專題12解答壓軸題：幾何綜合題(原卷版+解析)

專題12解答壓軸題：幾何綜合題一．解答題（共42小題）1．（2023?重慶）如圖，在等邊中，于點，為線段上一動點（不與，重合），連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接交于點，連接，，與所在直線交于點，求證：；（3）如圖3，連接交于點，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．2．（2023?重慶）在中，，，點為線段上一動點，連接．（1）如圖1，若，，求線段的長；（2）如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：；（3）在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當(dāng)取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．3．（2022?重慶）如圖，在銳角中，，點，分別是邊，上一動點，連接交直線于點．（1）如圖1，若，且，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點是的中點，連接．在點，運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）若，且，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點是的中點，點是線段上一點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接．在點，運動過程中，當(dāng)線段取得最小值，且時，請直接寫出的值．4．（2022?重慶）在中，，，為的中點，，分別為，上任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，點與點重合，且的延長線過點，若點為的中點，連接，求的長；（2）如圖2，的延長線交于點，點在上，且，求證：；（3）如圖3，為線段上一動點，為的中點，連接，為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到△，連接，直接寫出線段的長度的最小值．5．（2021?重慶）在中，，是邊上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．（1）如圖1，當(dāng)時，連接，交于點．若平分，，求的長；（2）如圖2，連接，取的中點，連接．猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，．若，當(dāng)，時，請直接寫出的值．6．（2021?重慶）在等邊中，，，垂足為，點為邊上一點，點為直線上一點，連接．（1）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．①如圖1，當(dāng)點與點重合，且的延長線過點時，連接，求線段的長；②如圖2，點不與點，重合，的延長線交邊于點，連接，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點為中點時，點為中點，點在邊上，且，點從中點沿射線運動，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．7．（2023?沙坪壩區(qū)模擬）在中，，點是線段上一點，連接，過點作，垂足為點，過點作于點．（1）如圖1，如果設(shè)交于點，且為的中點，若，，求線段的長；（2）如圖2，如果，點是線段的中點，過點作，垂足為點，連接，求證：；（3）如圖3，如果，求的最大值．8．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，將的邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，連接，若，，，，求的長；（2）如圖2，點在上，且滿足，連接，點為上一點，連接交于點，若，，求證；（3）如圖3，若，，，點在直線上且滿足，將沿虛線折疊使得點的對應(yīng)點落在上，連接；與折痕交于點，請直接寫出最小時，點到的距離．9．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）在等腰三角形中，．點為上一點，連接．（1）如圖1，若，過點作交延長線于點，連接，過點作交于點，連接，求證：；（2）如圖2，過作交延長線于點，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，使得于點，與交于點，若點為的中點，且，猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，若，，將沿著翻折得到，點落在延長線上，交于點，點、分別是射線、上的點，連接、、，滿足，當(dāng)取得最大值時，直接寫出的最小值的平方．10．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，在中，，點為邊上一點，連接．（1）如圖1，若，，，求線段的長；（2）如圖2，若，為邊上一點且，為上一點且，為的中點，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)，時，將繞著點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點、點分別是線段、上的兩個動點，連接、．點為延長線上一點，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運動過程中，當(dāng)取得最小值且，時，請直接寫出四邊形的面積．11．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，為等邊三角形，為邊上一點，過點作，交于點，連接，為的中點，連接．（1）如圖1，，，求的面積；（2）如圖2，點在內(nèi)部，連接、，，過點作，垂足為，，垂足為，，連接．求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點在線段上運動，連接，延長交于點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，與相交于點，當(dāng)最小時，求的值．12．（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，在內(nèi)部，以為斜邊作，，連接，．（1）如圖1，過點作交于點，若，，求的長；（2）如圖2，點為上一點，連接，過點作分別交于點，交于點，若，，求證：；（3）如圖3，若，，點為直線上一點，連接，將沿直線翻折至△，連接，，當(dāng)△面積最大時，請直接寫出的面積．13．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）在中，，點為上一點，點為的中點，連接．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接并延長交于點，過作交于點，求證：；（3）如圖3，點為射線上一點，在（2）的條件下，連接，點為線段上一點且滿足，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，當(dāng)最小，時，直接寫出的面積．14．（2023?渝中區(qū)校級二模）如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點，連接，于點．（1）如圖1，過作交的延長線于點．若，，求的長度；（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接交于點，猜想和之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在第（2）問的條件下，將沿著翻折得到，連接，當(dāng)線段取得最大值，請直接寫出的值．15．（2023?渝中區(qū)校級三模）如圖，在等邊中，為內(nèi)一點，連接、、，，為上一點，連接．（1）如圖1，若平分，，，求的長；（2）如圖2，若，且為的中點，求證：；（3）如圖3，若，將沿翻折得到△，為上一點，，連接，當(dāng)最小時，過作的垂線，是垂線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請直接寫出的最小值．16．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在中，，，點為直線右上方一點，且滿足，連接．