2024～2025學年度八年級數(shù)學上冊11.1.1 三角形的邊教學設計

第十一章三角形11.1與三角形有關的線段11.1.1三角形的邊教學目標課題11.1.1三角形的邊授課人素養(yǎng)目標1.結合具體的實例，理解三角形的概念及其邊、角、頂點等基本要素，會用符號、字母表示三角形，進一步強化數(shù)學符號意識.2.能按邊的相等關系對三角形進行分類,體會分類的數(shù)學思想.3.理解三角形的三邊關系，能證明三角形的任意兩邊的和大于第三邊；會利用這個不等關系判斷已知的三條線段能否組成三角形，及已知三角形的兩邊求第三邊的取值范圍,初步體會幾何直觀和推理的邏輯嚴密性.教學重點理解三角形的相關概念和三角形的三邊關系教學難點理解三角形的三邊關系教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，引入新知設計意圖通過讓學生找圖片中的三角形，使學生感知實際生活中的三角形，并形成一個概念意識【情境引入】小學時，我們接觸過三角形，觀察下列圖片,你能找出其中的三角形嗎？教師進一步提出兩個問題：問題1：什么樣的圖形叫做三角形呢？與同伴交流你找到的三角形.問題2：你能指出三角形的基本要素——邊、角、頂點嗎？帶著這兩個問題，我們一起走進本課時的學習.【教學建議】教師出示這些圖片后，讓學生回答.教師梳理學生回答的各種結果，總結其中的共性，然后引導學生思考給出的兩個問題，為下一活動做準備.活動二：合作交流，新知探究設計意圖通過結合實物圖片直接給出三角形的概念，再重點分析概念中的關鍵要點以達到真正理解概念的目的.探究點1三角形的概念及其基本要素問題1結合上一活動中提出的兩個問題，請同學們試著說一說三角形的概念.概念引入：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.問題2你認為理解上面的概念要把握哪些要點？需要把握三個要點：1.三個頂點不在同一條直線上；2.三條線段；3.首尾順次相接.問題3下面由線段AB，CD，EF組成的圖形符不符合三角形的概念？如不符合，下面這兩個圖形有什么問題？不符合三角形的概念，這兩個圖形中所給相應線段沒有首尾順次相接【教學建議】教師可先讓學生回答，然后再進行總結．理解這個概念的關鍵是“首尾順次相接”，問題2是為了讓學生把握三角形概念的關鍵，教師應讓學生自主作答．問題3是為了引導說明“首尾順次相接”這幾個字在三角形概念中的必要性.教學步驟師生活動設計意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯(lián)系，使學生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界抽象出幾何模型的過程，認識三角形的各個基本要素.問題4結合小學時學過的三角形，你能試著填寫下面有關三角形基本要素的表格嗎？三角形的表示方法：頂點是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”．三角形頂點所對的邊：上圖中頂點A所對的邊可以說成∠A所對的邊，還可以說成∠A的對邊．∠B，∠C呢？(此處可由學生口答)【對應訓練】(教材P4練習T1改編)如圖，先觀察，再回答下列問題：(1)圖中有幾個三角形？以∠A為內(nèi)角的三角形有哪些？(2)說出△BCE的三個內(nèi)角，以及三個頂點所對的邊．解：(1)圖中有5個三角形，分別是△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE.以∠A為內(nèi)角的三角形有△ABE，△ABC.(2)△BCE的三個內(nèi)角是∠BCE，∠BEC，∠CBE.頂點B所對的邊為CE，頂點C所對的邊為BE，頂點E所對的邊為BC.【教學建議】三角形的邊、頂點、內(nèi)角等，學生在小學階段已接觸過，也容易理解，這里只是結合圖形理解它們的意義就行，不要求學生死記硬背教材上的概念．這里需要提醒學生三角形ABC還可以記作△ACB，△BCA等，字母順序可以自由排列．【教學建議】這道題將幾個三角形疊在一起，教學時需關注學生是否能正確區(qū)分共邊共角的三角形，必要時可以進行圖形拆分．設計意圖以問題的形式引導學生對三角形按邊進行分類．通過獨立思考和合作探究來構建三角形分類的框架結構，形成對三角形不同類別特征的理性思考和初步感知．探究點2三角形的分類問題1說一說什么叫等腰三角形、等邊三角形？結合下圖說一說他們的特點？第三個圖是一個不符合等腰三角形、等邊三角形的三角形，我們叫它什么？三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，第三個圖形我們叫做三邊都不相等的三角形．問題2(教材P2思考)我們知道，按照三個內(nèi)角的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，結合問題1，想一想如何按照邊的關系對三角形進行分類呢？