2024～2025學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1課時(shí) 分式方程及其解法教學(xué)設(shè)計(jì)

15.3分式方程第1課時(shí)分式方程及其解法教學(xué)目標(biāo)課題15.3第1課時(shí)分式方程及其解法授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解分式方程的意義，掌握解分式方程的一般方法和步驟.2.理解解分式方程時(shí)可能無(wú)解的原因，并掌握解分式方程中驗(yàn)根的方法.3.在將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，找解分式方程的方法中培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于探究、合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)解分式方程的基本思路和方法．教學(xué)難點(diǎn)理解解分式方程時(shí)可能無(wú)解的原因.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知設(shè)計(jì)意圖通過(guò)經(jīng)歷列分式方程的過(guò)程發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的探究欲與學(xué)習(xí)熱情，為探索分式方程的概念和解法做準(zhǔn)備.【情境引入】問(wèn)題一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它沿江以最大航速順流航行90km所用時(shí)間與以最大航速逆流航行60km所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？如果設(shè)江水的流速為vkm/h，則(1)輪船順流航行的速度為(30＋v)km/h，逆流航行的速度為(30－v)km/h；(2)順流航行90km所用的時(shí)間為eq\f(90,30＋v)h，逆流航行60km所用的時(shí)間為eq\f(60,30－v)h；(3)根據(jù)題意可列方程為：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).思考方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)與以前所學(xué)的整式方程有何不同？【教學(xué)建議】教師呈現(xiàn)問(wèn)題后，需留充足的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師主導(dǎo)，學(xué)生自主研究，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)自我探索后得出結(jié)論的成就感.活動(dòng)二：實(shí)踐探究，獲取新知設(shè)計(jì)意圖通過(guò)回憶一元一次方程的概念引出分式方程的概念，并通過(guò)例題鞏固加深對(duì)概念的理解.探究點(diǎn)1分式方程的概念問(wèn)題1大家回憶一下，什么是一元一次方程？只含有一個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1(次)的整式方程叫做一元一次方程．如：3x－5＝3.問(wèn)題2觀察活動(dòng)一中所列方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)有什么特征？答：分母中含有未知數(shù)v.概念引入：像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.我們以前學(xué)習(xí)的方程都是整式方程，它們的未知數(shù)不在分母中.例判斷下列方程是不是關(guān)于x的分式方程.(1)1－eq\f(1,x)＝2－eq\f(2,x)；(2)eq\f(a,x2－4)＝7；(3)eq\f(x,π)＋ax＝b;(4)eq\f(a＋x,b)＝eq\f(b－x,n)＋6.解：(1)是．(2)是．(3)不是．(4)不是.【教學(xué)建議】教師強(qiáng)調(diào)：1.分式方程應(yīng)滿足的條件(缺一不可)：(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知數(shù).2.判斷分式方程是對(duì)原方程本身做判斷，而不是變形后.3.并不是分母含字母的就是分式方程，如例(4)中分母含字母，但不是未知數(shù)；例(3)含字母π，但π是常數(shù)，不是未知數(shù).教學(xué)步驟師生活動(dòng)【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】下列方程中，a，b為已知數(shù)，x為未知數(shù)：eq\f(x,2)＋eq\f(x,3)＝eq\f(1,4)；②eq\f(2,x2)＋eq\f(3,x)＝4；③eq\f(x,a)＋eq\f(a,b)＝x；④eq\f(5,x2－1)＋2＝eq\f(x－1,x2＋1)；⑤eq\f(x2,x)＝0.其中關(guān)于x的分式方程有哪幾個(gè)？解：關(guān)于x的分式方程有②④⑤.設(shè)計(jì)意圖由分式方程的特點(diǎn)引出解分式方程的基本思路，在構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程中得到再一次的提升.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)此具體例子展現(xiàn)解分式方程可能出現(xiàn)増根的現(xiàn)象，并結(jié)合例子分析何種情況下產(chǎn)生増根，進(jìn)而歸納檢驗(yàn)増根的方法，這樣處理是想以典型例子為示范，簡(jiǎn)明地說(shuō)明檢驗(yàn)増根的方法，以及這樣做所依據(jù)的道理，做到既說(shuō)明做法的合理性，又適可而止，不超越學(xué)生的實(shí)際理解水平.探究點(diǎn)2分式方程的解法問(wèn)題1七年級(jí)我們已經(jīng)熟悉一元一次方程的解法了，但是分式方程的分母中含未知數(shù)，因此解分式方程是一個(gè)新的問(wèn)題．能否將分式方程化為整式方程呢？我們先來(lái)看看如何解這個(gè)方程：eq\f(2－3x,3)－2＝eq\f(x＋2,6).