（1）如圖1，若，交于點，求的長；（2）如圖2，點為線段上一點，連接、，且滿足，試證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，以，為邊構(gòu)造平行四邊形，當(dāng)時，直接寫出的面積．17．（2023?兩江新區(qū)一模）在中，，于點．（1）如圖1，過點作，分別交，于，，求證：；（2）如圖2，過點作交于點，點為左側(cè)一點，且，連接，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，，，點為內(nèi)部一點，直接寫出的最小值．18．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）等邊中，點為直線上一動點，連接．（1）如圖1，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點在邊上，且，，求的長度；（2）如圖2，若點在延長線上，點為線段上一點，點在延長線上，連接、．在點的運動過程中，若，且，猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到△，點在邊上，且，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，點是直線上一動點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到△，在點，運動過程中，當(dāng)最小時，若，請直接寫出△的面積．19．（2023?渝中區(qū)校級一模）如圖，是等邊三角形，為上一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，分別交、于點、．（1）若，，求的面積；（2）請猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）當(dāng)周長最小時，請直接寫出的值．20．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，在等邊中，點是邊上的一個動點，點是射線上的一個動點，連接，．（1）如圖1，若點為線段的中點，點在線段上，，，求的面積；（2）如圖2，若點在延長線上，以為邊，在右側(cè)作等邊；過點作交于點，當(dāng)時，求證：；（3）如圖3，點在延長線上，，將沿直線翻折得到，點的對應(yīng)點為點；內(nèi)部有一動點，滿足，若，當(dāng)?shù)拈L度最小時，求的最小值．21．（2023?北碚區(qū)校級三模）在中，，是邊上的高，點是線段上一點，點是直線上的點，連接、，直線交直線于點．（1）如圖1，點在線段延長線上，若，，證明：．（2）如圖2，點在線段上，連接并延長至點，使得，連接，若．證明：．（3）如圖3，點在線段延長線上，若，，點為上一點，，連接，點在的下方且，，連接，．點為的中點，連接，點為線段上的動點，連接，將沿直線翻折得到△，連接，點為的中點，連接，．當(dāng)最大時，直接寫出的值．22．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）如圖，為等邊三角形，點為邊上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得線段，連接、，其中與交于點．（1）如圖1，若為中點，，，求的長；（2）如圖2，若，猜想線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，將沿翻折得，為的中點，連接，當(dāng)最小時，在內(nèi)找一點，使的值最小，若，直接寫出的最小值．23．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在等腰中，，，點在線段的中垂線上，連接、．（1）如圖1，若時，連接并延長交于點，若，求的面積；（2）如圖2，連接，若，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點．求證：；（3）在等腰內(nèi)部有一點，連接、、，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，當(dāng)取得最小值時，請直接寫出的值．24．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，中，，，點在的延長線上．（1）如圖1，若，求出的度數(shù)；（2）如圖2，以為腰在上方作等腰直角三角形，，，點是的中點，過點作于，求證：；（3）當(dāng)時，仍按（2）的方式作等腰直角三角形和，把沿翻折到平面內(nèi)，點的對應(yīng)點為，若，請求出的長．25．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．（1）如圖1，，，點在射線上，求的長；（2）如圖2，，于點，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，，點在射線上，點是上一點且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時，點到的距離．26．（2023?重慶模擬）在中，，過點作于點，點為線段的中點，連接．（1）如圖1，，，求的長度；（2）如圖2，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，此時，連接，點為的中點，連接，求證：；（3）如圖3，，，點是線段上一點，連接，將沿翻折到同一平面內(nèi)得到，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．27．（2023?渝中區(qū)模擬）如圖所示，和均為等腰直角三角形，其中，，，以，為邊作平行四邊形，以，為邊作平行四邊形，點，分別是，的中點．（1）證明：；（2）求的面積；（3）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時，直接寫出的長度的最大值．28．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在中，，，點為線段上一點，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到射線，交線段于點，過點作交射線于點，連接．（1）如圖1，若點為線段的中點，且，，求的面積；（2）如圖2，若，過點作的垂線，在的垂線上取一點，使得，連接，，在的延長線上取一點，連接，使得，當(dāng)時，證明：；（3）如圖3，若，，，點為線段上一點，取線段的中點，連接，，將沿翻折得到△，連接，，取線段的中點，連接．當(dāng)線段取得最大值時，直接寫出△的面積．29．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，在中，，，為線段上一點，連接，過點作，，連接，延長到點，連接，使得．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，點是線段上一點，連接，過點作，過點作，交于點，求證：；（3）如圖3，點為上一點，連接，若，請直接寫出的最小值．30．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，，，是等邊三角形，連接、．（1）如圖1，當(dāng)、、三點在同一直線上時，、交于點，且．若，求的長；（2）如圖2，當(dāng)、、三點在同一直線上時，是中點，連接、，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，，在直線上運動，將沿翻折得到，連接，是上一點，且，是直線上的另一個動點，連接，將沿翻折得到，連接，當(dāng)最小時，直接寫出此時點到直線的距離．31．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，中，在上，在上，，在上，．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，在上，，求證：；（3）如圖3，若，，，當(dāng)周長最小時，請直接寫出的面積．32．（2023?大渡口區(qū)模擬）在中，，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到．（1）如圖①，當(dāng)時，四邊形是什么四邊形？并說明理由；（2）將繞點由圖①的位置開始順時針旋轉(zhuǎn)，的延長線交直線于點．