說說你的想法，并與同學交流．問題3等腰三角形和等邊三角形是什么關系？是不是獨立的兩類？等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形與等邊三角形不是獨立的兩類．歸納總結：【對應訓練】下列說法正確的是（D）【教學建議】這個探究點首先要注意結合圖形讓學生盡可能地說清楚等腰三角形、等邊三角形的一些特點(邊的關系、角的關系)，這便于進行分類．其次要注意下學生可能按邊把三角形分為三邊都不相等的三角形，等腰三角形，等邊三角形，把等腰三角形與等邊三角形看成獨立的兩類．而實際上，通過問題1中的圖示我們可以看到，等腰三角形是有兩條邊相等的三角形，它既包括腰和底邊不相等的等腰三角形，又包括教學步驟師生活動①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；③等腰三角形至少有兩條邊相等．A．①②③B．②③C．①③D．③腰和底邊相等的等腰三角形(等邊三角形)．設計意圖設計情境問題，讓學生自發(fā)觀察和討論，利用“兩點之間，線段最短”解決簡單問題.對于學生的回答，只要合理都要予以肯定和鼓勵.問題設置由淺入深，增強學生自信，從解題中獲得滿足感，激發(fā)學生學習的內(nèi)驅(qū)力探究點3三角形的三邊關系【問題探究】（P3探究）任意畫一個△ABC，從點B出發(fā)，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關系？能證明你的結論嗎？對于任意一個△ABC，如果把其中任意兩個頂點(例如B，C)看成定點，由“兩點之間，線段最短”可得同理有AB+AC>BC.①AC+BC>AB,②AB+BC>AC.③一般地，我們有三角形兩邊的和大于第三邊.由不等式②③移項可得BC>AB-AC，BC>AC-AB.這就是說，三角形兩邊的差小于第三邊.【對應訓練】教材P4練習第2題【教學建議】“三角形兩邊的和大于第三邊”由“兩點之間，線段最短”得到．這里給出了一個小狗吃香腸的情境，此時應適當引導學生回憶七年級上冊第四章中學過的這個基本事實，接著引導學生進行相應的證明．“三角形兩邊的和大于第三邊”可以用來判斷三條線段能否組成三角形，要讓學生會運用這個結論解決這樣的問題．一定要檢查是否任意兩條線段的和都大于第三條線段.活動三：知識升華，鞏固提升設計意圖鞏固剛剛學習的三角形三邊的關系的同時，讓學生運用所學知識，學會規(guī)范答題，感悟幾何計算的嚴謹性，明白學習本節(jié)知識點的意義.例(教材P3例題)用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？解：(1)設底邊長為xcm，則腰長為2xcm.x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.所以，三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm.(2)因為長為4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論.如果4cm長的邊為底邊，設腰長為xcm，則4＋2x＝18.解得x＝7.如果4cm長的邊為腰，設底邊長為xcm，則2×4＋x＝18.解得x＝10.因為4＋4<10，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形.由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形.【對應訓練】閱讀兩名同學對下題的解答過程.一個等腰三角形的周長為28cm，其中一邊長為8cm，則這個三角形另外兩邊的長分別是多少？李明說應這樣解：設腰長為xcm，則2x＋8＝28，解得x＝10，所以這個三角形另外兩邊的長均為10cm.張鋼說應這樣解：設底邊長為xcm，則2×8＋x＝28，解得x＝12，所以這個三角形的另外兩邊的長分別為8cm，12cm.試判斷李明與張鋼兩人的解答過程是否正確，若正確，請寫出判斷的依據(jù)；若不正確，請你寫出正確的解答過程．解：他們的解答過程都不正確．正確的解答過程如下：根據(jù)題意可知有兩種情況：①當腰長為8cm，周長為28cm時，底邊長為28－8－8＝12(cm).∵8cm，8cm，12cm能夠組成三角形，∴另外兩邊的長分別為8cm和12cm.②當?shù)走呴L為8cm，周長為28cm時，腰長為28－82＝10(cm).∵10cm，10cm，8cm能夠組成三角形，∴另外兩邊的長均為10cm.綜上可知，另外兩邊的長分別為8cm，12cm或均為10cm.【教學建議】本例是為鞏固“三角形兩邊的和大于第三邊”而設，可根據(jù)條件列方程求解，注意提醒學生用“三角形兩邊的和大于第三邊”判斷所得的結果是否合理．在第(2)小題中要引導學生認真審題，“有一邊的長”并沒有指明這一邊是底還是腰，所以要分情況討論．