2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.1 全等三角形教學(xué)設(shè)計(jì)

第十二章全等三角形12．1全等三角形教學(xué)目標(biāo)課題12.1全等三角形授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.了解全等形的概念，會(huì)識(shí)別全等形.2.理解全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，了解全等三角形的性質(zhì)，從中感受圖形變換，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、識(shí)圖能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀感知能力與空間觀念.教學(xué)重點(diǎn)全等三角形的概念和性質(zhì)，能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．教學(xué)難點(diǎn)理解全等三角形邊、角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：圖片呈現(xiàn)，新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)意圖通過(guò)豐富的圖形激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生初步感受全等形.【情境引入】下圖所示的例子中都有形狀、大小相同的圖形，你能再舉出一些類似的例子嗎？答：如圖所示.【教學(xué)建議】教師通過(guò)多媒體教具展現(xiàn)圖片，也讓學(xué)生自己展示出想到的例子，使學(xué)生感受全等形在生活中是無(wú)處不在的，并初步體會(huì)它們的特點(diǎn)，為進(jìn)一步探索做準(zhǔn)備.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖通過(guò)操作、觀察引入全等形及全等三角形的概念，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖判定全等形.探究點(diǎn)1全等形及全等三角形的概念探究把一塊三角尺按在紙板上，畫(huà)下圖形，照?qǐng)D形裁下來(lái)的紙板和三角尺的形狀、大小完全一樣嗎？把三角尺和裁得的紙板放在一起能夠完全重合嗎？從同一張底片沖洗出來(lái)的兩張尺寸相同的照片上的圖形，放在一起也能夠完全重合嗎？答：通過(guò)觀察可知，裁得的紙板和三角尺形狀、大小完全一樣；把三角尺和裁得的紙板放在一起能夠完全重合；從同一張底片沖洗出來(lái)的兩張尺寸相同的照片上的圖形，放在一起也能夠完全重合.概念引入：可以看到，形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合．能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.注意：(1)全等形的形狀、大小完全相同；全等形的周長(zhǎng)、面積分別相等.(2)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形是全等形.【教學(xué)建議】“全等”是圖形之間一種特殊的關(guān)系．在經(jīng)歷活動(dòng)一的初步感受之后，引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察，得出這種圖形的特征：放在一起能夠完全重合，由此引出全等形及全等三角形的概念．全等三角形是全等形中的一種，具備所有全等形的特征．判定全等形必須同時(shí)滿足形狀與大小相同，而與圖形如何擺放無(wú)關(guān).教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖通過(guò)操作平移、翻折、旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)圖形形狀、大小不變，建立與全等的聯(lián)系，通過(guò)練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素.概念引入：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（A）探究點(diǎn)2全等三角形的表示方法及相關(guān)概念思考在圖①中，把△ABC沿直線BC平移，得到△DEF.在圖②中，把△ABC沿直線BC翻折180°，得到△DBC.在圖③中，把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE.各圖中的兩個(gè)三角形全等嗎？答：各圖中的兩個(gè)三角形是全等的.一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.概念引入：把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.注意：(1)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角與對(duì)邊、對(duì)角的區(qū)別：【教學(xué)建議】一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．這就初步幫助學(xué)生建立起了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種圖形的變化與全等形的關(guān)系．這個(gè)結(jié)論是運(yùn)用全等形的概念得出的，能起到鞏固新概念的作用．另一方面，掌握這個(gè)結(jié)論，對(duì)學(xué)生在某些情況下確定全等三角形的對(duì)應(yīng)元素有幫助．教師也可通過(guò)多媒體教具動(dòng)態(tài)演示過(guò)程，讓學(xué)生直觀體會(huì)，從而加深理解.教學(xué)步驟師生活動(dòng)(2)全等三角形兩種表示方法的區(qū)別：對(duì)應(yīng)關(guān)系確定，即兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)、邊、角的對(duì)應(yīng)情況是唯一的；對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，即兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)、邊、角的對(duì)應(yīng)情況不唯一，用“≌”表示則有△ABC≌△DEF，也可能有△ABC≌△DFE等多種情況.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】請(qǐng)用幾何語(yǔ)言表示出本探究點(diǎn)“思考”的圖③中的兩個(gè)全等三角形，并寫(xiě)出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.答：△ABC和△ADE全等，記作△ABC≌△ADE.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)D，點(diǎn)C和點(diǎn)E；對(duì)應(yīng)邊：AB和AD，BC和DE，AC和AE；對(duì)應(yīng)角：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E.【教學(xué)建議】在教學(xué)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素時(shí)，結(jié)合具體圖形使學(xué)生理解“對(duì)應(yīng)”的意義就可以了，不需過(guò)多解釋．因?yàn)橐院筮€會(huì)遇到“對(duì)應(yīng)”這個(gè)詞，在后面的運(yùn)用中，學(xué)生會(huì)逐步加深理解．