①旋轉(zhuǎn)至如圖②，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②旋轉(zhuǎn)至如圖③，在①的結(jié)論下，的延長線交于點，為的中點，且，，直接寫出的長．33．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在等腰中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段，交于點，過點作于點．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，若，求的長；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，連接，恰好使，延長交于點，連接，求證：；（3）如圖3，點是邊上一動點，在線段上存在一點，使的值最小時，若，請直接寫出的面積．34．（2023?潼南區(qū)二模）等腰中，，，點為平面內(nèi)一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，連接、，若、、三點共線，，當(dāng)時，求的值；（2）如圖2，連接、，點為上一點，連接，若，求證：點是的中點；（3）如圖3，連接并延長至點，以為斜邊構(gòu)造，交于點，連接，已知，，，求的最小值．35．（2023?銅梁區(qū)模擬）如圖，在中，，，，為上一動點，以為邊作等邊．（1）如圖1，若，求的面積；（2）如圖2，在上取一點，使，連接．將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使落在上，連接，取的中點，連接，．請你猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，若在直線上運動，連接，當(dāng)取最小值時，直接寫出的值．36．（2023?潼南區(qū)一模）在中，，為射線上一點，，為射線上一點，且，連接．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，若，連接并延長，交于點，求證：；（3）如圖3，若，垂足為點，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．37．（2023?重慶模擬）已知為等邊三角形，是邊上一點，連接，點為上一點，連接．（1）如圖1，延長交于點，若，，求的長；（2）如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，延長至點，使得，連接交于點，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，，點是上一點，且，連接，點是上一點，，連接，，將沿翻折到，連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，直接寫出的面積．38．（2023?江津區(qū)二模）（1）如圖1，等腰為底）與等腰為底），，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖在，在矩形中，，，，點在線段上運動，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，使，連接，當(dāng)時，求的長度；（3）如圖3，矩形中，若，，點在線段上運動，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連結(jié)，中點為，中點為，若，直接寫出的長．39．（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在等腰直角三角形中，，過點作交過點的直線于點，，直線交于．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，過點作交于點，交的延長線于，取線段的中點，連接，求證：．（3）在（2）的條件下，過點作交于點，若點是線段上任一點，連接，將沿折疊，折疊后的三角形記為△，當(dāng)取得最小時，直接寫出的值．40．（2023?永川區(qū)一模）在中，，，點為邊上一動點，連接，將繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，，點恰好為中點，與交于點，若，求的長度；（2）如圖2，與交于點，連接，在延長線上有一點，，求證：；（3）如圖3，與交于點，且平分，點為線段上一點，點為線段上一點，連接，，點為延長線上一點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，在，運動過程中，當(dāng)取得最小值，且時，請直接寫出的值．41．（2023?開州區(qū)模擬）如圖，在中，點，分別在，上，連接，，點為中點，連接交于點，．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，延長至點，連接，，若，求證：；（3）如圖3，延長至點，連接，，，點為中點，連接，將沿翻折得到△，點，分別為，上的動點（不與端點重合），連接，，連接交直線于點，當(dāng)取得最小值時，直接寫出的值．42．（2023?開州區(qū)校級模擬）在中，，，于，點為線段上一動點，連接、．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖①，當(dāng)點、、共線時，取的中點，連接，當(dāng)時，求的長；（2）如圖②，連接，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：（3）如圖③，當(dāng)點在直線上運動時，取的中點，連接，將沿翻折，點落在點處，連接，已知，當(dāng)取最大值時，直接寫出△的面積．

專題12解答壓軸題：幾何綜合題一．解答題（共42小題）1．（2023?重慶）如圖，在等邊中，于點，為線段上一動點（不與，重合），連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接交于點，連接，，與所在直線交于點，求證：；（3）如圖3，連接交于點，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：為等邊三角形，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，；（2）證明：如圖所示，過點作，交點的延長線于點，連接，，是等邊三角形，，，，垂直平分，，又，，，，在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，垂直平分，，，，又，，是等邊三角形，，，，又，，，，，在與中，，，，，四邊形是平行四邊形，；解法二：連接，證明，可得結(jié)論．（3）解：依題意，如圖所示，延長，交于點，由（2）可知是等邊三角形，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，，，，是等邊三角形，，由（2）可得，，，，，，四邊形是平行四邊形，，由（2）可知是的中點，則，，，折疊，，，又，，當(dāng)取得最小值時，即時，取得最小值，此時如圖所示，，，．解法二：由兩次翻折，推得，則，由，推出的最小值，只需要求出的最小值，當(dāng)時，的值最小，最小值為1，的最小值為．2．（2023?重慶）在中，，，點為線段上一動點，連接．（1）如圖1，若，，求線段的長；（2）如圖2，以為邊在上方作等邊，點是的中點，連接并延長，交的延長線于點．若，求證：；（3）在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點為所在直線上一點，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點為的中點，連接，當(dāng)取最大值時，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請直接寫出此時的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：在中，，，，，，；（2）證明：取的中點，連接，如圖：在中，點為斜邊的中點，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，即，，在和中，，，，，，在上截取，連接，點是的中點，．