2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)課題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握直線同側(cè)兩點(diǎn)到線上一點(diǎn)的距離和最小問(wèn)題，了解運(yùn)用平移法解決造橋問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).2.通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換、平移變換體會(huì)轉(zhuǎn)化思想. 教學(xué)重點(diǎn)利用軸對(duì)稱(chēng)變換及平移變換解決最短路徑問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)確定最短路徑及其理論說(shuō)明.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：回顧舊知，引入新課設(shè)計(jì)意圖對(duì)過(guò)往知識(shí)進(jìn)行回顧，為本課時(shí)學(xué)習(xí)做鋪墊.【情境引入】觀察圖①②.我們以前學(xué)過(guò)：(1)“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”；(2)“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”.我們稱(chēng)這種問(wèn)題為最短路徑問(wèn)題.今天我們將探究新情境下的最短路徑問(wèn)題.【教學(xué)建議】讓學(xué)生根據(jù)圖片展示，完成填空.活動(dòng)二：類(lèi)比轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖借助恰當(dāng)?shù)墓ぞ撸瑢⒉皇煜さ膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題(兩點(diǎn)之間，線段最短)，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力.探究點(diǎn)1利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短路徑問(wèn)題(“將軍飲馬”問(wèn)題)如圖①，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？提問(wèn)：(1)你能組織語(yǔ)言，把這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？可抽象為這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖②，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，能不能在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最??？(2)兩點(diǎn)在同側(cè)我們不太好入手，先看看兩點(diǎn)在異側(cè)的情況：如圖③，點(diǎn)A，B是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最?。恳罁?jù)是什么？如圖④，連接AB，交直線l于點(diǎn)C，則AC＋BC最小．依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短.【教學(xué)建議】這里教師引導(dǎo)學(xué)生回答，不斷補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：(1)從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，實(shí)際問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題了.教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖通過(guò)嚴(yán)格的證明，讓學(xué)生確信所找的點(diǎn)C是符合要求的.(3)現(xiàn)在我們回過(guò)頭去解決圖②中兩點(diǎn)在同側(cè)的情形，即：點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，能不能在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最??？如圖⑤，我們可作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可以得到B′C＝BC.則AC＋BC＝AC＋B′C.問(wèn)題再次轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與B′C的和最??？(4)根據(jù)上面的分析，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與BC的和最小？如圖⑥，在連接A，B′兩點(diǎn)的所有線段中，線段AB′最短．因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即此時(shí)AC＋BC也最小．(5)你能用所學(xué)的知識(shí)證明：上面求得的點(diǎn)C，使AC＋BC最小嗎？證明：如圖⑦，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′，即AC＋BC最小．歸納總結(jié)：【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，A，B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，同時(shí)將河水分別送到A，B兩地．該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短？試在圖中確定該點(diǎn)(保留作圖痕跡)．解：如圖，點(diǎn)P即為該點(diǎn)．【教學(xué)建議】要一步一步引導(dǎo)學(xué)生，將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn)，為問(wèn)題的解決提供思路．對(duì)于第(3)問(wèn)，學(xué)生回答可能會(huì)有困難，教師可提問(wèn)引導(dǎo)：如何將(3)中的點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，使直線l上的任意一點(diǎn)C，都滿足BC與B′C的長(zhǎng)度相等？【教學(xué)建議】證明AC＋BC最小也是一個(gè)難點(diǎn)，可以告訴學(xué)生，證明“最大”“最小”這類(lèi)問(wèn)題，常常要另選一個(gè)量，通過(guò)與求證的那個(gè)“最大”“最小”量進(jìn)行比較來(lái)證明．學(xué)生可能會(huì)對(duì)于只選一個(gè)C′不放心，教師可以讓學(xué)生再選一個(gè)C″證明一次，這時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，證明過(guò)程中，點(diǎn)C′在什么位置并不影響結(jié)論．教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖通過(guò)更復(fù)雜的最短路徑問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.探究點(diǎn)2利用平移解決最短路徑問(wèn)題(造橋選址問(wèn)題)如圖①，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河岸上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)提問(wèn)：(1)你能把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于b，交直線a于點(diǎn)M.上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：如圖②，直線a∥b，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN⊥b，交直線a于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM＋MN＋NB最??？(2)河的兩岸是平行的直線，橋與河垂直．那么AM＋MN＋NB最小能否進(jìn)一步轉(zhuǎn)化？由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM＋BN最小時(shí)，AM＋MN＋NB最?。@樣，問(wèn)題就進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM＋NB最小？(3)能否通過(guò)圖形的變化(軸對(duì)稱(chēng)、平移等)，把上面圖②的情況轉(zhuǎn)化為下面圖③的情況？將圖②中AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′，如圖④，則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N(xiāo)＋NB.這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A′N(xiāo)＋NB最?。?4)你能找到所要求的N點(diǎn)的位置嗎？如圖⑤，連接A′B，交直線b于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求．