因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是后面判定三角形全等、應(yīng)用三角形全等證明線段相等或角相等時(shí)常用到的概念，所以本節(jié)課要求學(xué)生能在全等三角形中正確地找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．關(guān)于對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的找尋方法，將在本節(jié)課后面的解題大招里進(jìn)行整合講述，此處需要學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注并掌握.設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)全等三角形的性質(zhì)，并通過(guò)練習(xí)使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)解題.探究點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)思考探究點(diǎn)2的圖①中，△ABC≌△DEF，對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)角呢？答：因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊是重合的邊，對(duì)應(yīng)角是重合的角，所以AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，即△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.全等三角形的性質(zhì)：拓展：(1)①全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；②全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線分別相等，對(duì)應(yīng)的角平分線相等.(2)全等的傳遞性：如果兩個(gè)三角形都與另一個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形全等.【教學(xué)建議】教材是用“完全重合”來(lái)定義全等三角形的，于是由這個(gè)定義可以推出全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，可引導(dǎo)學(xué)生自行歸納出這個(gè)性質(zhì)．這個(gè)性質(zhì)具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，在后面的學(xué)習(xí)中往往會(huì)需要用其轉(zhuǎn)化等邊或等角．在這里可跟學(xué)生先行強(qiáng)調(diào)以引起重視，以練習(xí)為主通過(guò)大量應(yīng)用達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.教學(xué)步驟師生活動(dòng)例如圖，△ABC≌△ADC，請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)三角形中相等的邊和角.解：相等的邊為AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC；相等的角為∠BAC＝∠DAC，∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P32練習(xí)第2題．活動(dòng)三：融會(huì)新知，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖綜合考查全等三角形中對(duì)應(yīng)元素的識(shí)別及性質(zhì)的運(yùn)用，提升學(xué)生解題能力.例(教材P33習(xí)題T4變式題)如圖所示的兩個(gè)三角形是全等三角形，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)B和點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn).(1)用符號(hào)表示兩個(gè)三角形全等，并寫(xiě)出圖中相等的線段和角；(2)寫(xiě)出圖中一組平行的線段，并說(shuō)明理由.解：(1)△ABC≌△DEF，相等的線段：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC，相等的角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA.(2)(答案不唯一)AB∥DE，理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，△ABD≌△ACE，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，并說(shuō)明∠1＝∠2.解：∵△ABD≌△ACE，∴AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，∠A＝∠A，∠B＝∠C，∠ADB＝∠AEC.∵∠ADB＝∠AEC，∴180°－∠ADB＝180°－∠AEC，即∠1＝∠2.【教學(xué)建議】運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)時(shí)，要結(jié)合圖形或根據(jù)三角形全等的記法中字母的對(duì)應(yīng)位置準(zhǔn)確地找到對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角．全等三角形的性質(zhì)常用來(lái)計(jì)算邊長(zhǎng)(或角度)，證明線段(或角)相等，有時(shí)也會(huì)利用角之間的關(guān)系證明兩直線平行或垂直．活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.什么是全等形？平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等嗎？2.什么是全等三角形？全等三角形中有哪些對(duì)應(yīng)元素？3.全等三角形的性質(zhì)是什么？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P33～34習(xí)題12.1第1，2，3，4，5，6題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)12.1全等三角形1.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形. 2.平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等. 3.把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角. 4.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．教學(xué)反思首先展示全等形的圖片，激發(fā)學(xué)生興趣，從圖中總結(jié)全等形和全等三角形的概念，學(xué)會(huì)識(shí)圖辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素，最后總結(jié)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)練習(xí)來(lái)理解全等三角形的性質(zhì)并滲透符號(hào)語(yǔ)言推理，通過(guò)實(shí)例熟悉運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決計(jì)算或證明問(wèn)題.