為（）A． B． C． D．【分析】首先確定a的值，再利用頂點式即可解決問題．【解答】解：∵拋物線的形狀、開口方向與拋物線相同，∴a＝，∵頂點為（﹣2，1），∴拋物線解析式為y＝（x+2）2+1．故選：C．3．拋物線y＝2x2+c的頂點坐標(biāo)為（0，1），則拋物線的解析式為（）A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2x2+2 D．y＝2x2﹣2【分析】根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點，可得出c＝1，即可得到拋物線的解析式為＝2x2+1．【解答】解：∵拋物線y＝2x2+c的頂點坐標(biāo)為（0，1），∴c＝1，∴拋物線的解析式為y＝2x2+1，故選：A．4．若拋物線y＝x2+2x+c的頂點在x軸上，則c的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．4【分析】拋物線y＝x2+2x+c的頂點在x軸上，即頂點的縱坐標(biāo)為0，據(jù)此作答．【解答】解：根據(jù)題意得：Δ＝b2﹣4ac＝0，將a＝1，b＝2，c＝c代入，得4﹣4c＝0，所以c＝1．故選：A．5．拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點坐標(biāo)是（1，﹣2），則該拋物線的解析式是y＝﹣x2+2x﹣3．【分析】根據(jù)解析式可知a＝﹣1，設(shè)頂點式即可求解．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點坐標(biāo)是（1，﹣2），設(shè)y＝a（x﹣1）2﹣2，又∵a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2，即y＝﹣x2+2x﹣3，故答案為：y＝﹣x2+2x﹣3．6．小聰在畫一個二次函數(shù)的圖象時，列出了下面幾組y與x的對應(yīng)值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…該二次函數(shù)的解析式是y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【解答】解：由表格數(shù)據(jù)結(jié)合二次函數(shù)圖象對稱性可得圖象頂點為（3，﹣4），設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），將（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．7．在平面直角坐標(biāo)系中有一條拋物線，已知拋物線的解析式是y＝x2+bx+c，且頂點坐標(biāo)為（﹣1，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點A（3，m），B（a，m）都是拋物線上的點，求a的值；（3）已知直線l與拋物線交于C（c，6），D（5，d）兩點，若點M（xM，yM）也在拋物線上，且在直線l的上方，求yM的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)可求解析式；（2）根據(jù)點A（3，m），B（a，m）可知A、B關(guān)于對稱軸對稱，由此可求a；（3）將C、D代入拋物線求出c、d，再根據(jù)點M（xM，yM）也在拋物線上，且在直線l的上方分情況可得結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知拋物線表達(dá)式為：y＝（x+1）2+2＝x2+2x+3，（2）∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，又∵點A（3，m），B（a，m）關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴a＝﹣5，（3）當(dāng)y＝6時，有c2+2c+3＝6，解得：c1＝﹣3，c2＝1，∴C點的坐標(biāo)為（﹣3，6）或（1，6），當(dāng)x＝5時，有d＝52+2×5+3＝38，∴D點的坐標(biāo)為（5，38），∵點M（xM，yM）也在拋物線上，且在直線l的上方，∴當(dāng)C（﹣3，6），D（5，38）時，此時點C在對稱軸左側(cè)有yM＞6、D點在對稱軸右側(cè)，有yM＞38，當(dāng)C（1，6），D（5，38）時，即C、D兩點都在對稱軸右側(cè)時，有yM＞38，綜上：當(dāng)點C在對稱軸左側(cè)時yM＞6，當(dāng)點C在對稱軸右側(cè)時yM＞38．類型三交點式：y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）若已知（x1，0）(x2，0)是拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，通常選取設(shè)交點式來求拋物線的表達(dá)式；【類題訓(xùn)練】1．如果拋物線經(jīng)過點A（2，0）和B（﹣1，0），且與y軸交于點C，若OC＝2，則這條拋物線的解析式是（）A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2 C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2【分析】由于已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，則可交點式y(tǒng)＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C點坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分別代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出對應(yīng)的a的值，從而可得拋物線解析式．【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C點坐標(biāo)為（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝2，解得a＝﹣1，此時拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝﹣2，解得a＝1，此時拋物線解析式為y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故選：D．2．已知拋物線過A（﹣2，0）、B（1，0）、C（0，2）三點，則這條拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．【分析】由于已知拋物線與x的兩交點坐標(biāo)，則可設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+2）（x﹣1），然后把C（0，2）代入求出a的值即可．【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣1），把C（0，2）代入得a?2?（﹣1）＝2，解得a＝﹣1，所以拋物線解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣x+2．故答案為：y＝﹣x2﹣x+2．3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點A（﹣3，0）、點B（0，﹣3）和點C（2，5），求該二次函數(shù)的解析式，并指出圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)y＝x2+2x﹣3；對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線代解析式即可．【解答】解：把點A（﹣3，0）、點B（0，﹣3）和點C（2，5）代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，得，解得∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，化為頂點式為y＝（x+1）2﹣4，∴對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．