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2021-2021學(xué)年福建省龍巖市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.為虛數(shù)單位,,那么復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在〔〕A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn),再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?,所?復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.應(yīng)選:A.2.設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么向量可作為基底的是〔〕A. B.C. D.【答案】C【分析】逐項(xiàng)判斷向量是否共線,假設(shè)不共線,那么可以作為基底【詳解】解:對(duì)于A,因?yàn)椋怨簿€,所以不能作為基底,所以A不合題意;對(duì)于B,因?yàn)?,所以共線,所以不能作為基底,所以B不合題意;對(duì)于C,假設(shè)共線,那么存在唯一實(shí)數(shù),使,即,所以且,所以不存在,所以不共線,所以可以作為基底,所以C符合題意;對(duì)于D,因?yàn)椋怨簿€,所以不能作為基底,所以D不合題意,應(yīng)選:C3.新中國成立以來,我國共進(jìn)行了次人口普查,這次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如以下圖所示.根據(jù)該圖數(shù)據(jù)判斷,以下選項(xiàng)中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)B.城鎮(zhèn)人口數(shù)到達(dá)最頂峰是第次C.和前一次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第次D.和前一次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量最小的是第次【答案】A【分析】結(jié)合信息圖,逐項(xiàng)分析即可.【詳解】A:因?yàn)?021年城鎮(zhèn)人口高于鄉(xiāng)村人口,故A錯(cuò)誤;B:因?yàn)槌擎?zhèn)人口數(shù)到達(dá)最頂峰是2021年,即第7次,故B正確;C:第二次和第一次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量為;第三次和第二次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量為;第四次和第三次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量為;第五次和第四次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量為;第六次和第五次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量為;第七次和第六次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量為;所以和前一次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第次,故C正確;和前一次相比,城鎮(zhèn)人口比重增量最小的是第次,故D正確.應(yīng)選:A4.在中,角的對(duì)邊分別為,假設(shè),那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)條件求出角,然后結(jié)合正弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋敲?,結(jié)合正弦定理,即,解得,應(yīng)選:B.5.圓柱的側(cè)面積為,體積為那么該圓柱的軸截面的面積為〔〕A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積與體積公式,解得底面半徑及高,即可得到圓柱的軸截面面積.【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為,高為,那么由題意得到,解得,所以圓柱軸截面為正方形,此圓柱的軸截面正方形的面積為應(yīng)選:.6.假設(shè)是兩個(gè)不重合的平面,是三條不重合的直線,那么以下命題中正確的選項(xiàng)是〔〕A.假設(shè),那么B.假設(shè),那么C.假設(shè),且,那么D.假設(shè),那么【答案】D【分析】結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判定,可以利用定理推理,也可以使用反例排除.【詳解】對(duì)于A,,的位置關(guān)系無法確定;對(duì)于B,兩個(gè)平面平行,需要一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線平行于另一個(gè)平面,顯然不滿足;對(duì)于C,線面垂直需要直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,缺少相交的條件;對(duì)于D,,,所以,因?yàn)?,所以;?yīng)選:D.7.菱形,且,那么的余弦值為〔〕A. B. C. D.【答案】D【分析】以為軸建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)條件得出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),由得出點(diǎn)的坐標(biāo),再得出向量的坐標(biāo),由向量的夾角公式可得答案.【詳解】在菱形中,設(shè)交于點(diǎn),分別以為軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.由,那么由,那么點(diǎn)為的中點(diǎn),所以那么所以應(yīng)選:D8.