專題08解三角形及其應(yīng)用（2知識點(diǎn)3重難點(diǎn)6方法技巧5易錯易混）

專題08解三角形及其應(yīng)用（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯）知識點(diǎn)1正、余弦定理及應(yīng)用1、正、余弦定理與變形定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，可用正弦定理．在根據(jù)另一邊所對角的正弦值確定角的值時，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對大角，大角對大邊”及三角形內(nèi)角和定理去考慮問題．2、解三角形中的常用結(jié)論（1）三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).（2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系=1\*GB3①sin(A＋B)＝sinC；=2\*GB3②cos(A＋B)＝－cosC；=3\*GB3③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；=4\*GB3④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.（4）三角形中的大角對大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB.3、三角形常用面積公式（1）S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；（2）S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；（3）S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．知識點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用名稱意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線eq\a\vs4\al(下)方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指eq\a\vs4\al(北)方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的eq\a\vs4\al(銳)角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：【注意】（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問題中對角的不同描述．（2）將三角形的解還原為實(shí)際問題時，要注意實(shí)際問題中的單位、近似值要求，同時還要注意所求的結(jié)果是否符合實(shí)際情況．重難點(diǎn)01解三角形中的最值范圍問題1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略（1）定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍．（2）構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示．（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值．2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．（2）注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等．類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍【典例1】（2324高三下·山西·模擬預(yù)測）鈍角中，角的對邊分別為，，，若，則的最大值是.【答案】【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)椋傻?，所以，則或.當(dāng)時，可得，與是鈍角三角形矛盾，所以，由，則，可得，所以，所以當(dāng)時，的最大值為.【典例2】（2324高三下·福建廈門·三模）記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)椋?，由余弦定理可得：，可得，在銳角中，由余弦定理可得：，因?yàn)?，即，即，所以，所以，所?類型2邊或周長的最值范圍【典例1】（2324高三下·江蘇·月考）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）若求的大??；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，在中，，由余弦定理得，∴，，∵，∴，或（舍），∵，，．（2）由題意及（1）得，在中，，由正弦定理得，，為銳角三角形，解得：，，∴的取值范圍為．【典例2】（2324高三下·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）試判斷的形狀；（2）若，求周長的最大值.【答案】（1）是直角三角形；（2）【解析】（1）由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周長為，因?yàn)?，可得，所以，?dāng)時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.類型3三角形面積的最值范圍【典例1】（2324高三下·廣東茂名·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求的大??；（2）若是邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，由正弦定理可得，，，，，，即，即；（2）依題意，，，，，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，面積的最大值為.【典例2】（2324高三下·湖北武漢·二模）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，由正弦定理得，，即，所以，∵，∴，∴，∵，∴；（2）由正弦定理，得，∴，又∵，為銳角，∴的最大值為，∴的最大值為.重難點(diǎn)02解三角形角平分線的應(yīng)用如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠（2）內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識解決起來都較為簡捷。（3）等面積法：因?yàn)镾?ABD+S所以b+cAD=2bccosA2，【典例1】（2324高三下·江西·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，，故，，即，又，則．（2）由（1）可知，，又外接圓的半徑為；由正弦定理可知，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€，故，又，由，可得，即．①由余弦定理可知，，即．②由①②可知．所以，又，則，所以.【典例2】（2324高三下·河北滄州·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求證：；（2）若的角平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理及，得，即，由正弦定理，得，即，由，得，則，因此，即，則，所以．（2）由，得，由，得．在，中，由正弦定理，得，則，解得，從而，又，由余弦定理，得，解得，所以BD的長為.重難點(diǎn)03解三角形中線的應(yīng)用1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD的值也適用）【典例1】（2324高三下·山西·三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點(diǎn)，則長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由的外接圓半徑，得，由和得，又，解得，所以.因?yàn)橹?，是邊的中點(diǎn)，所以,于是.故選：D.【典例2】（2324高三下·黑龍江哈爾濱·三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且邊上中線長為1，則最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，又，且D是的中點(diǎn)，所以，在中，，在中，，所以，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故選：A一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等?！镜淅?】（2324高三下·浙江金華·三模）在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【解析】由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故選：C.【典例2】（2324高三下·江蘇·二模）設(shè)鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則.【答案】【解析】由余弦定理得，，而由，得，因?yàn)槭氢g角三角形，且，故A為銳角，所以，所以，解得或，當(dāng)時，即，，由大邊對大角得：最大角為C，，故C為銳角，不符合題意；當(dāng)時，即，，由大邊對大角得：最大角為B，，故B是鈍角，符合題意.【典例3】（2324高三下·廣東江門·二模）是內(nèi)一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以．在中，由正弦定理可得，則，即，即，解得．故選：D二、判定三角形形狀的兩種常用途徑1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷【典例1】（2324高三下·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為.【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】因?yàn)?，可得，由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，即，即，可得，所以或，所以是等腰三角形或直角三角?【典例2】（2324高三下·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定【答案】A【解析】由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，因?yàn)?，所以?故選：A.三、三角形的面積及應(yīng)用1、三角形面積公式的使用原則：對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是使用哪一個角就使用哪一個公式；2、與面積有關(guān)的問題：一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；3、三角形的周長問題：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)22ab將問題轉(zhuǎn)化為求兩邊之和的問題?！镜淅?】（2324高三下·重慶·三模）（多選）在中，角的對邊為若，則的面積可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】AC【解析】由余弦定理得:，即或4，故面積或.故選：AC.【典例2】（2324高三下·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）證明：.（2）若，，求的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）或【解析】（1）根據(jù)正弦定理知，整理得，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得；?）因?yàn)椋?，由余弦定理可得，即，則，因?yàn)?，所以，所以，則，即，解得或，當(dāng)時，，此時的面積，當(dāng)時，，此時的面積.所以的面積為或.四、利用正弦定理解三角形的外接圓利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍?！镜淅?】（2324高三下·云南·月考）在中，角，，所對的邊分別為，，，記的面積為，已知，，，求外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，由余弦定理，得，，，在三角形中，則或(舍)，故，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，則，因?yàn)?，所以，所?故選：B.【典例2】（2324高三下·河南·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）如圖所示，為平面上一點(diǎn)，與構(gòu)成一個四邊形，且，若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?（2）在中，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以四邊形存在一個外接圓，所以圓的直徑為，因?yàn)?，即，?dāng)AD為圓O直徑時取等號，故的最大值為.五、利用解三角形解決測量距離問題1、解決方法：選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解。2、求距離問題的注意事項(xiàng)（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．【典例1】（2324高三下·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時需要航行的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往營救遇險(xiǎn)漁船時需要航行的距離為.故選：B.【典例2】（2324高三上·廣東廣州·月考）如圖，、兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且、兩點(diǎn)均不可到達(dá)．現(xiàn)需測、兩點(diǎn)間的距離，測量者在河對岸選定兩點(diǎn)、，測得，同時在、兩點(diǎn)分別測得，，，則、兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，是等邊三角形，；中，，，，由正弦定理得，，，，中，由余弦定理得，，即、兩點(diǎn)間的距離為．故選：D．六、求解高度問題應(yīng)注意的三個問題1、要理解仰角、俯角的定義；2、在實(shí)際問題中可能遇到空間與平面（底面）同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題?！镜淅?】（2324高三下·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）海寶塔位于銀川市興慶區(qū)，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內(nèi)有木梯可盤旋登至頂層，極目遠(yuǎn)眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測量海寶塔的高度，某同學(xué)（身高173cm）在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿點(diǎn)向塔的正前方走了38m到達(dá)點(diǎn)處，此時測得塔頂?shù)难鼋菫?，?jù)此可估計(jì)海寶塔的高度約為m.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）