在和中，，，，，，，，又，，，，；（3）解：取的中點，連接，如圖：在取得最小值時，，設(shè)，則，，，，，是等邊三角形，，，，，，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，點為的中點，為的中點，，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)最大時，，，三點共線，過作于，過作于，如圖：是中點，，，是等邊三角形，，，，，，，，連接交于，如圖：將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，，，，即，為中點，是的中位線，，同理可得是的中位線，，，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，，，，，，，．3．（2022?重慶）如圖，在銳角中，，點，分別是邊，上一動點，連接交直線于點．（1）如圖1，若，且，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點是的中點，連接．在點，運動過程中，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）若，且，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，點是的中點，點是線段上一點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接．在點，運動過程中，當(dāng)線段取得最小值，且時，請直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1中，在射線上取一點，使得，在和中，，，，，，，，，，，，，；（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，，，是等邊三角形，，，，，，，，如圖中，延長到，使得，連接，，，，，，延長到，使得，則是等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形，．證法二：延長到，使得，連接，，延長到，使得．，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，是等邊三角形，；（3）由（2）可知，點的運動軌跡為紅色圓弧（如圖中），，，三點共線時，的值最小，此時，，，，如圖中，過點作于點，設(shè)交題意點，設(shè)，，，，，．4．（2022?重慶）在中，，，為的中點，，分別為，上任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，點與點重合，且的延長線過點，若點為的中點，連接，求的長；（2）如圖2，的延長線交于點，點在上，且，求證：；（3）如圖3，為線段上一動點，為的中點，連接，為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到△，連接，直接寫出線段的長度的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，連接，由旋轉(zhuǎn)知，，，為等腰直角三角形，點是的中點，，點是的中點，，在中，，，；（2）證明：如圖2，過點作交的延長線于，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，點是的中點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：點是的中點，，根據(jù)勾股定理得，，由折疊知，，點是以點為圓心，為半徑的圓上，由旋轉(zhuǎn)知，，點在點右側(cè)過點與垂直且等長的線段上，的最小值為，要最小，則最大，即最大，點在上，點在點或點時，最大，最大值為，線段的長度的最小值．5．（2021?重慶）在中，，是邊上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．（1）如圖1，當(dāng)時，連接，交于點．若平分，，求的長；（2）如圖2，連接，取的中點，連接．猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，．若，當(dāng)，時，請直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）連接，過點作于，平分，，，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，平分，，，，，，，，，；（2），理由：延長至點，使，連接，是的中點，，，，，，，，，，，；（3）如圖3，連接，與的交點記作點，，，，，是等邊三角形，，，，，在中，，，，，，點，，，四點共圓，，，，，，是的垂直平分線，，，，，，，，，，設(shè)，則，由（2）知，，，，，，過點作于，在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，．6．（2021?重慶）在等邊中，，，垂足為，點為邊上一點，點為直線上一點，連接．（1）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．①如圖1，當(dāng)點與點重合，且的延長線過點時，連接，求線段的長；②如圖2，點不與點，重合，的延長線交邊于點，連接，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點為中點時，點為中點，點在邊上，且，點從中點沿射線運動，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）①過作于，如圖：線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點與點重合，且的延長線過點，，，是等邊三角形，，，等邊，，，，，，，，，，中，，，中，，，，，中，；②過作交于，過作交于，連接，作中點，連接，如圖：繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，、、、共圓，，而是等邊三角形，，，即，，，①，，，，，，、、、共圓，，，，，②，而③，由①②③得，，，中點，，，，，中，，，，即，中，，中，，，；補充方法：構(gòu)造等腰，使，且，如圖：，與共線，可證，，，而，且，可得，；（2）以為頂點，為一邊，作，交于，過作于，設(shè)交于，如圖：中，，最小即是最小，此時、、共線，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上運動，則在射線上運動，根據(jù)“瓜豆原理”，為主動點，是從動點，為定點，，則、軌跡的夾角，，，，，，，，，而，，四邊形是矩形，，等邊中，，，，又，，等邊中，，點為中點時，點為中點，，，中，，，，，中，，，．7．（2023?沙坪壩區(qū)模擬）在中，，點是線段上一點，連接，過點作，垂足為點，過點作于點．（1）如圖1，如果設(shè)交于點，且為的中點，若，，求線段的長；（2）如圖2，如果，點是線段的中點，過點作，垂足為點，連接，求證：；（3）如圖3，如果，求的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）解：為的中點，，，，是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，；（2）證明：如圖，過點作，交直線交于點，連接，，，，又，，，點是線段的中點，，，，，，點，點，點，點四點共圓，，，是等腰直角三角形，，，，，又，，，，，，；（3）解：，點在以為直徑的半圓上運動，點在以為直徑的半圓上運動，當(dāng)點與點重合時，點與點重合時，有最大值為的長，的最大值為4．8．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，將的邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）如圖1，連接，若，，，，求的長；（2）如圖2，點在上，且滿足，連接，點為上一點，連接交于點，若，，求證；（3）如圖3，若，，，點在直線上且滿足，將沿虛線折疊使得點的對應(yīng)點落在上，連接；與折痕交于點，請直接寫出最小時，點到的距離．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，延長至，使，連接，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2，延長至，使，連接，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，作，交于，，，，，，，，可得點在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)交于，連接，在上截取，連接，，，，，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，連接，交于點，此時最小，如圖4，作于，，，點在平行于的的中位線上運動，在中，，，，，，點到的距離為：．