3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（知識(shí)解題達(dá)標(biāo)測(cè)試）（原卷版）

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【考點(diǎn)1：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)】【考點(diǎn)2：離心率的值及取值范圍】【考點(diǎn)3：根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸、虛軸求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【考點(diǎn)4：求共焦點(diǎn)的雙曲線方程】【考點(diǎn)5：雙曲線的漸近線】【考點(diǎn)6：等軸雙曲線】【考點(diǎn)7：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用】知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)、虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知識(shí)點(diǎn)2雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論（1）雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.（2）若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.（3）同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a.（4）設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為eq\f(b2,a2).（5）P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中θ為∠F1PF2.（6）等軸雙曲線①定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．②性質(zhì)：a＝b;e＝eq\r(2)；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．（7）共軛雙曲線①定義：若一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．②性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.【考點(diǎn)1：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)】【典例1】雙曲線9x2?4A．13,0 B．0,13 C．5,0【變式11】已知雙曲線C:x25?y2bA．3 B．2 C．4 D．31【變式12】若雙曲線x2m2+1?y2A．3 B．2 C．94 D．【考點(diǎn)2：離心率的值及取值范圍】【典例2】已知雙曲線x2?yA．2 B．2 C．3 D．5【變式21】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,4),(0,?4)，點(diǎn)(?6,4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．2【變式22】已知雙曲線x2a2?yA．2 B．233 C．2或233【變式23】若雙曲線x2a2?y2=1(a>0)A．2 B．2 C．1 D．2【考點(diǎn)3：根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸、虛軸求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【典例3】已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,1，離心率為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x2?y2=1 B．x2【變式31】雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=2，且點(diǎn)P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A．x24?y212=1 B．【變式32】已知雙曲線x2a2?yA．x2?y24=1 B．x【變式33】以橢圓x28+A．x24?y24=1 B．【考點(diǎn)4：雙曲線的漸近線】【典例4】已知雙曲線C:y2a2?x2A．y=±5x B．y=±6x C．【變式41】雙曲線x23m?A．y=±2x C．y=±2x D．y=±【變式42】雙曲線y24m?A．y=±22x B．y=±2x 【變式43】已知雙曲線C1:x2+y2A．x±y=0 B．2x±y=0 C．x±3y=0【變式44】雙曲線x24?【考點(diǎn)5：等軸雙曲線】【典例5】已知等軸雙曲線C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A42,2，則雙曲線CA．x236?y236=1 B．【變式51】等軸雙曲線的漸近線方程為（

）A．y=±2x B．y=±3x C．【變式52】若雙曲線C：x2m+y2m2A．1 B．?1 C．2 D．?2【變式53】中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線x?4y+22=0上的等軸雙曲線方程是（A．x2?yC．y2?x【考點(diǎn)6：共焦點(diǎn)的雙曲線】【典例6】多選題過(guò)點(diǎn)(3,2)且與橢圓x28+A．x225+y220=1 B．【變式61】過(guò)點(diǎn)2,3且與橢圓5x2+9A．x2?y23=1 B．x【變式62】與雙曲線x216?y2【考點(diǎn)7：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用】【典例7】3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為10的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為62cm，下底直徑為92cm，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為A．272cm B．18cm C．27【變式71】單葉雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來(lái)維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱(chēng)小蠻腰的廣州塔位于中國(guó)廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類(lèi)似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細(xì)處的直徑為100m，樓底的直徑為5022m，樓頂直徑為506m，最細(xì)處距樓底300m，則該地標(biāo)建筑的高為（A．350m B．375m C．400m D．450m【變式72】祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．某同學(xué)在暑期社會(huì)實(shí)踐中，了解到火電廠的冷卻塔常用的外形可以看作是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面（如圖）．現(xiàn)有某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙，其外形的雙曲線方程為x2?y24

【變式73】青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.如圖是一個(gè)落地青花瓷，其外形稱(chēng)為單葉雙曲面，且它的外形左右對(duì)稱(chēng)，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16cm，上瓶口圓的直徑為20cm，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12cm，則該雙曲線的離心率為.一、單選題1．已知等軸雙曲線C的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A42,2，則雙曲線CA．x236?y236=1 B．2．等軸雙曲線的漸近線方程為（

）A．y=±2x B．y=±3x C．3．若雙曲線C：x2m+y2m2A．1 B．?1 C．2 D．?24．中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線x?4y+22=0上的等軸雙曲線方程是（A．x2?yC．y2?x5．設(shè)雙曲線E的中心為O，一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)F作E的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B．若BF=2OA，則EA．62 B．2 C．3 6．若雙曲線x25+y2m=1A．?5 B．?10 C．?15 D．?207．已知雙曲線C:y2a2?x2A．y=±3x B．y=±33x 8．雙曲線E:x29A．y=±14x B．y=±12x9．已知雙曲線C:x24?y23=1，以右頂點(diǎn)A為圓心，r為半徑的圓上一點(diǎn)M（M不在x軸上）處的切線與C交于S、T兩點(diǎn)，且A．r>2217 B．0<r<45710．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,bA．2+12,+C．2,+∞ 11．雙曲線y23?A．±3,0 B．0,±3 C．±3,012．已知點(diǎn)A為雙曲線x24?y2=1的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在雙曲線的左支上，若A．4 B．89 C．169 二、填空題13．雙曲線x29?14．如果雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它的焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)軸的長(zhǎng)為8，焦距為10．則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為