江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中檢測(cè)試題

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中檢測(cè)試題（滿分150分，時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.綻開后的項(xiàng)數(shù)為（）A.10 B.18 C.24 D.36【1題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)分步乘法原理求解即可.【詳解】依據(jù)分步乘法原理，綻開后項(xiàng)數(shù)有：項(xiàng).故選：C2.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參與接力競(jìng)賽，記事務(wù)A為“甲同學(xué)跑第一棒”，事務(wù)B為“乙同學(xué)跑其次棒”，則值為（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】B【解析】【分析】先確定甲同學(xué)跑第一棒的前提下，計(jì)算乙同學(xué)跑其次棒的可能性即可.【詳解】因?yàn)榧淄瑢W(xué)跑第一棒，所以跑其次棒的有三種可能：乙，丙，丁，故事務(wù)A發(fā)生的前提下事務(wù)B發(fā)生的概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為

1

2

3

4

則（）A. B. C. D.【3題答案】【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，故選B考點(diǎn)：概率分布4.設(shè)，若，則n=（）A.6 B.7 C.10 D.11【4題答案】【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，并結(jié)合求解即可.【詳解】解：綻開式第項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，所以，整理得，解?故選：B.5.在空間直角坐標(biāo)系中，平面的法向量為，已知，則P到平面的距離等于（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)面距的向量公式計(jì)算．詳解】所求距離為．故選：C．6.如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）綻開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的全部數(shù)字之和為（）A.256 B.512 C.1024 D.1023【6題答案】【答案】B【解析】【分析】由圖形以及二項(xiàng)式系數(shù)和的有關(guān)性質(zhì)可得.【詳解】由圖知，第10行的全部數(shù)字之和為，由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)知，第10行排在偶數(shù)位置的全部數(shù)字之和為．故選：B7.已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中隨意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中隨意一點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間四點(diǎn)共面的充要條件代入即可解決【詳解】由、、、四點(diǎn)共面，且其中隨意三點(diǎn)均不共線可得，解之得故選：D8.形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1，2，3，4，5可組成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為A.20 B.18 C.16 D.11【8題答案】【答案】C【解析】【分析】依據(jù)“波浪數(shù)”的定義，可得“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字必有5、另一數(shù)是3或4，分別計(jì)算出每種的個(gè)數(shù)，相加即可.【詳解】此“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字必有5、另一數(shù)是3或4；是4時(shí)“波浪數(shù)”有；另一數(shù)3時(shí)4、5必需相鄰即45132；45231；13254；23154四種．則由1，2，3，4，5可構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”個(gè)數(shù)為16，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，要對(duì)該問題精確分類，做到不充分，不遺漏，正確求解結(jié)果，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．漏選得2分，錯(cuò)選得0分．9.甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球.表示事務(wù)“從甲罐取出的球是紅球”，表示事務(wù)“從甲罐取出的球是白球”，B表示事務(wù)“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是（）A.，為對(duì)立事務(wù) B.C. D.【9題答案】【答案】ABC【解析】【分析】利用對(duì)立事務(wù)的定義推斷選項(xiàng)A正確；再利用概率計(jì)算得選項(xiàng)BC正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】解：對(duì)于A，由于甲罐中只有紅球和白球，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有4個(gè)紅球，7個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故B正確；對(duì)于D，當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有3個(gè)紅球，8個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確.故選：ABC.10.