2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第1課時 線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定教學(xué)設(shè)計

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定教學(xué)目標(biāo)課題13.1.2第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.探索并證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，感受證明的必要性，體會邏輯推理的數(shù)學(xué)方法.2.能靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定解題.3.能過一點(diǎn)作已知直線的垂線，發(fā)展空間觀念和空間想象力.教學(xué)重點(diǎn)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定．教學(xué)難點(diǎn)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知設(shè)計意圖用學(xué)生熟悉的場景引入課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.【情境引入】下面是一些整齊排列的座位.哪些座位到36號和42號的距離相等？將這些座位連接起來，你發(fā)現(xiàn)了什么？【教學(xué)建議】教師可根據(jù)教室內(nèi)座位的實(shí)際擺放情況進(jìn)行教學(xué).活動二：歸納總結(jié)，說理求證設(shè)計意圖用多種方式探究線段垂直平分線的性質(zhì).探究點(diǎn)1線段的垂直平分線的性質(zhì)問題1如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B……問題2如果把問題1中的線段AB沿直線l對折，線段P1A與P1B、線段P2A與P2B、線段P3A與P3B……都重合嗎？它們都分別相等嗎？都重合，都分別相等.總結(jié)：由問題1，2，我們可以得出線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.問題3上面的性質(zhì)，可以利用判定兩個三角形全等的方法進(jìn)行證明．請你完成下面的證明.如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC＝CB，點(diǎn)P在l上．求證PA＝PB.證明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB.又AC＝CB，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA＝PB.【教學(xué)建議】觀察、探究、猜想、歸納并驗(yàn)證是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法，讓學(xué)生經(jīng)歷這一完整過程，感受證明的必要性.把線段垂直平分線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成幾何證明過程是個難點(diǎn)，并不需要學(xué)生掌握，所以這一過程由教師完成．但證明這一性質(zhì)本身并不難，可由學(xué)生自己完成．教師在巡視時，對學(xué)生當(dāng)中證明過程存在不足的，可以用展臺展示，通過教學(xué)步驟師生活動總結(jié)：(用幾何語言表示線段垂直平分線的性質(zhì)如下)【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P62練習(xí)第1題.糾正，讓學(xué)生學(xué)會嚴(yán)密的證明方法．證明環(huán)節(jié)完成后，教師用多媒體展示線段垂直平分線的性質(zhì)的幾何語言.設(shè)計意圖反向思考，探索線段垂直平分線的判定定理.探究點(diǎn)2線段垂直平分線的判定在前面的探究中，我們得知線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等．反過來，與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在前面的探究中，我們得知線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等．反過來，與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，是否一定在這條線段的垂直平分線上呢？例如：如圖，PA＝PB.點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？問題1過點(diǎn)P的直線有無數(shù)條，如果我們要說明點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，我們可以先選定一條怎樣的直線進(jìn)行說明？怎樣說明？可以先過點(diǎn)P作一條與AB垂直的直線，再說明這條直線平分線段AB.如圖，先過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，再說明AC＝BC.問題2AC＝BC嗎？說明理由.AC＝BC.理由：如圖，在Rt△PAC和Rt△PBC中，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC＝BC.總結(jié)：由問題1，2，我們可以得知點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.(在問題1，2中，也可以先過點(diǎn)P作AB邊上的中線，再說明PC⊥AB，這樣也可以得出點(diǎn)P在AB的垂直平分線上).線段的垂直平分線的判定定理：與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.總結(jié)：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定定理可以看出：在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)也都在l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A，B的距離相等的所有點(diǎn)的集合.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P62練習(xí)第2題．【教學(xué)建議】這是本節(jié)的難點(diǎn)，這里教師可直接把命題轉(zhuǎn)化成幾何的證明題形式．但“點(diǎn)P在AB的垂直平分線上”太抽象，既看不到又不好解決“在”的問題，所以通過幾個設(shè)問進(jìn)行引導(dǎo)．問題1引導(dǎo)學(xué)生先解決“在”和“垂直”的問題，這樣也就自然引出了添加輔助線的需要．問題2并不難，讓學(xué)生自己完成，可以鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力.“直線l可以看成與兩點(diǎn)A，B的距離相等的所有點(diǎn)的集合”，這點(diǎn)在以后的學(xué)習(xí)中有很重要的用處，但理解難度過高，不是本節(jié)所要解決的問題，可由老師直接歸納．也可通過作一些滿足條件的點(diǎn)，讓學(xué)生看出它們組成一條直線，這進(jìn)一步說明一條直線可以看成是點(diǎn)運(yùn)動形成的.教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的方法，同時加深對線段垂直平分線的判定的理解.探究點(diǎn)3經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線問題1已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.作法：(1)任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB兩旁.(2)以點(diǎn)C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E.