解題大招一識(shí)別全等三角形中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法位置關(guān)系法,公共角或?qū)斀菫閷?duì)應(yīng)角，公共邊為對(duì)應(yīng)邊②對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊為對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊③對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角為對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角例1如圖，已知△ABC≌△DCB，分別寫(xiě)出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．解：對(duì)應(yīng)角是∠A和∠D，∠2和∠1，∠ABC和∠DCB；對(duì)應(yīng)邊是AB和DC，AC和DB，BC和CB.易錯(cuò)提示：注意公共頂點(diǎn)不一定是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，如本題中的點(diǎn)B是兩個(gè)三角形的公共頂點(diǎn)，但它的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是C.解題大招二全等三角形的性質(zhì)的題組訓(xùn)練在利用全等三角形的性質(zhì)做題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到純文字類型的題目，當(dāng)用“≌”連接兩個(gè)三角形時(shí)，對(duì)應(yīng)情況是唯一的，此時(shí)一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，避免出錯(cuò)；當(dāng)用“全等”形容兩個(gè)三角形時(shí)，對(duì)應(yīng)情況不唯一，此時(shí)要緊密結(jié)合題目中的其他限制條件解題，某些特定情況下還可能涉及分類討論(本章后面的學(xué)時(shí)中會(huì)遇到，這里暫不深入探討)．例2下列說(shuō)法中，不正確的是（C）A．兩個(gè)全等形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等B．兩個(gè)全等三角形的周長(zhǎng)一定相等C．兩個(gè)全等形一定關(guān)于某條直線翻折后重合D．兩個(gè)全等三角形的面積一定相等例3已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（D）A．72°B．60°C．58°D．50°例4如圖，已知△EFG≌△NMH，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（A）A．EG＝HGB．EG∥HMC．∠FEG＝∠MNHD．EF＝NM解析：A.∵△EFG≌△NMH，∴EG＝NH，∴EG≠HG，說(shuō)法錯(cuò)誤；B.∵△EFG≌△NMH，∴∠EGF＝∠NHM，∴EG∥HM，說(shuō)法正確；C.∵△EFG≌△NMH，∴∠FEG＝∠MNH，說(shuō)法正確；D.∵△EFG≌△NMH，∴EF＝NM，說(shuō)法正確．故選A.例5如圖，△ABC≌△DEC，B，C，D三點(diǎn)在同一直線上，若CE＝6，AC＝9，則BD的長(zhǎng)為(D)A．3B．9C．12D．15例6已知△ABC≌△DEF，AB＝5，BC＝7，△DEF的周長(zhǎng)為18，則DF的長(zhǎng)為6.例7一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為6，7，x，另一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為y，6，4，若這兩個(gè)三角形全等，則x＋y＝11.解題大招三利用全等三角形的性質(zhì)計(jì)算線段長(zhǎng)或角度(1)利用全等三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)的方法：先利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，將已知條件轉(zhuǎn)化，再通過(guò)線段的和(差)或中線的定義等求出所要求的線段的長(zhǎng)度；(2)利用全等三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法：先利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，將已知條件轉(zhuǎn)化，再通過(guò)三角形內(nèi)角和定理或外角的性質(zhì)求出所要求的角的度數(shù)．例8如圖，點(diǎn)F，A，D，C在同一直線上，△ABC≌△DEF，AC＝7，CF＝11，則CD等于（C）A．3B．3.5C．4D．4.5解析：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，即CD＋AD＝AF＋AD，∴CD＝AF.∵CF＝11，AC＝7，∴AF＝CF－AC＝11－7＝4，∴CD＝4.故選C.例9[轉(zhuǎn)化思想]如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝25°，∠EAB＝120°.則∠DGB的度數(shù)是65°.解析：例10如圖，△ABC≌△DBE，點(diǎn)D在邊AC上，BC與DE交于點(diǎn)P.(1)若∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CBE的度數(shù)．(2)若AD＝CD＝2.5，BC＝4，求△CDP與△BEP的周長(zhǎng)和．解：(1)∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD＋∠CBE＝162°－30°＝132°.∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠CBD＝∠DBE－∠CBD，即∠ABD＝∠CBE.∴∠CBE＝132°÷2＝66°.(2)∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AC＝AD＋CD＝2.5＋2.5＝5，BE＝BC＝4，∴△CDP與△BEP的周長(zhǎng)和＝CD＋PD＋PC＋PB＋PE＋BE＝CD＋DE＋BC＋BE＝2.5＋5＋4＋4＝15.5.培優(yōu)點(diǎn)利用全等三角形的性質(zhì)判斷線段間的位置關(guān)系利用全等三角形的性質(zhì)證明垂直關(guān)系的方法：(1)證明兩直線垂直可轉(zhuǎn)化為證明它們的夾角為90°或相關(guān)三角形的兩銳角互余．(2)證明兩直線垂直，常常運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)得到一組等角，再通過(guò)三角形外角的性質(zhì)或平角的定義等得到90°的夾角．例如圖，點(diǎn)A，B，C在同一直線上，點(diǎn)E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm.(1)求DE的長(zhǎng)；(2)判斷直線AC與直線BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)判斷直線AD與直線CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．分析：(1)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，計(jì)算即可；(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和平角的定義解答；