9．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）在等腰三角形中，．點為上一點，連接．（1）如圖1，若，過點作交延長線于點，連接，過點作交于點，連接，求證：；（2）如圖2，過作交延長線于點，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，使得于點，與交于點，若點為的中點，且，猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，若，，將沿著翻折得到，點落在延長線上，交于點，點、分別是射線、上的點，連接、、，滿足，當(dāng)取得最大值時，直接寫出的最小值的平方．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，又，，，，又，，，，；（2）解：連接，，，，設(shè)，，，，又，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，；（3）由沿翻折至，可知，，、、、四點共圓，圓心為外心，最大時為直徑，又，，，得為等邊三角形，，，，在上取，作，連接，使，，得，在、射線上取，連接，由得，，，，，即點為條件中的點，，，又，，，，，當(dāng)三點共線時，的最小值為，，，，作交延長線于點，，，，中，，最小時平方的值為．10．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）如圖，在中，，點為邊上一點，連接．（1）如圖1，若，，，求線段的長；（2）如圖2，若，為邊上一點且，為上一點且，為的中點，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)，時，將繞著點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點、點分別是線段、上的兩個動點，連接、．點為延長線上一點，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運動過程中，當(dāng)取得最小值且，時，請直接寫出四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1），．將繞順時針旋轉(zhuǎn)得，如圖由旋轉(zhuǎn)可得：，，，．，在、中，根據(jù)勾股定理得：，即：；解得．．（2）猜想．過作于，找到中點，連接、．如圖為等邊三角形，又，得：；又，，．，得．，得；；、分別為、的中點，得；，得；，又；得，；；；；．即．（3）將繞著點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到；，又，．在上找到，使；連接．△；，可得：．當(dāng)、、共線且時取得最小值，如圖：，，．；，；．根據(jù)題意將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，得，，；；．，；；；．，．，．；；；即．；．．11．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，為等邊三角形，為邊上一點，過點作，交于點，連接，為的中點，連接．（1）如圖1，，，求的面積；（2）如圖2，點在內(nèi)部，連接、，，過點作，垂足為，，垂足為，，連接．求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點在線段上運動，連接，延長交于點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，與相交于點，當(dāng)最小時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，作于，是等邊三角形，，，，，在中，，，，，點是的中點，；（2）證明：如圖2，連接，，是等邊三角形，，，點在的垂直平分線上，，，，是等邊三角形，，在的平分線上，點在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，點是等邊三角形的中心，，是的中點，，，是的中點，，，，，，，，；（3）解：如圖3，取的中點，作直線，交于，作于，點是的中點，，點在過中點，且與平行的直線上運動，由（2）知：，四邊形是平行四邊形，，，由旋轉(zhuǎn)知：，，，，點在過的中點，且與平行的直線上運動，當(dāng)時，最小，如圖4，設(shè)與交于，交于，交于，作于，設(shè)，則，，，，，，，，，，．12．（2023?渝中區(qū)校級模擬）如圖，在內(nèi)部，以為斜邊作，，連接，．（1）如圖1，過點作交于點，若，，求的長；（2）如圖2，點為上一點，連接，過點作分別交于點，交于點，若，，求證：；（3）如圖3，若，，點為直線上一點，連接，將沿直線翻折至△，連接，，當(dāng)△面積最大時，請直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）連接，，則，又，，則，，，，，，在中，，，，在中，，，，，．（2）證明：如圖2，取中點，連接，過點作于點，交于點，則，，，，，，則，，，，，且，，，，，，，又，則為等腰直角三角形，，又，．（3）由翻折可知，，，則點在以為圓心，為半徑的圓上，作，，，，則當(dāng)取最大值時，最大，而當(dāng)經(jīng)過圓心時，最大，由題意可知，為等腰直角三角形，則，當(dāng)經(jīng)過圓心，則平分，，則，△為等腰直角三角形，則，，，，則，，則為等腰直角三角形，，，，則，，由翻折可知，，，，，三點在同一直線上，，．13．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）在中，，點為上一點，點為的中點，連接．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接并延長交于點，過作交于點，求證：；（3）如圖3，點為射線上一點，在（2）的條件下，連接，點為線段上一點且滿足，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，當(dāng)最小，時，直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，取中點，連接，，，，，，在中，，，，、分別是、的中點，，，，；（2）證明：如圖2，過點作于點，連接，．則，在中，點為的中點，，，，在中，點為的中點，，，，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，即，，，，，，，即，，；（3）解：如圖3，以、所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，取、的中點、，連接、，則、分別是、的中位線，、，、、三點共線，過點作交延長線于，過點作交延長線于，設(shè)，，是等腰直角三角形，，，點的縱坐標(biāo)為，設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，又，，，，，點在直線上運動；，，，，由折疊的性質(zhì)可得：，取點，，，，，△是等腰直角三角形，即，點在以點為圓心，半徑為的圓上運動，當(dāng)、、三點共線時，最小，此時點與點重合，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)，，，解得：或（舍去），，，，，同理可求出直線的解析式為，聯(lián)立，解得：，，，又，，，，點為的中點，，，．14．（2023?渝中區(qū)校級二模）如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點，連接，于點．（1）如圖1，過作交的延長線于點．若，，求的長度；（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接交于點，猜想和之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在第（2）問的條件下，將沿著翻折得到，連接，當(dāng)線段取得最大值，請直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】，，，，（同角的余角相等），在和中，，，，，，，，，，即，；（2），證明如下：過點作交的延長線于點，則，在和中，，，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，在和中，，，，，；（3）如圖3，設(shè)，取的中點為，連接、，過點作交的延長線于點，過點作交于點，則，由（2）得，，，，由翻折可知，，點在以為直徑的圓上，，當(dāng)經(jīng)過的中點時，最大，此時，，，，，，，，，，，，，，，，，．