初中數(shù)學(xué) 求線段最值問題分類講解全書解析版

最新精編初中數(shù)學(xué)求線段最值問題專題分類講解全書（共計66頁）

線段最值問題（一）

兩點之間線段最短

兩點之間，線段最短經(jīng)常結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊和圓來求解線

段或者線段和的最大最小值問題。解題的關(guān)鍵是找到定點和定長的線段，然后利用上述知識找到臨

界位置，求出最值.

1.兩點之間，線段最短：A和B兩點之間，線段AB最短.

2.AB=a,BC=b(a>b),則當(dāng)點C在。點時，ACmin=AB-AC=a-b,當(dāng)點C在點E

時，ACg*=AB+BC=a+b

垂線段最短

垂線段最短是直線外一點與直線上各點的連線中垂線段最短的簡稱，如圖，線段/W外一點C

與線段上各點的連線中，垂線段C。最短.

考點：兩點之間線段最短，垂線段最短

二.重難點：兩點之間線段最短，垂線段最短

三.易錯點：

1.利用兩點之間線段最短求解最值時要找到定點和定線段，然后再找到臨界位置求解;

2.利用垂線段最短求解最值時關(guān)鍵是找準(zhǔn)定點和動點所在的線段或直線.

題模一：兩點之間線段最短

例1.1.1在RtABC中，ZACB=90°,BAC=30°,BC=6.

（I）如圖①，將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°,所得到與AB交于點M,則CM的長=_；

（II）如圖②，點D是邊AC上一點D且AD=2X/5,將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，得線段AD，，點F

始終為BD，的中點，則將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)—度時，線段CF的長最大，最大值為_.

D'

【答案】（1）6

（2）150；6+收

【解析】（I）如下圖①所示:

:將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°,

AAMC為等腰三角形，AM=MC

VZBAC=30°,

/.AMBC為等邊三角形，

；.AM=MB=CM

又：BC=6,

；.AB=2BC=12,

；.CM=6

故答案為：6

(2):在RtABC中，ZACB=90°,BAC=30°,BC=6,

；.AB=12

取AB的中點E,連接EF、EC,EF是中位線，所以=

2

*.*EC+EF>CF,

；.CF的最大值為EC+E/=6+G，

即：當(dāng)將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150度時，線段CF的長最大，最大值為6+若

例1.1.2如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，己知正三角形ABC的邊長為2,點A從點O開始沿著x

軸的正方向移動，點B在/xOy的平分線上移動.則點C到原點的最大距離是（）

B.V2+V6

D.1+2>/2

【答案】A

【解析】如圖，當(dāng)OC垂直平分線段AB時，線段OC最長.

設(shè)OC與AB的交點為F,在OF上取一點E,使得OE=EA,

:△ABC為等邊三角形，邊長為2,OC1AB

；.CF=@AC=6

,AF=BF=1,

2

VZBOC=ZAOC=22.5°,

.?.ZEOA=ZEAO=22.5°,

.'.ZFEA=ZFAE=45°,

AAF=EF=1,AE=A/2,

OC=OE+EF+CF=1+V2+V3.

例1.1.3如圖，AABC,AEFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點，直線AG、

FC相交于點M.當(dāng)AEFG繞點D旋轉(zhuǎn)時，線段BM長的最小值是（）

【答案】D

【解析】AC的中點0,連接AD、DG、BO、0M,如圖.

「△ABC,ZiEFG均是邊長為2的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點,

；.AD_LBC,GD1EF,DA=DG,DC=DF,

ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,—=—,

DCDF

/.△DAG^ADCF,

ZDAG=ZDCF.

:.A、D、C、M四點共圓.

根據(jù)兩點之間線段最短可得：B0<BM+0M,即BM>B0-0M,

當(dāng)M在線段BO與該圓的交點處時，線段BM最小,

此時，BO=4BC?-"C、=-a=G,OM」AC=L

2

則BM=BO-OM=V3-1.

例1.1.4如圖，四邊形ABCD是正方形，AABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上

任意一點，連結(jié)AM、CM.

(1)當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最??；

(2)當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為有+1時，求正方形的邊長.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)夜

【解析】該題考查的是四邊形綜合.

(1)當(dāng)M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小........................1分

(2)如圖，連接CE,當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時AM+8M+CM的值最小.

理由如下：

VM是正方形ABCD對角線上一點

AM=CM

又AB=BC,BM=BM

Z.N8AM=NBCM.............................................3分

又BE=BA=BC

：.NBEC=4BCM

???NBEC=ZBAM在EC上取一點N使得EN=AM,連結(jié)BN

又：EB=AB

.'.△BNE^AABM.................................3分

???NEBN=ZABM,BN=BM

XV/EBN+/NBA=60。

：.NABM+NM5A=60°

即ZNBM=60°

**?ABMN是等邊三角形.

ABM=MN.............................................4分

AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點之間線段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

.??當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，AM+3M+CM的值最小，即等于EC的長.

