高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第02章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)模型的應(yīng)用未單獨(dú)考查命題分析對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查多以社會(huì)實(shí)際生活為背景，設(shè)問(wèn)新穎、靈活，常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力、函數(shù)綜合應(yīng)用能力，以解答題為主，分值12分.幾類函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(2)指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax提醒：(1)解應(yīng)用題思路的關(guān)鍵是審題，不僅要明白、理解問(wèn)題講的是什么，還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)．(2)在解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域，建模的關(guān)鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關(guān)系．(3)解決完數(shù)學(xué)模型后，注意轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題寫(xiě)出總結(jié)答案．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函數(shù)值大．()(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xα(α>0)的增長(zhǎng)速度．()(3)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻．()(4)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快．()(5)指數(shù)函數(shù)模型，一般用于解決變化較快，短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問(wèn)題中．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．(教材習(xí)題改編)在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A．y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61cosx解析：選B由表格知當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，C中y＝eq\f(1,2)(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos3＜0，不合要求，故選B.3．一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(解析：選B由題意h＝20－5t,0≤t≤4.結(jié)合圖象知應(yīng)選B.4．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬(wàn)元)．一萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A．36萬(wàn)件 B．18萬(wàn)件C．22萬(wàn)件 D．9萬(wàn)件解析：選B利潤(rùn)L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．5．某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，則到第8年它們發(fā)展到的只數(shù)為_(kāi)_______.解析：∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.答案：200用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題[明技法]判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．[提能力]【典例】(2018·邯鄲檢測(cè))已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()解析：選D依題意知當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知，選D.[刷好題](金榜原創(chuàng))某地一天內(nèi)的氣溫Q(t)(單位：℃)與時(shí)刻t(單位：時(shí))之間的關(guān)系如圖所示，令C(t)表示時(shí)間段[0，t]內(nèi)的溫差(即時(shí)間段[0，t]內(nèi)最高溫度與最低溫度的差)，C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的圖象是()解析：選D當(dāng)0<t<4時(shí)，最高溫度不變，最低溫度減小，所以溫差變大，排除C；當(dāng)4<t<8時(shí)，前面一段溫差不變，后面一段最高溫度增大，所以溫差變大，排除A，B，選D.已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題[明技法]利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖象，求解時(shí)先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值，再用求得的函數(shù)解析式解決實(shí)際問(wèn)題．[提能力]【典例】(2018·貴陽(yáng)檢測(cè))候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥(niǎo)類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥(niǎo)類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a、b是實(shí)數(shù))．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若這種鳥(niǎo)類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，解：(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥(niǎo)類靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，即－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得Q≥270.所以若這種鳥(niǎo)類為趕路程，飛行的速度不能低于2m[刷好題]1．(2018·雅安質(zhì)檢)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：h)與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192h，在22℃的保鮮時(shí)間是48h，則該食品在33A．16h B．20hC．24h D．28h解析：選C由題意，得(0,192)和(22,48)是函數(shù)y＝ekx＋b圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(192＝eb，,48＝e22k＋b.))解得e11k＝eq\f(1,2).所以當(dāng)儲(chǔ)藏溫度為33℃時(shí)，保鮮時(shí)間y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\f(1,8)×192＝24(h)．2．(金榜原創(chuàng))某航空公司規(guī)定，乘飛機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量(kg)與其運(yùn)費(fèi)(元)由如圖的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量最大為_(kāi)_______kg.解析：由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.答案：19構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題[析考情]高考對(duì)函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯，以解答題為主要形式出現(xiàn)，考查用函數(shù)知識(shí)解決以社會(huì)實(shí)際生活為背景的成本最低、利潤(rùn)最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等實(shí)際問(wèn)題．[提能力]命題點(diǎn)1：構(gòu)建一次、二次、分段函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【典例1】(2018·銅陵模擬)已知華為公司生產(chǎn)某款的年固定成本為40萬(wàn)美元，每生產(chǎn)1萬(wàn)只還需另投入16萬(wàn)美元．設(shè)華為公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款x萬(wàn)只并全部銷售完，每萬(wàn)只的銷售收入為R(x)萬(wàn)美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0＜x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x＞40.))(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)只)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí)，華為公司在該款的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．解：(1)當(dāng)0＜x≤40時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，當(dāng)x＞40時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360.所以，W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0＜x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x＞40.))(2)①當(dāng)0＜x≤40時(shí)，W＝－6(x－32)2＋6104.所以Wmax＝W(32)＝6104；②當(dāng)x＞40時(shí)，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)×16x)＝1600，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時(shí)，取等號(hào)，所以W取最大值為5760.綜合①②，當(dāng)x＝32時(shí)，W取最大值為6104萬(wàn)美元．命題點(diǎn)2：構(gòu)建“對(duì)勾”函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【典例2】(2018·撫州模擬)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．解：(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋eq\f(800,3x＋5)(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋eq\f(800,3x＋5)－10≥2eq\r(6x＋10\f(800,3x＋5))－10＝70(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝eq\f(800,3x＋5)，即x＝5時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)隔熱層厚度為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)命題點(diǎn)3：構(gòu)建指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【典例3】(2018·漳州模擬)世界人口在過(guò)去40年翻了一番，則每年人口平均增長(zhǎng)率約是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%解析：選C設(shè)每年人口平均增長(zhǎng)率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.[悟技法]解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序第一步：審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建?！獙⑽淖终Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解?！蠼鈹?shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原——將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義；第五步：反思——對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性．[刷好題]