設(shè)，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.當(dāng)時(shí)，除以的余數(shù)是1【10題答案】【答案】ACD【解析】【分析】在綻開式中，令求得結(jié)論推斷A，依據(jù)二項(xiàng)式定理求得，推斷B，令，換元后，對(duì)求導(dǎo)后，再令所得結(jié)論推斷C，，代入后，綻開后，應(yīng)用整數(shù)學(xué)問可得余數(shù)從而推斷D．【詳解】在綻開式中令，即得，A正確；，所以，，，B錯(cuò)；令，則，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，令得，C正確；時(shí)，，綻開式右邊共7項(xiàng)，前6項(xiàng)都是2000的整數(shù)倍，因此它除以2000的余數(shù)是1，D正確．故選：ACD．11.我校以大課程觀為理論基礎(chǔ)，以關(guān)鍵實(shí)力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深化探究一般中學(xué)創(chuàng)新人才培育的校本化課程體系.本學(xué)期共開設(shè)了八大類校本課程，詳細(xì)為學(xué)課拓展（X）、體藝特長(zhǎng)（T）、實(shí)踐創(chuàng)新(S)、生涯找劃(C)、國(guó)際視野(I)、公民素養(yǎng)（G）、高校先修（D）、PBL項(xiàng)目課程（P）八大類，假期里確定接著開設(shè)這八大類課程，每天開設(shè)一類且不重復(fù)，連續(xù)開設(shè)八天，則（）A.某學(xué)生從中選3類，共有56種選法B.課程“X”、“T”排在不相鄰兩天，共有種排法C.課程中“S”、“C”、“T”排在相鄰三天，且“C”只能排在“S”與“T”的中間，共有720種排法D.課程“T”不排在第一天，課程“G”不排在最終一天，共有種排法【11題答案】【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)結(jié)合組合的思想即可推斷；B選項(xiàng)采納插空法做；C選項(xiàng)采納捆綁法求解；D選項(xiàng)分成兩類，一是“G”排在第一天，二是“G”排在除第一天和最終一天之外的某一天，從而可求出總排法.【詳解】解：A：，即A正確；B：若“X”、“T”不相鄰，剩余6類排列方法為,形成7個(gè)空，則“X”、“T”填入7個(gè)空的方法為，所以共有種排法；C：先排列“S”、“C”、“T”三科則有種排列方法，三科形成整體與剩余5科再進(jìn)行全排列，則方法有種排列方法，所以共有種方法；D：分成兩類狀況，一是“G”排在第一天，則此類狀況下排法有種，二是“G”排在除第一天和最終一天之外的某一天，有種方法，則共有種排法.故選:ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題實(shí)行“捆綁法”；（2）不相鄰問題實(shí)行“插空法”；（3）有限制元素實(shí)行“優(yōu)先法”；（4）特別元素依次確定問題，先讓全部元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).12.如圖四棱錐，平面平面，側(cè)面是邊長(zhǎng)為正三角形，底面為矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面 B.與平面所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為 D.異面直線與所成的角的余弦值為【12題答案】【答案】BD【解析】【分析】A：應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定可得面，故不行能垂直面；B：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)注點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)，求面的一個(gè)法向量，進(jìn)而求線面角的余弦值；C：由即可求體積；D：由，則與所成角即為所求角，利用余弦定理求其余弦值即可.【詳解】A：底面為矩形，即，面面，面面，面，所以面，過有且只有一條直線與面垂直，即不行能垂直面，錯(cuò)誤；B：為的中點(diǎn)，過作，由題設(shè)構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，有，所以，若與平面所成角為，則，故，正確；C：連接，則，由題設(shè)知三棱錐的底面面積為，高為，所以，錯(cuò)誤；D：由題設(shè)知：，故異面直線與所成的角即為與所成角，即為，而，由余弦定理可得，正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：A中證明面，過有且只有一條直線與面垂直，即可解除；B應(yīng)用向量法，求線面角的正弦值；C應(yīng)用等體積有，即可求體積；D應(yīng)用平行找到異面直線所成角的平面角，由余弦定理求其余弦值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.，則______.【13題答案】【答案】5【解析】【分析】由排列數(shù)公式變形求解．【詳解】因?yàn)?，所以，，或，又，所以．故答案為?．14.從4對(duì)夫婦中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行核酸檢測(cè)，則所抽取的3人中任何兩人都不是夫妻的概率是_______（結(jié)果用數(shù)值表示）．【14題答案】【答案】.【解析】【分析】從4對(duì)夫婦中隨機(jī)抽取3人,故總數(shù)是，3人中任何兩人都不是夫妻可先從4對(duì)夫婦中選3對(duì)夫妻出來，有種選擇，再?gòu)拿繉?duì)夫妻2人中選1人,有種，再算出所求概率.【詳解】從4對(duì)夫婦中隨機(jī)抽取3人,故總數(shù)是,3人中任何兩人都不是夫妻可先從4對(duì)夫婦中選3對(duì)夫妻出來，有種選擇，再?gòu)拿繉?duì)夫妻2人中選1人,有種，即有種，故所求概率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題是組合與古典概型的綜合題，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖所示，已知四面體A-BCD的棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，設(shè)=，=，=，則||=______.