15．（2023?渝中區(qū)校級三模）如圖，在等邊中，為內(nèi)一點，連接、、，，為上一點，連接．（1）如圖1，若平分，，，求的長；（2）如圖2，若，且為的中點，求證：；（3）如圖3，若，將沿翻折得到△，為上一點，，連接，當(dāng)最小時，過作的垂線，是垂線上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，請直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：過點作于點，如圖1，則，，即，，平分，，，，，又，，在中，，設(shè)，則，在中，，，解得：，；（2）證明：在上截取，連接，延長至點，使，連接，如圖2，是等邊三角形，，，在和中，，，，，為的中點，，在和中，，，，，，，，，，又，，；（3）解：，點的運動軌跡是以為直徑的，經(jīng)過、中點，且以、中點為端點的弧，將沿翻折到△，則點的運動軌跡是以為直徑的，經(jīng)過、中點，且以、中點為端點的弧，連接，交于點，此時最小，分別取和，相應(yīng)可得和，則點的運動軌跡為直線，過點作直線的垂線，垂足為，此時的值最小，等于，如圖，，，，，是的中點，，連接，則，，，過點作于點，則，，，，△△，，即，，，，在△中，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，△是等邊三角形，，，，在△中，，，的最小值．16．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在中，，，點為直線右上方一點，且滿足，連接．（1）如圖1，若，交于點，求的長；（2）如圖2，點為線段上一點，連接、，且滿足，試證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，以，為邊構(gòu)造平行四邊形，當(dāng)時，直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，過點作，交延長線于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2，延長、交于點，在上截取，過點作交延長線于點，連接，，，是等邊三角形，，，又，，，，，又，，，，又，四邊形是平行四邊形，，；（3）解：如圖3，過點作，垂足為點，四邊形是平行四邊形，，，，，由（2）知，，，設(shè)，則，，在中，，，，，，，（舍去），，，．17．（2023?兩江新區(qū)一模）在中，，于點．（1）如圖1，過點作，分別交，于，，求證：；（2）如圖2，過點作交于點，點為左側(cè)一點，且，連接，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，，，點為內(nèi)部一點，直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：結(jié)論：．理由：在上取點，使得，連接，，過點作交的延長線于點，延長交于點．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，；（3）解：如圖3中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，過點作交的延長線于點．，，，，，四邊形是矩形，在中，，，，，，，，，，的最小值為．18．（2023?沙坪壩區(qū)校級二模）等邊中，點為直線上一動點，連接．（1）如圖1，在平面內(nèi)將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點在邊上，且，，求的長度；（2）如圖2，若點在延長線上，點為線段上一點，點在延長線上，連接、．在點的運動過程中，若，且，猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到△，點在邊上，且，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，點是直線上一動點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到△，在點，運動過程中，當(dāng)最小時，若，請直接寫出△的面積．【答案】見解析【詳解】如圖1，作于點，，，，，，，，，，，，，，．（2）．如圖2，作，交的延長線于點，，，即，，，即，，，，，，，，，，，，；（3）如圖3，若將沿直線翻折得到△，則，點在過且平行于的直線上，若將沿直線翻折得到△，則，點定在以為圓心，為半徑的上，過作于，交于點，則的長為最小值，連接，作直線，交于，作于，由題得點在上，且，，，，，，，由折疊得，，，，，，，，，，，，，，，，，，．19．（2023?渝中區(qū)校級一模）如圖，是等邊三角形，為上一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，分別交、于點、．（1）若，，求的面積；（2）請猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）當(dāng)周長最小時，請直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點在上，過點作，，，，為等邊三角形，，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，，點、、在同一直線上，，；（2）．證明如下：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，，，，，四邊形為菱形，，，，為的中位線，，，，；（3）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，，，交于點，則，，要使周長取得最小值，即取得最小值，，當(dāng)、、三點共線時，取得最小值，如圖，連接，交于點，連接，連接，為等邊三角形，，，四邊形為菱形，，，且，四邊形為矩形，設(shè)的邊長，，設(shè)，則，由（2）知，，則，，為中點，為的中位線，，，，，，，，，，設(shè)到的距離為，到的距離為，，，，，，．20．（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，在等邊中，點是邊上的一個動點，點是射線上的一個動點，連接，．（1）如圖1，若點為線段的中點，點在線段上，，，求的面積；（2）如圖2，若點在延長線上，以為邊，在右側(cè)作等邊；過點作交于點，當(dāng)時，求證：；（3）如圖3，點在延長線上，，將沿直線翻折得到，點的對應(yīng)點為點；內(nèi)部有一動點，滿足，若，當(dāng)?shù)拈L度最小時，求的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：過點作于點，如圖：是等邊三角形，點為線段的中點，，，，，設(shè)，，，，，，解得：，即，，，，，；（2）證明：過點作，交于點，，，，，、為等邊三角形，，，，，在和中，，，，，為等邊三角形，為等邊三角形，，，，，為等邊三角形，，，，在和中，，，，，即，，，；（3）解：，，，，以為邊在右邊作等邊三角形，則，，點、、、四點共圓，過點作，過點作，、相交于點，，，，，，，點、、、四點在以點為圓心，為半徑的圓上，過點作于點，，，，當(dāng)點、、在同一條直線上時，取最小值，將沿直線翻折得到，，，點在與夾角為的直線上運動，當(dāng)時，取最小值，，，，連接交于點，，．21．（2023?北碚區(qū)校級三模）在中，，是邊上的高，點是線段上一點，點是直線上的點，連接、，直線交直線于點．（1）如圖1，點在線段延長線上，若，，證明：．（2）如圖2，點在線段上，連接并延長至點，使得，連接，若．證明：．（3）如圖3，點在線段延長線上，若，，點為上一點，，連接，點在的下方且，，連接，．點為的中點，連接，點為線段上的動點，連接，將沿直線翻折得到△，連接，點為的中點，連接，．