現(xiàn)有個(gè)相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字,從中有放回的隨機(jī)抽取兩次,每次抽取一個(gè)球,記:事件表示“第一次取出的球數(shù)字是〞,事件表示“第二次取出的球數(shù)字是〞,事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為〞,事件表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為〞,那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔〕A.事件和事件相互獨(dú)立 B.事件和事件相互獨(dú)立C.事件和事件相互獨(dú)立 D.事件和事件相互獨(dú)立【答案】C【分析】首先求出然后求出進(jìn)而根據(jù)事件獨(dú)立的概率乘法公式即可判斷.【詳解】因?yàn)楣适录褪录嗷オ?dú)立應(yīng)選:C.二、多項(xiàng)選擇題9.設(shè)為復(fù)數(shù),那么〔〕A.假設(shè),那么 B.假設(shè),那么C.假設(shè),那么 D.假設(shè)滿足,那么的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的根本運(yùn)算法那么進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】解:因?yàn)闉閺?fù)數(shù),對(duì)于A:假設(shè),那么為實(shí)數(shù),所以,故A正確;對(duì)于B:假設(shè),即,即,顯然當(dāng)時(shí),上式也成立,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:由,那么,,所以,應(yīng)選項(xiàng)C正確;對(duì)于D:設(shè),,因?yàn)?,所以,所以,那么,因?yàn)?,所以,故D正確;應(yīng)選:ACD10.正四面體的棱長為分別為的中點(diǎn).以下說法正確的有〔〕A.B.異面直線與所成角的余弦值為C.該正四面體的體積為D.該正四面體的內(nèi)切球體積為【答案】ABD【分析】由正四面體性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng),即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A,由于正四面體的相對(duì)棱互相垂直可知,,那么,故A正確;對(duì)于B,取中點(diǎn),連接,由,可知異面直線與所成角即為,在中,,由余弦定理計(jì)算可得,故B正確;對(duì)于C,過點(diǎn)作面于點(diǎn),由正四面體性質(zhì)可知,為的中心,計(jì)算可得,,該正四面體的體積為,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為,由等體積可知,,該正四面體的內(nèi)切球體積為,故D正確.應(yīng)選:ABD.11.在平行四邊形中,,那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔〕A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是【答案】BC【分析】用為基底向量,將向量分別表示出來,由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合的范圍可得答案.【詳解】所以由,那么所以的最小值是,最大值為10.應(yīng)選:BC.12.在中,角對(duì)邊分別為,設(shè)向量,且,那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔〕A. B.C. D.假設(shè)的面積為,那么【答案】BC【分析】根據(jù)向量平行得到,結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而利用正弦定理得到,化簡(jiǎn)整理即可判斷A、B選項(xiàng);利用正弦定理及二倍角公式將轉(zhuǎn)化為,然后求出角A的范圍,進(jìn)而求出值域即可判斷C選項(xiàng);利用,結(jié)合正弦定理及二倍角公式化簡(jiǎn)整理可求得角,進(jìn)而可以求出角,從而可以判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄浚?,所以,即,結(jié)合余弦定理得,,,再結(jié)合正弦定理得,,又因?yàn)?所以,,,,所以,故,所以B正確,A錯(cuò)誤;,因?yàn)椋?,又因?yàn)椋?,所以,即,因此,故C正確;因?yàn)?,結(jié)合正弦定理,即,那么,,,,那么,或,故或,故或,故D錯(cuò)誤.應(yīng)選:BC.三、填空題13.向量,假設(shè),那么________________________.【答案】【分析】先求出,利用向量垂直,列方程求出.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,解得?故答案為:14.記一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,且,那么_______________________.【答案】【分析】將展開,重新分組結(jié)合和條件可得答案.【詳解】所以故答案為:415.圓的弦的長度為,那么________________________.【答案】【分析】利用平面向量的數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】如下圖:因?yàn)橄业拈L度為,所以,所以,故答案為:616.三棱錐,側(cè)面底面,那么_____________________.,三棱錐外接球的外表積為________________________.【答案】【詳解】解:〔1〕取BC中點(diǎn)D,連接PD,AD.由題知,和均為正三角形且邊長為,故.面PBC面ABC,由面面垂直的性質(zhì)知PD面ABCAD面ABC,在Rt中,.〔2〕設(shè)三棱錐P-ABC的外接球球心為O,故O到面ABC和面PBC的射影均為和的中心E、F,即四邊形OFDE為正方形,在中,,那么球的外表積.故答案為:.四、解答題17.復(fù)數(shù).〔1〕假設(shè),求;〔2〕求的最小值.【答案】〔1〕或;〔2〕.【分析】〔1〕由,解出方程得到答案.〔2〕由可得其最小值.【詳解】解:〔1〕因?yàn)?,所以,所以或.?〕所以時(shí),的最小值為18.如圖,是圓錐的頂點(diǎn),是底面圓的直徑,為底面圓周上異于的點(diǎn),為的中點(diǎn).