【答案】【解析】如圖，設(shè)海寶塔塔底中心為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，由題意知，m，m，所以，則，在中，m，又是的外角，即有，所以，在中，m，設(shè)m，則m，在中，由勾股定理得，即，整理得，解得或（舍），所以m，所以m，即海寶塔的高度為m.【典例2】（2324高三下·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個測量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測得米，，在點(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度米.【答案】204【解析】設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測得點(diǎn)A的仰角為，所以，所以.因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.由余弦定理，可得，即，解得.易錯點(diǎn)1利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數(shù)。點(diǎn)撥：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)?！镜淅?】（2324高三上·河北正定·月考）在中，已知，，則角B等于（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】，由正弦定理可得，，由可得，，則故選：A【典例2】（2324高三上·安徽·月考）（多選）在中，角所對的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BD【解析】選項(xiàng)A，點(diǎn)A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；選項(xiàng)B，點(diǎn)A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；選項(xiàng)C，點(diǎn)A到邊BC的距離是，三角形無解；選項(xiàng)D，根據(jù)已知可解出，，∴三角形有唯一解.故選：BD.易錯點(diǎn)2解三角形時，在中忽視的解點(diǎn)撥：解題時容易習(xí)慣性約去相同的項(xiàng)，沒有注意到約分的條件，當(dāng)此時，可以左右兩邊約去，從而造成漏解，所以考生在平時解題養(yǎng)成習(xí)慣，什么時候可以約，要牢記?！镜淅?】（2324高三下·山東·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所?【典例2】（2324高三下·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，且，的面積為，則（

）A．4 B． C．4或 D．或【答案】C【解析】由及余弦定理得．若，則，，故，，所以，所以．若，則，，由正弦定理得．因?yàn)?，所以，，所以，，，所以，，所以，所以，解得．綜上，或．故選：C．易錯點(diǎn)3忽視對角的討論點(diǎn)撥：當(dāng)解題過程中出現(xiàn)類似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論，另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時一定要注意條件之間的相互“限制”?！镜淅?】（2324高三下·全國·模擬預(yù)測）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，由正弦定理得，即，又，所以，所以，即，所以或（舍去），所以，又，解得，所以，所以，即的取值范圍為．故選:D．【典例2】（2324高三下·重慶·月考）銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若邊上的中線長為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以或，若，則，與為銳角三角形矛盾，舍去，從而