故答案為：y＝x2+2x﹣3；對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．4．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)0＜x＜3時，求y的取值范圍；（3）點P為拋物線上一點，若S△PAB＝10，求出此時點P的坐標(biāo)．【分析】（1）由點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可求出拋物線頂點坐標(biāo)；（2）結(jié)合函數(shù)圖象以及A、B點的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；（3）設(shè)P（x，y），根據(jù)三角形的面積公式以及S△PAB＝10，即可算出y的值，代入拋物線解析式即可得出點P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y＝x2+bx+c中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴頂點坐標(biāo)為（1，﹣4）．（2）由圖可得當(dāng)0＜x＜3時，﹣4≤y＜0．（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4．設(shè)P（x，y），則S△PAB＝AB?|y|＝2|y|＝10，∴|y|＝5，∴y＝±5．①當(dāng)y＝5時，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，此時P點坐標(biāo)為（﹣2，5）或（4，5）；②當(dāng)y＝﹣5時，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程無解；綜上所述，P點坐標(biāo)為（﹣2，5）或（4，5）．5．已知二次函數(shù)y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函數(shù)y2＝ax+m（a≠0）．（1）若二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點A，且這個點不是原點．①求證：m＝ab；②若y2y1的另一個交點B為二次函數(shù)y1的頂點，求b的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①令y＝0，分別求得兩個函數(shù)的圖象與x軸的交點，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，m的等式，整理即可得出結(jié)論；②利用配方法求得拋物線的頂點坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，再利用①的結(jié)論得到關(guān)于b的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵二次函數(shù)y1的圖象過（1，0），（2，2）點，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣x；（2）①證明：令y1＝0，則ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴拋物線y1＝ax（x+b）與x軸交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，則ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直線y2＝ax+m與x軸交于（﹣，0），∵若一次函數(shù)y2與二次函數(shù)y1的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函數(shù)的頂點為（﹣，﹣）．∵兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，∴a?（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合題意，舍去）或b＝﹣2．∴若兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，b的值為﹣2．6．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3）．點P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的解析式．（2）若﹣1≤x≤d時，﹣1≤y≤8，則d的取值范圍是2≤d≤5．（3）點P和點A之間（包括端點）的函數(shù)圖象稱為圖象G，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時，求m的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）令y＝8，求得對應(yīng)的x值，結(jié)合函數(shù)的圖象的性質(zhì)解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分三種情形討論解答：①點P在對稱軸的右側(cè)，②點P在拋物線的頂點與點之間，③點P在點A的左側(cè)，分別求得最大值與最小值，利用已知條件列出關(guān)于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點A（1，0），點B（0，3），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線y＝x2﹣4x+3的對稱軸為直線x＝2，當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最小值﹣1．令y＝8，則x2﹣4x+3＝8，解得：x＝﹣1或x＝5．∵當(dāng)﹣1≤x≤d時，﹣1≤y≤8，當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最小值﹣1，∴當(dāng)﹣1≤x≤d時，函數(shù)要取得最小值，∴2≤d≤5．故答案為：2≤d≤5；（3）∵P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，∴P（m，m2﹣4m+3）．①當(dāng)點P在對稱軸的右側(cè)時，m＞2，拋物線的頂點最低，即最小值為﹣1，此時圖象G的最大值為m2﹣4m+3，∵圖象G的最大值和最小值差是5，∴m2﹣4m+3﹣（﹣1）＝5，∴m2﹣4m﹣1＝0．解得：m＝2+或m＝2﹣（不合題意，舍去），∴m＝2+；②點P在拋物線的頂點與點之間時，此時最小值為﹣1，最大值為0，∴圖象G的最大值和最小值差不可能為5，此種情形不存在；③點P在點A的左側(cè)，m＜1，點A處最低，即最小值為0，此時圖象G的最大值為m2﹣4m+3，∵圖象G的最大值和最小值差是5，∴m2﹣4m+3＝5，解得：m＝2+（不合題意，舍去）或m＝2﹣．∴m＝2﹣．綜上，當(dāng)圖象G的最大值和最小值差是5時，m的值為2+或2﹣．類型四用平移的方法求解拋物線解析式二次函數(shù)平移的方法：①轉(zhuǎn)化成頂點式（已經(jīng)是頂點式的此步忽略），②“左加右減（x），上加下減（y）”【類題訓(xùn)練】1．把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3【分析】易得原拋物線的頂點為（1，2），根據(jù)相應(yīng)的平移得到新拋物線的頂點，利用平移不改變二次項的系數(shù)及頂點式可得新拋物線．【解答】解：∵原拋物線的頂點為（1，2），∴向左平移1個單位后，得到的頂點為（0，2），∴平移后圖象的函數(shù)解析式為y＝x2+2．故選：A．2．將拋物線y＝x2+4x﹣4向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到拋物線的表達(dá)式為（）A．y＝（x+4）2﹣11 B．y＝（x+4）2﹣5 C．y＝x2﹣11 D．y＝x2﹣5【分析】先將拋物線y＝x2+4x﹣4化為頂點式的形式，再由二次函數(shù)平移的法則即可得出結(jié)論．