第一步就是方程兩邊同時(shí)乘公分母6，去掉分母，那么通過(guò)類比，我們自然會(huì)想到通過(guò)“去分母”實(shí)現(xiàn)分式方程的轉(zhuǎn)變，所以大家可以嘗試著解一解活動(dòng)一中所列的方程！解方程：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v).解：最簡(jiǎn)公分母為(30＋v)(30－v)，方程兩邊同時(shí)乘最簡(jiǎn)公分母可化為整式方程，得90(30－v)＝60(30＋v).化簡(jiǎn)，得2700－90v＝1800＋60v(此方程是整式方程).解方程得v＝6.教師歸納解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母．這也是解分式方程的一般方法.思考：解分式方程的步驟完成了嗎？帶著這個(gè)問(wèn)題我再來(lái)看一個(gè)分式方程eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25).為去分母，在方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母(x－5)(x＋5)，得整式方程x＋5＝10.解得x＝5.問(wèn)題2大家說(shuō)說(shuō)x＝5是原分式方程的解嗎？將x＝5代入原分式方程檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這時(shí)分母x－5和x2－25的值都為0，相應(yīng)的分式無(wú)意義．因此，x＝5雖是整式方程x＋5＝10的解，但不是原分式方程eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)的解．實(shí)際上，這個(gè)分式方程無(wú)解.問(wèn)題3上面兩個(gè)分式方程中，為什么eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢？【教學(xué)建議】可先由學(xué)生回答如何解這個(gè)系數(shù)為分?jǐn)?shù)的方程，再讓學(xué)生討論如何解這個(gè)分式方程，再在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上總結(jié)．也可列此圖幫助理解.【教學(xué)建議】教材通過(guò)對(duì)方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)，eq\f(1,x－5)＝eq\f(10,x2－25)的討論，經(jīng)過(guò)對(duì)比得出解分式方程時(shí)檢驗(yàn)的必要性和具體檢驗(yàn)方法．教學(xué)中要注意這是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程，即先讓學(xué)生對(duì)特例中的兩種情形有具體認(rèn)識(shí)，然后推廣到一般情形，認(rèn)識(shí)到解分式方程時(shí)需要檢驗(yàn)，并知道怎樣檢驗(yàn)，至于方程同解的理論問(wèn)題，則不需做更多引申.教學(xué)步驟師生活動(dòng)教師歸納一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)做如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.所以我們可以解決“思考”中的問(wèn)題了吧！是的，我們還缺一步檢驗(yàn)！補(bǔ)充如下：檢驗(yàn)：將v＝6代入原分式方程中，左邊＝eq\f(5,2)＝右邊，因此v＝6是原分式方程的解．由上可知，江水的流速為6km/h.教師總結(jié)：解分式方程的步驟可簡(jiǎn)記為“一去，二解，三檢驗(yàn)”.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P150練習(xí)．【教學(xué)建議】教師需提醒學(xué)生在解分式方程時(shí)注意以下易錯(cuò)點(diǎn)：一、解分式方程忘記檢驗(yàn).二、去分母時(shí)忘記加括號(hào).三、去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng).四、分母中有多項(xiàng)式時(shí)忘記分解因式后再找最簡(jiǎn)公分母.活動(dòng)三：典例精析，鞏固新知設(shè)計(jì)意圖例1屬于有解的情形，例2屬于無(wú)解的情形．通過(guò)這兩種類型使學(xué)生熟悉解分式方程的步驟及檢驗(yàn)方法.例1(教材P151例1)解方程eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x).解：方程兩邊乘x(x－3)，得2x＝3x－9.解得x＝9.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時(shí)，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解為x＝9.例2(教材P151例2)解方程eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,（x－1）（x＋2）).解：方程兩邊乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解.所以，原分式方程無(wú)解.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P152練習(xí).【教學(xué)建議】教學(xué)中可結(jié)合例1和例2引導(dǎo)學(xué)生理解本節(jié)課知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的含義，還可提供一些解分式方程的技巧：在解分式方程時(shí)，若分母互為相反數(shù)，可改變其中一個(gè)分式及其分母的符號(hào)，然后去分母；若分母能分解因式，先分解因式再確定最簡(jiǎn)公分母.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.分式方程的概念是什么？2.解分式方程的基本思路和一般方法是什么？關(guān)鍵步驟是什么？3.解分式方程為什么需要檢驗(yàn)？如何檢驗(yàn)？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】教學(xué)步驟師生活動(dòng)【作業(yè)布置】1.