〔1〕求證:平面平面〔2〕假設(shè)圓錐的側(cè)面積為,且,求該圓錐的體積.【答案】〔1〕證明見解析;〔2〕.【分析】〔1〕由底面圓得到,再證明出即可證明平面,利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面〔2〕利用圓錐的側(cè)面積為,且,計(jì)算出,直接求出體積即可.【詳解】〔1〕由圓錐的性質(zhì)可知,底面圓∵在底面圓上,∴,∵在圓上,為直徑,∴,又點(diǎn)分別為的中點(diǎn),∴∴又,且平面,∴平面,又平面,∴平面平面.〔2〕∵,∴,∴底面周長為,∴,∴.19.為了解某班級(jí)學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績情況,抽取該班名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出其頻率分布直方圖〔如圖〕,從左到右各長方形高的比為.〔1〕根據(jù)頻率分布直方圖,計(jì)算抽取的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和第百分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);〔2〕假設(shè)從分?jǐn)?shù)在和的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩位同學(xué),求抽取的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?cè)诘母怕剩敬鸢浮俊?〕平均數(shù)為;第百分位數(shù)為;〔2〕.【分析】〔1〕由頻率的比例關(guān)系及它們的和為1求出各區(qū)間的頻率,再根據(jù)直方圖求平均數(shù)、第百分位數(shù)即可;〔2〕確定、區(qū)間的人數(shù),從中隨機(jī)抽取兩位同學(xué)寫出所有可能組合,再確定兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?cè)诘慕M合,求古典概型的概率即可.【詳解】〔1〕由頻率分布直方圖中,高的比就是頻率的比,∴各區(qū)間上的頻率可依次設(shè)為且,故各區(qū)間上的頻率從左往右依次為:,∴平均數(shù)為:,假設(shè)第百分位數(shù)為,那么,解得;∴所求平均數(shù)為,第百分位數(shù)為.〔2〕由〔1〕知,數(shù)學(xué)成績?cè)诠灿腥?,分別記為;數(shù)學(xué)成績?cè)诠灿腥?,分別記為,從這6人中隨機(jī)抽出兩位同學(xué)的樣本空間,故,記事件表示“至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?cè)讪暷敲矗?,∴至少有一位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的概率為.20.在①;②這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問題.在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足,平分交于點(diǎn)且,求的面積.【答案】選擇見解析;.【分析】假設(shè)選①,由正弦定理可得,化簡(jiǎn)得,從而可得,進(jìn)而可得,假設(shè)選②,由正弦定理得,而,化簡(jiǎn)可得,從而可求出,由可得,由余弦定理可得,那么有,求出,從而可求出三角形的面積【詳解】解:假設(shè)選①,由正弦定理,得.由,得,由,得,所以,所以.又,得.假設(shè)選②,因?yàn)?,由正弦定理得,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以,又因?yàn)椋?,所以,所以.因?yàn)?,所以,化?jiǎn)得①,由余弦定理得,所以,所以②,聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得,所以,解得或〔舍去〕,又因?yàn)?,所以?1.甲、乙兩人組成“星隊(duì)〞參加猜成語活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語,甲每輪猜對(duì)的概率為乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中,甲和乙猜對(duì)與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.每輪甲、乙同時(shí)猜錯(cuò)的概率為,恰有一人猜錯(cuò)的概率為.〔1〕求和;〔2〕假設(shè),求“星隊(duì)〞在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)個(gè)成語的概率.【答案】〔1〕或;〔2〕.【分析】〔1〕由每輪甲、乙同時(shí)猜錯(cuò)的概率為,恰有一人猜錯(cuò)的概率為,得:,從而解得和的值;〔2〕由〔1〕得和的值,那么分甲猜對(duì)兩個(gè),乙猜對(duì)兩個(gè),甲猜對(duì)一個(gè)且乙猜對(duì)一個(gè)三種情況討論即可,然后相加即可得出答案.【詳解】解:〔1〕設(shè)M表示事件“每輪甲、乙同時(shí)猜錯(cuò)〞;N表示事件“恰有一人猜錯(cuò)〞,,,或;由〔1〕可知,設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語〞,表示事件“乙在兩輪中猜對(duì)個(gè)成語〞,,表示“星隊(duì)〞在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)成語的個(gè)數(shù)〞,由于兩輪猜的結(jié)果相互獨(dú)立,所以,所以“星隊(duì)〞在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)個(gè)成語的概率為.22.等邊三角形分別是邊上的三等分點(diǎn),且〔如圖甲〕,將沿折起到的位置〔如圖乙〕,是的中點(diǎn).〔1〕求證:平面;〔2〕假設(shè)二面角的大小為,求直線與平面所成角的正弦值.【答案】〔1〕證明見解析;〔2〕.【分析】〔1〕過點(diǎn)作交于點(diǎn)取的中點(diǎn),證明,平面即得證;〔2〕設(shè),那么證明,設(shè)在面內(nèi)的
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