......................................5分

(3)過E點作交CB的延長線于F

...Z^BF=90o-60o-30°

設(shè)正方形的邊長為X,則EF=2......................6分

22

在RtAEFC中，

VEF2+FC2=EC2,

??,(5+號x+x=(>/3+1)".

解得x=&(舍去負(fù)值).

.?.正方形的邊長為7分

例1.1.5正方形ABCD的邊長為3,點E,F分別在射線DC,DA上運動，且DE=DF.連接BF,

作EH_LBF所在直線于點H,連接CH.

(1)如圖1,若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明;

若不成立，說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)點E,F分別在射線DC,DA上運動時，連接DH,過點D作直線DH的垂線，交

直線BF于點K,連接CK,請直接寫出線段CK長的最大值.

【答案】(1)CH=AB；

(2)成立，見解析

(3)3應(yīng)+3

【解析】(1)如圖1,連接BE,

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD,ZA=ZBCD=ZABC=90°,

???點E是DC的中點，DE=DF,

???點F是AD的中點，

JAF=CE,

SAABF和ZkCBE中，

AB=CB

,NA=/BCE

AF=CE

.".△ABF^ACBE,

AZ1=Z2,

VEH1BF,ZBCE=90°,

???C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，

AZ3=Z2,

AZ1=Z3,

VZ3+Z4=90°,Zl+ZHBC=90°,

???Z4=ZHBC,

ACH=BC,

又TAB=BC,

ACH=AB.

（2）當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立.

如圖2,連接BE,

圖2

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD,ZA=ZBCD=ZABC=90°,

TAD二CD,DE=DF,

AAF=CE,

在ZkABF和ZkCBE中，

AB=CB

<N4=NBCE

AF=CE

AAABF^ACBE,

Z.Z1=Z2,

VEH1BF,ZBCE=90°,

???C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，

AZ3=Z2,

.\Z1=Z3,

VZ3+Z4=90°,Zl+ZHBC=90°,

JZ4=ZHBC,

ACH=BC,

又TAB=BC,

.\CH=AB.

(3)如圖3,

VCK<AC+AK,

，當(dāng)C、A、K三點共線時，CK的長最大，

VZKDF+ZADH=90°,ZHDE+ZADH=90°,

AZKDF=ZHDE,

*.?ZDEH+ZDFH=360°-ZADC-ZEHF=360°-90°-90°=180°,

ZDFK+ZDFH=180°,

???ZDFK=ZDEH,

在ADFKfllADEH中，

Z.KDF=NHDE

DF=DE

ZDFK=NDEH

AADFK^ADEH,

ADK=DH,

在ADAK和ZkDCH中,

DA=DC

<乙KDA=ZHDC

DK=DH

.,.△DAK絲△DCH,

；.AK=CH

又；CH=AB,

；.AK=CH=AB,

VAB=3,

；.AK=3,AC=372,

CK=AC+AK=AC+AB=3夜+3,

即線段CK長的最大值是3&+3

例1.1.6在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M為AB的中點.D是射線BC上一個動點，連

接AD,將線段AD繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,連接ED,N為ED的中點，連接AN,

MN.

(1)如圖1,當(dāng)BD=2時，AN=—,NM與AB的位置關(guān)系是—；

(2)當(dāng)4VBDV8時，

①依題意補全圖2；

②判斷(1)中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；

(2)連接ME,在點D運動的過程中，當(dāng)BD的長為何值時，ME的長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？請直

接寫出結(jié)果.