(3)分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于eq\f(1,2)DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.(4)作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.問題2為什么作圖時點(diǎn)K和點(diǎn)C要在AB的兩旁？在同一旁有什么問題？在兩旁才能確保第一次畫弧線時，弧線與AB有兩個交點(diǎn)．在同一旁，弧線與AB可能沒有交點(diǎn).問題3以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心畫弧線時，為什么半徑要大于eq\f(1,2)DE的長？等于或小于eq\f(1,2)DE的長行不行？大于eq\f(1,2)DE的長，才能確保兩條弧線有交點(diǎn)．小于eq\f(1,2)DE的長時，弧線沒有交點(diǎn)．等于eq\f(1,2)DE的長，雖然理論上有交點(diǎn)，但實(shí)際中不好操作，很難剛好取到eq\f(1,2)DE的長問題4為什么直線CF就是所求作的垂線？①由作圖過程可知，CD＝CE，DF＝EF，所以點(diǎn)C，F(xiàn)均在線段DE的垂直平分線上；②兩點(diǎn)確定一條直線，則直線CF為DE的垂直平分線，所以CF⊥DE，即CF⊥AB.所以直線CF就是所求作的垂線.【對應(yīng)訓(xùn)練】尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線．(圖略)【教學(xué)建議】尺規(guī)作圖教學(xué)是圍繞定線、作弧、求交點(diǎn)進(jìn)行的，本探究點(diǎn)教學(xué)圍繞這幾個方面設(shè)計了相應(yīng)的問題，以便于學(xué)生具體、細(xì)致地了解探究過程：(1)要確定K點(diǎn)的合適位置，它一定要與點(diǎn)C在AB的兩旁，在同旁的話與AB可能沒有交點(diǎn)，教師可用尺規(guī)作圖演示下在AB同旁可能會遇到的問題；(2)另外注意以D，E為圓心畫弧時，半徑要大于eq\f(1,2)DE的長，這也是為了確保有交點(diǎn)，教師可演示下半徑小于或等于eq\f(1,2)DE的長的情況；(3)最后一個問題說明了這個尺規(guī)作圖的原理，注意最好由學(xué)生回答，教師最后進(jìn)行總結(jié).活動三：鞏固知識，靈活運(yùn)用設(shè)計意圖利用線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行計算，加深理解.例如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，分別交AC，BC邊于點(diǎn)D，E.若AB＝3，AC＝5，求△ABD的周長.解：∵DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD.∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC.∵AB＝3，AC＝5，∴△ABD的周長為3＋5＝8.【對應(yīng)訓(xùn)練】如圖，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，E，垂足分別是M，N.若BC＝10，求△ADE的周長.解：∵DM垂直平分AB，∴AD＝BD.∵EN垂直平分AC，∴AE＝CE.∴△ADE的周長＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10.【教學(xué)建議】給學(xué)生總結(jié)：由線段垂直平分線的性質(zhì)可以得到線段相等，在解題中常需要將所得等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以順利解題．如例題中，將BD的長轉(zhuǎn)化為CD的長，則AD＋BD可以轉(zhuǎn)化為AC的長，從而方便求出△ABD的周長.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.線段垂直平分線上的點(diǎn)有什么特點(diǎn)？2.我們是怎樣判定點(diǎn)在線段的垂直平分線上的？3.經(jīng)過直線外一點(diǎn)怎樣作這條直線的垂線？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P65習(xí)題13.1第6，9，13題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練．板書設(shè)計13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定 1.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等. 2.與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上. 3.經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．教學(xué)反思本節(jié)課探究了線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定，以及經(jīng)過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法．對于每個結(jié)論，都讓學(xué)生說明其中的理由，強(qiáng)化了學(xué)生言必有理的習(xí)慣．用尺規(guī)作垂線時，學(xué)生經(jīng)常遇到障礙，今后要讓學(xué)生多練習(xí)，理解作圖時各步驟的含義.解題大招一三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)在三角形中，將線段垂直平分線的性質(zhì)與判定結(jié)合，可以得出三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等．在一些實(shí)際場景中，有時會用到這個結(jié)論．例1(1)如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．證明：如圖，連接PA，PB，PC.∵點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上，∴PA＝PB.∵點(diǎn)P在邊BC的垂直平分線上，∴PB＝PC.∴PA＝PC.∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．(2)如圖，公園里有一塊三角形草坪(△ABC)，現(xiàn)準(zhǔn)備在該三角形草坪內(nèi)種一棵樹，使得該樹到△ABC三個頂點(diǎn)的距離相等，則該樹應(yīng)種在（A）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處B．三條角平分線的交點(diǎn)處C．三條高的交點(diǎn)處D．三條中線的交點(diǎn)處解題大招二由線段的垂直平分線可以得到兩個等量關(guān)系如圖，AD是線段BC的垂直平分線，AD交BC于點(diǎn)D，則：(1)BD＝CD；(2)AB＝AC.解題時，常需要將這兩個等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化以計算或證明．例2如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝6cm，△ABD的周長為19cm，則△ABC的周長為（D）A．25cmB．12cmC．38cmD．31cm解析：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AE＝CE.∵△ABD的周長為19cm，∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝19cm，即AB＋BC＝19cm.∵AE＝6cm，CE＝AE，∴AC＝2AE＝12cm.∴△ABC的周長＝AB＋BC＋AC＝19＋12＝31(cm)．培優(yōu)點(diǎn)線段垂直平分線的綜合應(yīng)用例如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE，連接AE.(1)求證：AB＝EC；(2)若△ABC的周長為18cm，AF＝4cm，求DC的長．分析：(