【15題答案】【答案】##【解析】【分析】連接，利用勾股定理計(jì)算出，再由勾股定理計(jì)算出，得結(jié)論．【詳解】連接，如圖，由于是中點(diǎn)，四面體A-BCD的棱長(zhǎng)均為1，則，又是中點(diǎn)，所以，所以．故答案為：．16.將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京高校、上海交通高校、浙江高校三所高校就讀，每所高校至少保送一人．（1）有________種不同的保送方法；（2）若甲不能被保送到北大，有________種不同的保送方法．【16題答案】【答案】①.150②.100【解析】【分析】（1）將5名學(xué)生分組，有2，2，1和3，1，1兩種形式，對(duì)這兩種狀況求分組的方法然后再安排即可.（2）將5名學(xué)生依據(jù)（1）進(jìn)行分組，然后再這三組中含有甲的一組只有兩種選擇，剩下兩組無限制，共有4種方法，乘以4即可.【詳解】（1）5名學(xué)生可分成2，2，1和3，1，1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2，2，1時(shí)，共有＝90種方法；當(dāng)5名學(xué)生分成3，1，1時(shí)，共有＝60種方法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有90＋60＝150種保送方法．（2）先將五人分成三組，因?yàn)橐竺拷M至少一人，所以可選擇的只有2，2，1或3，1，1，所以有(種)分組方法．因?yàn)榧撞荒鼙槐Ｋ偷奖贝螅杂屑椎哪墙M只有上海交大和浙大兩個(gè)選擇，剩下的兩組無限制，一共有4種方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(種)．故答案為：150100【點(diǎn)睛】本題考查分組安排問題，屬于中檔題.思路點(diǎn)睛：（1）分組安排問題先分組后安排；（2）平均分組問題，有組均分就除以.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.人站成兩排隊(duì)列，前排人，后排人.（1）一共有多少種站法；（2）現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，求有多少種不同的加入方法.【17題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，將7個(gè)人全排列，再將其中前3人支配在前排，后面4人支配在后排即可，由排列數(shù)公式計(jì)算可得答案；（2）依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①前排3人有4個(gè)空，從甲乙丙3人中選1人插入；②對(duì)于后排，分2種狀況探討，求出后排排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】（1）依據(jù)題意，將7個(gè)人全排列，再將其中前3人支配在前排，后面4人支配在后排即可；則有種排法，（2）依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①前排3人有4個(gè)空，從甲乙丙3人中選1人插入，有種排法；②對(duì)于后排，若插入的2人不相鄰有種，若相鄰有種，則后排的支配方法有種；則有種排法．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，求解時(shí)留意分類探討思想的運(yùn)用.18.已知（x+）n的綻開式中的其次項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等．（1）求n的值；（2）求綻開式中全部的有理項(xiàng)．【18題答案】【答案】（1）；（2）,,．【解析】【分析】（1）寫出二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，得到其次項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)，所以得到關(guān)于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，寫出二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，整理后，得到其的指數(shù)為整數(shù)的的值，再寫出其綻開式中的有理項(xiàng).【詳解】解：二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式為，；（1）依據(jù)綻開式中的其次項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等,得，即,解得；（2）二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式為，；當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)項(xiàng)是有理項(xiàng),所以綻開式中全部的有理項(xiàng)為,,．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)綻開式的項(xiàng)的系數(shù)，求二項(xiàng)綻開式中的有理項(xiàng)，屬于中檔題.19.某中學(xué)學(xué)校為展示學(xué)生的青春風(fēng)采，舉辦了校內(nèi)歌手大賽，該大賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參與決賽的學(xué)生依據(jù)抽簽方式確定出場(chǎng)依次，通過預(yù)賽，選拔出甲、乙等5名學(xué)生參與決賽．（1）求決賽中學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位的概率；（2）若決賽中學(xué)生甲和學(xué)生乙之間間隔的人數(shù)記為，求的分布列．【19題答案】【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）有特別要求的元素優(yōu)先考慮（2）按求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟求解即可【小問1詳解】設(shè)“學(xué)生甲、乙恰好排在前兩位”為事務(wù)，則【小問2詳解】隨機(jī)變量的可能取值為，，，，，隨機(jī)變量X的分布列為21.如圖，四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1的底面是矩形，平面ABCD⊥平面ABB1A1，AB＝2A1B1＝2，AA1＝2，．（1）求證：DC⊥AA1；（2）若二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值為，求AD的長(zhǎng)．【21題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）AD＝4．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理可得，由此可知，結(jié)合，可知，可得AA1⊥平面ABCD，進(jìn)而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)題設(shè)關(guān)系，求出平面及平面的法向量，依據(jù)題設(shè)建立方程，即可求解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則BE⊥B1E，所以AA1⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABB1A1，所以AA1⊥平面ABCD，又由DC平面ABCD，所以DC⊥AA1.（2）由（1）知AA1⊥AD，設(shè)AD＝2a（），分別以所在的直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，0，2），C（2a，0，2），D（2a，0，0），C1（a，2，1），故，設(shè)平面CC1D的法向量，則，即，取，可得平面CC1D的一個(gè)法向量，設(shè)平面BCC1的法向量，則，即，取，可得平面BCC1的一個(gè)法向量，所以由二面角B﹣CC1﹣D的二面角的余弦值為，可得，解得，所以.【點(diǎn)睛】求解直線與平面所成角的方法：1、定義法：依據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長(zhǎng)度比求得線面角的正弦值；2、向量法：分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量方法向量的夾角（或補(bǔ)角）；3、法向量法：求出斜線的方向向量和平面的法向量所夾的銳角，取其余角即為斜線與平面所成的角.22.用，，，，，這六個(gè)數(shù)字的部分或全部組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).（1）在組成的四位數(shù)中，求偶數(shù)個(gè)數(shù)；（2）在組成的三位數(shù)中，假如十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如，等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)；（3）在組成的四位數(shù)中，若將這些數(shù)按從小到大的依次排成一列，試求第個(gè)數(shù)字.【22題答案】【答案】（1）種