當(dāng)最大時，直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：設(shè)，，是上的高，，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖1，連接，作，交的延長線于點，作于，延長至，使，連接，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：如圖2，，，，，，，，，，取的中點，連接，點是的中點，，點在以點為圓心，為半徑的圓上運動，點，，共線時，最大，此時最大，，，點在上，且，．22．（2023?沙坪壩區(qū)校級三模）如圖，為等邊三角形，點為邊上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得線段，連接、，其中與交于點．（1）如圖1，若為中點，，，求的長；（2）如圖2，若，猜想線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（2）的條件下，將沿翻折得，為的中點，連接，當(dāng)最小時，在內(nèi)找一點，使的值最小，若，直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：為等邊三角形，為中點，，，，，，，，，，，，，，，，，解得；（2）解：．理田如下：延長到點，使，連接，為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，，是的中位線，，．（3）解：如圖所示，設(shè)交于點，由（2）可得，△，，，，，翻折，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，，，△是等邊三角形，，，當(dāng)時，最小，過點作于點，，，，在和△中，，△，，，，，，，，，如圖所示，過點作，，垂足分別為，且，，在中，，則，，，，當(dāng)，，，四點共線時，取最小值，如圖所示，過點作交的延長線于點，，，，，，，，，，．23．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在等腰中，，，點在線段的中垂線上，連接、．（1）如圖1，若時，連接并延長交于點，若，求的面積；（2）如圖2，連接，若，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點．求證：；（3）在等腰內(nèi)部有一點，連接、、，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，當(dāng)取得最小值時，請直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖，過作，交于，點在的中垂線上，，，，，，，，，；（2）證明：在線段上截取，過點作，交于，如圖：，，，，，，，，，，，，，即，在和中，，，，在和中，，，，，，在的中垂線上，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，；（3）解：如圖，過作，使，作，使，，，，，，，，，，如圖，當(dāng)、、、在一條直線上時，的值最小，即的值最小，如圖，過作，交于，過作交的延長線于，過作，交的延長線于，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，由翻折得：，，，，，，，設(shè)，則，，，解得：，，，，．24．（2023?大渡口區(qū)模擬）如圖，中，，，點在的延長線上．（1）如圖1，若，求出的度數(shù)；（2）如圖2，以為腰在上方作等腰直角三角形，，，點是的中點，過點作于，求證：；（3）當(dāng)時，仍按（2）的方式作等腰直角三角形和，把沿翻折到平面內(nèi)，點的對應(yīng)點為，若，請求出的長．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，過點作于點，，，，，，，，，，即的度數(shù)為；（2）證明：如圖2，連接，，，即，又，，，，，，，，，點是的中點，點為的中點，是的中位線，，，，，是等腰直角三角形，，，，；（3）解：如圖3，過點作，交的延長線于點，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，點是的中點，，由翻折的性質(zhì)得：，，，，，，，，，，，即的長為．25．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，，，，點是邊上任意一點，點是直線上一動點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．（1）如圖1，，，點在射線上，求的長；（2）如圖2，，于點，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，，點在射線上，點是上一點且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時，點到的距離．【答案】見解析【詳解】（1），，，，，，在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，，，，即，；（2），，，，同理，，，，，，，，，，，，，即，，如圖2，作，垂足為，則，在和中，，，，，，，，，又，，，，，即；（3），，和是等邊三角形，，，點在的外接圓上，如圖3，作的外接，連接，并延長交于點，則垂直平分，作點關(guān)于的對稱點，則，連接、，，，，，，，連接、，在上截取，作，交于點，則，，，，是等邊三角形，是的外接圓，，，，，，點在以為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，如圖4，作于點，作于點，則，，，在中，，，，由勾股定理得，，，，．26．（2023?重慶模擬）在中，，過點作于點，點為線段的中點，連接．（1）如圖1，，，求的長度；（2）如圖2，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，此時，連接，點為的中點，連接，求證：；（3）如圖3，，，點是線段上一點，連接，將沿翻折到同一平面內(nèi)得到，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，，，，，，，；（2）證明：過點作于點，過點作于點．連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3中，以為邊向上作等邊三角形，連接．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，此時．．共線，作于點，，，此時的面積．27．（2023?渝中區(qū)模擬）如圖所示，和均為等腰直角三角形，其中，，，以，為邊作平行四邊形，以，為邊作平行四邊形，點，分別是，的中點．（1）證明：；（2）求的面積；（3）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時，直接寫出的長度的最大值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，在和中，，．（2）解：如圖1，過點作于點，延長交于點，則，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，設(shè)，，，，，，，點、分別是、的中點，，，，，的面積為；（3）解：如圖2，連接、交于點，連接，取的中點，連接、，設(shè)與的交點為點，點是平行四邊形的對角線的中點，經(jīng)過點，即、、三點在同一條直線上，且是的中點，，，，在和中，，，，，，，，，，，，點是的中點，是的中點，是的中點，是的中位線，是的中位線，，，，，，，，是以為斜邊的等腰直角三角形，，當(dāng)?shù)拈L度最大時，的長度有最大值，，的最大值是5，此時，的長度有最大值為．28．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在中，，，點為線段上一點，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到射線，交線段于點，過點作交射線于點，連接．（1）如圖1，若點為線段的中點，且，，求的面積；（2）如圖2，若，過點作的垂線，在的垂線上取一點，使得，連接，，在的延長線上取一點，連接，使得，當(dāng)時，證明：；（3）如圖3，若，，，點為線段上一點，取線段的中點，連接，，將沿翻折得到△，連接，，取線段的中點，連接．當(dāng)線段取得最大值時，直接寫出△的面積．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，作于，，，，為線段的中點，，，，，．（2）證明：，，為等邊三角形，，，，且，，，，，，，，，，，，，即，，，，，即，．