教材P154習(xí)題15.3第1題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)15.3分式方程第1課時(shí)分式方程及其解法 1.分式方程的概念； 2.分式方程的解法； 3.分式方程的根的檢驗(yàn)．教學(xué)反思本節(jié)課通過(guò)對(duì)比有分?jǐn)?shù)系數(shù)的整式方程的解法啟發(fā)學(xué)生探究分式方程的解法，從而歸納出解分式方程的基本思路和一般方法．在教學(xué)過(guò)程中著重講解了分式方程為什么要檢驗(yàn)，這是想讓學(xué)生理解增根的由來(lái)，從而牢記分式方程在解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，避免解題出錯(cuò)．在完成解題步驟歸納之后，通過(guò)例題與練習(xí)讓學(xué)生在出錯(cuò)、認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤中鞏固自身的運(yùn)算能力，這樣才能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.解題大招一解分式方程的糾錯(cuò)問(wèn)題常見(jiàn)的解分式方程過(guò)程中，容易出錯(cuò)的地方有：①漏乘無(wú)分母項(xiàng)；②去分母時(shí)，分子是多項(xiàng)式，沒(méi)有加括號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，漏乘系數(shù)；④去括號(hào)時(shí)，沒(méi)變號(hào)；⑤移項(xiàng)未變號(hào)．例1小淇解分式方程eq\f(2,x－1)＝eq\f(2x,3x－3)－1的過(guò)程如下：解：方程兩邊乘3(x－1)，得6＝2x－(3x－3)．①去括號(hào)，得6＝2x－3x－3.②移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x＝－9.③檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－9時(shí)，3(x－1)≠0.所以，原分式方程的解是x＝－9.④以上步驟中，最開(kāi)始出錯(cuò)的一步是②(填寫(xiě)對(duì)應(yīng)序號(hào))．解析：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是減號(hào)，去括號(hào)后要把括號(hào)里的每一項(xiàng)都變號(hào)，依此可判定最開(kāi)始出錯(cuò)的一步是②.解題大招二含有字母系數(shù)的分式方程的解法解含有字母系數(shù)的分式方程與解含有實(shí)數(shù)系數(shù)的分式方程的方法一樣，也包括去分母、解整式方程、檢驗(yàn)這三個(gè)步驟，只是要把未知數(shù)以外的字母當(dāng)作已知數(shù)，有時(shí)因?yàn)樽帜杆硎镜臄?shù)未確定，所以需要進(jìn)行分類討論或結(jié)合題目對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行限制．例2解關(guān)于x的方程：eq\f(a,x－a)＋b＝1(a≠0，b≠1)．分析：解含字母系數(shù)的分式方程，在驗(yàn)根時(shí)，一定要根據(jù)字母系數(shù)的范圍，檢驗(yàn)求得的解是否使最簡(jiǎn)公分母為零．解：方程兩邊乘(x－a)，得a＋b(x－a)＝x－a.解得x＝eq\f(ab－2a,b－1).檢驗(yàn)：當(dāng)x＝eq\f(ab－2a,b－1)時(shí)，x－a≠0.所以，原分式方程的解為x＝eq\f(ab－2a,b－1).解題大招三由分式方程的解確定字母的取值范圍先求出方程的解(用字母表示)，然后根據(jù)解的正負(fù)性，列關(guān)于字母的不等式求解，特別注意分母不能為0.例3若關(guān)于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.解析：方程兩邊乘(x－1)，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵關(guān)于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正數(shù)，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范圍是a＜－1且a≠－2.解題大招四分式方程的増根類型一求分式方程的增根增根是使分式方程的分母為0的根，所以判斷增根只需令分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0；注意應(yīng)舍去不合題意的解．例4若方程eq\f(3,x－2)＝eq\f(a,x)＋eq\f(4,x（x－2）)有增根，則增根可能為（A）A．0B．2C．0或2D．1解析：∵最簡(jiǎn)公分母是x(x－2)，方程有增根，則x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.原分式方程去分母得3x＝a(x－2)＋4，當(dāng)x＝0時(shí)，2a＝4，則a＝2；當(dāng)x＝2時(shí)，6＝4不成立，∴增根為x＝0，故選A.類型二分式方程有增根，求字母的值分式方程有增根，求字母的值可按如下步驟進(jìn)行：①令最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．例5如果關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－3)＝1－eq\f(m,x－3)有增根，則m的值為（B）A．－3B．－2C．－1D．3解析：∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.方程兩邊同乘(x－3)，得2＝x－3－m①.把x＝3代入①，得m＝－2.故選B.培優(yōu)點(diǎn)分式方程無(wú)解，求字母的值例若關(guān)于x的分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(mx,x2－4)＝eq\f(3,x＋2)無(wú)解，求m的值．分析：分式方程無(wú)解與分式方程有增根所表達(dá)的意義是不一樣的．分式方程有增根僅僅針對(duì)使最簡(jiǎn)公分母為