對應訓練稍微變換了下，也是同樣要注意分類討論.活動四：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.什么是三角形？你能說一說三角形中的一些基本要素嗎？2.三角形按邊怎么分類？3.三角形的三邊關系是怎樣的？【知識結構】【作業(yè)布置】1.教材P8習題11.1第1，2，6，7題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計11.1.1三角形的邊1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形. 2.三角形按角分類或按邊分類. 3.三角形兩邊的和大于第三邊；三角形兩邊的差小于第三邊．教學反思本節(jié)課通過圖片的展示、設問探究等活動的開展，有效地激發(fā)了學生學習的積極性，使學生理解并掌握所學的知識，取得了較好的教學效果．但從課堂教學的情況來看，由于初次接觸線段的不等關系，部分學生對線段不等關系問題的解決感到困難，不知道如何去思考和解決問題，在今后教學中需要進一步加強鞏固和訓練.解題大招一確定三角形個數(shù)的方法(以例1為例)例1如圖所示．(1)圖中共有多少個三角形？請把它們寫出來．(2)線段AE是哪些三角形的邊？(3)∠B是哪些三角形的角？解：(1)圖中共有6個三角形，它們分別是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC.(2)線段AE是△ABE，△ADE和△AEC的邊．(3)∠B是△ABD，△ABE，△ABC的角．解題大招二判斷三角形形狀的方法(1)確定其分類標準，是按角分類還是按邊分類．(2)若已知的是角，看這個三角形的最大角是哪一類角，則這個三角形就是哪一類三角形；若已知的是邊，看是否有等邊，若有等邊則這個三角形就是等腰三角形．例2根據(jù)下列所給條件，判斷△ABC的形狀．(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.解：(1)因為∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，所以∠A＜∠B＜∠C＜90°，所以△ABC是銳角三角形．(2)因為∠C＝120°＞90°，所以△ABC是鈍角三角形．(3)因為∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形．(4)因為AB＝BC＝4，AC＝5，所以△ABC是等腰三角形．解題大招三快速判斷三條線段能否構成三角形的技巧判斷三角形的三邊關系時，只要滿足三條線段中較短的兩條線段的和大于第三條線段的條件，或者只要滿足最長線段與最短線段的差小于第三條線段的條件就能構成三角形，否則不能構成三角形．例3下列長度的四組線段能組成三角形的是（D）A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm解析：∵1cm＋2cm＝3(cm)＜3.5cm，∴不能組成三角形．∵4cm＋5cm＝9cm，∴不能組成三角形．∵5cm＋8cm＝13(cm)＜15cm，∴不能組成三角形．∵6cm＋8cm＝14(cm)＞9cm，∴能組成三角形．故選D.培優(yōu)點一判斷三角形的形狀及利用三角形的三邊關系進行化簡例1已知a，b，c是△ABC的三邊長．(1)若a，b，c滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－c))＝0，試判斷△ABC的形狀；(2)化簡：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b－c))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－c－a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－a－b)).分析：(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，可得出a＝b＝c，進而得出結論；(2)利用三角形的三邊關系得到a－b－c<0，b－c－a<0，c－a－b<0，然后去絕對值符號后化簡即可．解：(1)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－c))＝0，∴a－b＝0且b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形．(2)∵a，b，c是△ABC的三邊長，∴a－b－c<0，b－c－a<0，c－a－b<0，∴原式＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c＝a＋b＋c.培優(yōu)點二利用三角形的三邊關系解決線段間的不等關系問題例2(教材P29復習題T9變式