（3），，，，，，，，點為中點，，由折疊得，，點的運動軌跡在以為直徑的上，點為中點，，點的運動軌跡在以為直徑的圓上，取中點，當(dāng)過時，長最大，如圖所示，作，，，，，，，，，，，，，，，，即，，點為中點，．29．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）已知，在中，，，為線段上一點，連接，過點作，，連接，延長到點，連接，使得．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，點是線段上一點，連接，過點作，過點作，交于點，求證：；（3）如圖3，點為上一點，連接，若，請直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1中，，，，，，，，，，，，；（2）證明：過點作于點，過點作交的延長線于點，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：如圖3中，在的下方作，過點作于點，過點作于點，在上取一點，使得．，，，，的最小值是線段的長，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為．30．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在中，，，是等邊三角形，連接、．（1）如圖1，當(dāng)、、三點在同一直線上時，、交于點，且．若，求的長；（2）如圖2，當(dāng)、、三點在同一直線上時，是中點，連接、，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，，在直線上運動，將沿翻折得到，連接，是上一點，且，是直線上的另一個動點，連接，將沿翻折得到，連接，當(dāng)最小時，直接寫出此時點到直線的距離．【答案】見解析【詳解】（1），，，，，，，是等邊三角形，，，，，，在中，，，，，在中，，，；（2）證明：如圖1，延長至，是，連接，，設(shè)與交于，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，即：，是等邊三角形，，，，；（3）解：如圖2，作于，取點，連接，，，，，，，由（2）得，是等邊三角形，，，，，即：，，，點在過點且與垂直的直線上運動，，點在以點為圓心，2為半徑的上運動，作直線于，當(dāng)點在處時，交圓于，最小，作于，，，，，，，，在中，，，，，，作于，，，，，，所以此時點到直線的距離為：．31．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，中，在上，在上，，在上，．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，在上，，求證：；（3）如圖3，若，，，當(dāng)周長最小時，請直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，；（2）證明：延長至使，由（1）得，，，延長至使，連接，則，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延長至使，，，，，，，，，過作的對稱點，連接、、、，，當(dāng)、、三點共線時周長最小，當(dāng)周長最小時如圖所示：，，，是正三角形，，，，，，，，，，，，，．32．（2023?大渡口區(qū)模擬）在中，，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到．（1）如圖①，當(dāng)時，四邊形是什么四邊形？并說明理由；（2）將繞點由圖①的位置開始順時針旋轉(zhuǎn)，的延長線交直線于點．①旋轉(zhuǎn)至如圖②，用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②旋轉(zhuǎn)至如圖③，在①的結(jié)論下，的延長線交于點，為的中點，且，，直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】（1）如圖①中，四邊形是菱形．理由：，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）①如圖②中，結(jié)論：．理由：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知．，，，；②連接，，過點作于點，于點，設(shè)交于點．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．33．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在等腰中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段，交于點，過點作于點．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，若，求的長；（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，連接，恰好使，延長交于點，連接，求證：；（3）如圖3，點是邊上一動點，在線段上存在一點，使的值最小時，若，請直接寫出的面積．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時，則，過點作于點，則，在等腰中，，則，則，在等腰中，；（2）證明：如圖2，延長交的延長線于點，，，，，，，，，，，，則，，，，，；（3）解：如圖3，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則，是等邊三角形，，，，當(dāng)，，，共線時，的值最小，此時，，，，，，，，，，即，，則，則的面積．34．（2023?潼南區(qū)二模）等腰中，，，點為平面內(nèi)一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，連接、，若、、三點共線，，當(dāng)時，求的值；（2）如圖2，連接、，點為上一點，連接，若，求證：點是的中點；（3）如圖3，連接并延長至點，以為斜邊構(gòu)造，交于點，連接，已知，，，求的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖所示，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，又，，，，又，，，；（2）證明：如圖所示，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到，是等腰直角三角形，，則，，延長交，于點，，，，，又，，，，，又，，，，又，，四邊形是平行四邊形，是的中點，是的中點；（3）解：如圖所示，連接，是直角三角形，，，，，，是定值，則點在上運動，當(dāng)最小時，，重合，此時，．35．（2023?銅梁區(qū)模擬）如圖，在中，，，，為上一動點，以為邊作等邊．（1）如圖1，若，求的面積；（2）如圖2，在上取一點，使，連接．將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使落在上，連接，取的中點，連接，．請你猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）在（2）的條件下，若在直線上運動，連接，當(dāng)取最小值時，直接寫出的值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1中，，，，，．是等邊三角形，的面積；（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，；（3）是含有的直角三角形，當(dāng)時，的值最小，此時，，，，．36．（2023?潼南區(qū)一模）在中，，為射線上一點，，為射線上一點，且，連接．（1）如圖1，若，，求的長；（2）如圖2，若，連接并延長，交于點，求證：；（3）如圖3，若，垂足為點，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析【詳解】（1）解：，，，，，，，，，（2）證明：如圖，過作交的延長線于點．，，，，，，，，，，，，，，，，，為等腰三角形，，為的中點，．（3）解：結(jié)論：．理由：如圖3，取中點，延長至，使，連接，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，．37．（2023?重慶模擬）已知為等邊三角形，是邊上一點，連接，點為上一