【解答】解：將y＝x2+4x﹣4化為頂點式為：y＝（x+2）2﹣8，∴向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到拋物線的表達(dá)式為y＝（x+2+2）2﹣8﹣3＝（x+4）2﹣11故選：A．3．已知拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線，若拋物線y上任意一點M坐標(biāo)是（m，n），則其對應(yīng)點M坐標(biāo)一定是（）A．（m，n﹣2） B．（m﹣2，n） C．（m+2，n） D．（m，n+2）【分析】根據(jù)題意求得拋物線向下平移2個單位后得到拋物線，故拋物線y上任意一點M向下平移2個單位得到其對應(yīng)點的坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過平移后得到拋物線，∴拋物線向下平移2個單位后得到拋物線，∴拋物線y上任意一點M坐標(biāo)是（m，n），則其對應(yīng)點M坐標(biāo)為（m，n﹣2），故選：A．4．將二次函數(shù)y＝x2+2x+1圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為10．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減進(jìn)行解答即可求得新圖象函數(shù)的表達(dá)式，然后令x＝0，求得函數(shù)值，即可求得新圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)．【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴將二次函數(shù)y＝x2+2x+1圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，得到的新圖象函數(shù)的表達(dá)式為y＝（x+1+2）2+3，即y＝（x+3）2+3，令x＝0，則y＝12，∴新圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為12．故答案為：12．5．將拋物線y＝x2﹣6x+5先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的新拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣3）．【分析】先把y＝x2﹣6x+5配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣4），再把點（3，﹣4）向上平移1個單位長度，再向左平移2個單位長度得到點的坐標(biāo)為（1，﹣3）．【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣4），把點（3，﹣4）向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度（1，﹣3），故答案為：（1，﹣3）．6．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+4．（1）寫出拋物線的開口方向及頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減小？（3）把此拋物線向左移動3個單位，再向下移動7個單位后，得到的新拋物線是否過點P（1，﹣5），請說明理由．【分析】（1）由a的符號即可確定拋物線的開口方向，把一般式化成頂點是即可求得頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則即可確定平移后的函數(shù)解析式，然后代入點P的坐標(biāo)即可判斷．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x+4中，a＝1＞0，∴該拋物線的開口向上，∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴頂點為（1，3）；（2）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減?。唬?）把此拋物線向左移動3個單位，再向下移動7個單位后，得到的新拋物線為：y＝（x﹣1+3）2+3﹣7，即y＝（x+2）2﹣4，當(dāng)x＝1時，y＝（1+2）2﹣4＝5≠﹣5，∴新拋物線不過點P（1，﹣5）．【綜合練習(xí)】1．根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（1）圖象經(jīng)過點（﹣1，3），（1，3），（2，6）；（2）拋物線頂點坐標(biāo)為（﹣1，9），并且與y軸交于（0，﹣8）；（3）拋物線的對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點為（﹣2，0），與y軸交于點（0，12）；（4）圖象頂點坐標(biāo)是（2，﹣5），且過原點；（5）圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0），（﹣3，0）且函數(shù)有最小值﹣5；（6）當(dāng)x＝2時，函數(shù)的最大值是1，且圖象與x軸兩個交點之間的距離為2．【分析】（1）設(shè)y＝ax2+bx+c；（2）、（4）設(shè)y＝a（x+1）2+9；（3）、（5）、（6）設(shè)y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．然后把已知點的坐標(biāo)代入解方程，求出未知系數(shù)，最后確定解析式．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，把（﹣1，3），（1，3），（2，6）代入解析式得，3＝a﹣b+c①，3＝a+b+c②，6＝4a+2b+c③，解由①②③組成的方程組得，a＝1，b＝0，c＝2．所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2．（2）設(shè)y＝a（x+1）2+9，把（0，﹣8）代入解析式得，a＝﹣17，∴y＝﹣17（x+1）2+9＝﹣17x2﹣34x﹣8，所以二次函數(shù)的解析式為y＝﹣17x2﹣34x﹣8．（3）∵對稱軸是直線x＝1，與x軸的一個交點為（﹣2，0），∴與x軸的另一個交點為（4，0），設(shè)y＝a（x+2）（x﹣4），把（0，12）代入解析式得，a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝x2+3x+12，所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2+3x+12．（4）設(shè)y＝a（x﹣2）2﹣5，把（0，0）代入解析式得，a＝，∴y＝（x﹣2）2﹣5＝x2﹣5x，所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣5x．（5）設(shè)y＝a（x+1）（x+3），根據(jù)題意可得對稱軸為直線x＝﹣2，又函數(shù)有最小值﹣5，∴頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），代入解析式得，a＝5．∴y＝5（x+1）（x+3）＝5x2+20x+15，所以二次函數(shù)的解析式為y＝5x2+20x+15．（6）∵當(dāng)x＝2時，函數(shù)的最大值是1，即頂點坐標(biāo)為（2，1），∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，而圖象與x軸兩個交點之間的距離為2，則交點坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），設(shè)y＝a（x﹣1）（x﹣3），把（2，1）代入解析式得，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，所以二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x﹣3．2．設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過A（0，2），B（4，