即在點(diǎn)N處建橋MN，所得路徑AMNB最短．(5)你能證明點(diǎn)N的位置即為所求嗎？如圖⑥，在直線b上另外任意取一點(diǎn)N′，過(guò)點(diǎn)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N(xiāo)′，N′B.由作圖可知M′N(xiāo)′＝MN＝AA′.由平移的性質(zhì)可知AM＝A′N(xiāo)，AM′＝A′N(xiāo)′.根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知A′N(xiāo)′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N(xiāo)′＞AM＋NB＋MN.∵N′為不同于N的任意一點(diǎn)，∴AM＋NB＋MN最小．∴點(diǎn)N的位置即為所求．歸納總結(jié)：【教學(xué)建議】引導(dǎo)學(xué)生理解：要確定橋MN的位置，只需確定兩動(dòng)點(diǎn)M，N的位置即可．由于橋MN垂直于河岸，只要確定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，比如點(diǎn)N的位置，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M的位置便能隨之確定．【教學(xué)建議】對(duì)于提問(wèn)(2)，有條件的地方可以利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)橋可能建造的位置，并讓學(xué)生觀察橋MN位置變化時(shí)，線段AM，MN，NB長(zhǎng)度的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生找出定長(zhǎng)MN，于是當(dāng)線段AM＋NB最小時(shí)，線段AM＋MN＋NB的和最?。窘虒W(xué)建議】在解決提問(wèn)(3)(4)的過(guò)程中，教師注意引導(dǎo)學(xué)生注意平移起到的作用．由于河寬固定，因此可以考慮將點(diǎn)A(或點(diǎn)B)按與河岸垂直的方向平移跟河寬相等的距離，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決的問(wèn)題．【教學(xué)建議】對(duì)于提問(wèn)(5)，這個(gè)證明與前面的探究點(diǎn)1類(lèi)似，利用平移變換的基本性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以證明這樣的路徑是最短的．對(duì)于這個(gè)證明，如課堂時(shí)間有限，可以要求學(xué)生課下完成．教學(xué)步驟師生活動(dòng)【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，平行河岸的兩側(cè)各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據(jù)發(fā)展規(guī)劃，要修建一條公路連接P，Q兩鎮(zhèn)．已知相同長(zhǎng)度造橋總價(jià)遠(yuǎn)大于陸上公路造價(jià)，為了盡量減少總造價(jià)，橋應(yīng)與河岸垂直而建，以使橋的長(zhǎng)度最短．為了使總造價(jià)最低，橋應(yīng)建在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出橋的位置．解：①如圖，將點(diǎn)P沿與河岸垂直的方向平移至點(diǎn)P′，使PP′等于河寬；②連接QP′，與河岸b相交于點(diǎn)N；③作NM⊥a，垂足為M，連接PM，則MN即為橋的位置.活動(dòng)三：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.你能說(shuō)出哪些求最短路徑的依據(jù)？2.今天我們學(xué)習(xí)的兩種求最短路徑的情境，用草圖怎么表示？3.今天解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們用到了哪些圖形變化手段？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題1.兩點(diǎn)之間，線段最短. 2.軸對(duì)稱(chēng)、平移，轉(zhuǎn)化線段，求最短路徑．教學(xué)反思本課題的極值問(wèn)題，學(xué)生初次接觸，難度較大，無(wú)從下手，解決問(wèn)題需要用到轉(zhuǎn)化手段，學(xué)生也缺乏這種理念．先給學(xué)生講解這方面的知識(shí)，待學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累到一定程度后，再次回顧梳理.解題大招一利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短路徑問(wèn)題對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，利用軸對(duì)稱(chēng)變換將其中一點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線另一側(cè)，再用“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“垂線段最短”解決問(wèn)題．小王準(zhǔn)備在街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩居民區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（B）解析：B選項(xiàng)中，A與A′關(guān)于街道對(duì)稱(chēng)，CA＝CA′，點(diǎn)A′，C，B在一條直線上，則CA＋CB最?。鐖D，在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊BC，AB的中點(diǎn)，AD＝10，且P為AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接EP，BP，則BP＋EP的最小值為（B）A．8B．10C．12D．14解析：易知AD是等邊三角形ABC的對(duì)稱(chēng)軸，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，∴BP＝CP.如圖，連接CE交AD于點(diǎn)P，則此時(shí)，BP＋EP的值最小，且等于CE的長(zhǎng)．由點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，易知CE＝AD，∴BP＋EP的最小值為10.解題大招二利用平移解決最短路徑問(wèn)題例3有一條河流，兩岸a，b平行，河的兩側(cè)有小鎮(zhèn)A和小鎮(zhèn)B，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁MN(橋與河岸垂直)，使從A到B的路徑AMNB最短，從作圖痕跡上來(lái)看，正確的是（D）解析：對(duì)比各選項(xiàng)中作圖痕跡，除去MN的長(zhǎng)度，剩余的線段和中，D選項(xiàng)的最小(可通過(guò)平移BN進(jìn)行比較)．故選D.培優(yōu)點(diǎn)靈活利用軸對(duì)稱(chēng)變換求最短路徑例“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱(chēng)為“將軍飲馬”問(wèn)題．如圖①，若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線l的兩側(cè)，要在直線l上找到點(diǎn)C，使得CA＋CB有最小值，請(qǐng)你作一個(gè)示意圖確定點(diǎn)C的位置，并說(shuō)明作圖依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短；(2)如圖②，若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l的同側(cè)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上作出點(diǎn)P，使得PA＋PB有最小值；(3)如圖③，已知∠AOB＝30°，點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部，點(diǎn)M，N分別在射線OA，OB上運(yùn)動(dòng)，若OQ＝6，請(qǐng)求出△QMN周長(zhǎng)的最小值．分析：(1)連接AB交l于點(diǎn)C，依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”；(2)作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；(3)分別作點(diǎn)Q關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，D，連接CD，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，則△QMN的周長(zhǎng)最小．解：(1)如圖①所示．(2)如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，連接PA，則點(diǎn)P即為所求．(3)如圖③.(Ⅰ)作點(diǎn)Q關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C.(Ⅱ)作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D.(Ⅲ)連接CD，分別交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，