【答案】(1)Vio,垂直

(2)見解析

【解析】(1)VZACB=90°,AC=BC=4,BD=2,；.CD=2,

Z.AD=7AC2+CD2=2后,

???將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,

.'.△ADE是等腰直角三角形，

.".DE=>/2AD=27i0,

：N為ED的中點，；.AN=LDE=J16,

2

；M為AB的中點，AAM=-AB=2V2,

2

..ANV10_>/2AM_2>/2_y/2.AMAM

?----7==--，---=----=---，??---=----，

AD2V52AC42ADAC

VZCAB=ZDAN=45°,

AZCAD=ZMAN,

.,.△ACD^AAMN,

AZAMN=ZC=90°,

AMN±AB,

故答案為：Vio,垂直；

(2)①補全圖形如圖2所示，

②(1)中NM與AB的位置關(guān)系不發(fā)生變化，

理由：VZACB=90°,AC=BC,

.\ZCAB=ZB=45°,

ZCAN+ZNAM=45°,

;線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AE,

；.AD=AE,ZDAE=90°,

；N為ED的中點，

/.ZDAN=-ZDAE=45,AN1DE,

2

ZCAN+ZDAC=45°,

；.NNAM=NDAC,在RtAAND中，—=cosZDAN=cos450=—,同理=立，

AD22

ACAM

...代=￡￡,?.?NDAC=45。-ZCAN=ZMAN,

ABAN

/.△ANM^AADC,

AZAMN=ZACD,

???D在BC的延長線上，

.\ZACD=180°-ZACB=90°,

.\ZAMN=90o,

AMN±AB；

(2)連接ME,EB,過M作MG_LEB于G,過A作AK_1_AB交BD的延長線于K,

則AAKB等腰直角三角形，

在ZkADK與ZkABE中，

AK=AB

<NKAD=ZBAE,AADK^AABE,ZABE=ZK=45°,

AD=AE

AABMG是等腰直角三角形,

VBC=4,???AB=4后，MB=2夜，AMG=2,

VZG=90°,/.ME>MG,.?.當(dāng)ME=MG時,ME的值最小，，ME=BE=2,

；.DK=BE=2,VCK=BC=4,：.CD=2,

；.BD=6,；.BD的長為6時，ME的長最小，最小值是2.

例1.1.7如圖1,己知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-

x?+bx+c過A、B兩點，且與x軸交于另一點C.

(1)求b、c的值；

(2)如圖1,點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE=2ED,連接CE并延長交拋物線于點

M,求點M的坐標(biāo)；

(3)將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15。后交y軸于點G,連接CG,如圖2,P為AACG內(nèi)

一點，連接PA、PC、PG,分別以AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊4APR,等邊ZkAGQ,連接

QR

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標(biāo).

/、、、,，1251、

(2)M(-—，—)

525

(3)①見解析

②PA+PC+PG的最小值為，此時點P的坐標(biāo)(-2,呸叵)

1919

【解析】分析：(1)把A(-3,0),B(0,3)代入拋物線y=-x?+bx+c即可解決問題.

(2)首先求出A、C、D坐標(biāo)，根據(jù)BE=2ED,求出點E坐標(biāo)，求出直線CE,利用方程組求交點

坐標(biāo)M.

(3)①欲證明PG=QR,只要證明AQAR絲4GAP即可.②當(dāng)Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC

最小，作QN±OA于N,AM±QC于M,PK±OA于K,由sinNACM=d^=強求出AM,

ACQC

CM,利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC,由此即可解決問題.

(1)???一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,

AA(-3,0),B(0,3),

,/拋物線y=-x，bx+c過A、B兩點,

c=3b=-2

解得

一9一3b+c=0c=3

.,.b=-2,c=3.

(2),對于拋物線y=-x2-2x+3,令y=0,則-x2-2x+3=0,解得x=-3或1,

???點C坐標(biāo)(1,0),

VAD=DC=2,

???點D坐標(biāo)(-1,0),

VBE=2ED,

2

/.點E坐標(biāo)(-一，1),

3

,3

k=——

設(shè)直線CE為y=kx+b,把E、C代入得到""1解得，5

k+h=0

5

33

J直線CE為y=--x+-,

x=-

y=----X--口

,55解得

y=-x2-2x+3

1251

???點M坐標(biāo)（-上，—）.

(3)?VAAGQ,z\APR是等邊三角形，

Z.AP=AR,AQ=AG,ZQAC=ZRAP=60°,

AZQAR=ZGAP,

在^QAR和ZkGAP中，

AQ=AG

<ZQAR=ZGAP,

AR=AP

.?.△QAR^AGAP,

.'.QR=PG.

②如圖3中，:PA+PB+POQR+PR+PC=QC,

，當(dāng)Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，

作QN_LOA于N,AM_LQC于M,PK_LOA于K.

VZGAO=60°,AO=3,

AAG=QG=AQ=6,ZAGO=30°,

*.?ZQGA=60°,

JZQGO=90°,

工點Q坐標(biāo)(-6,3月)，

在RT/xQCN中，QN=3^,CN=7,ZQNC=90°,

???QC=y]QN2+NC2=2M，

VsinZACM=—=^,

ACQC

.?.AM=￡豆,

19

?「△APR是等邊三角形,

AZAPM=60°,?.?PM=PR,cos30°=—,

AP

.?.AP=MI,PM=RM=￡@

1919

匹=它工，=嚅

???PC=CM-PM二回”

19

..PKCPCK

?QN~~CQ~~CN

?CK-28PK.M

??V^IX-f1IV—,

1919

9

.\OK=CK-CO=—，

19

.?.點p坐標(biāo)（一看臀）.

...PA+PC+PG的最小值為2m，此時點P的坐標(biāo)（-2,呸叵）.

1919

題模二：垂線段最短

例1.2.1如圖，邊長為10的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC,將線

段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到FC,連接DF.則在點E運動過程中，DF的最小值是.

【答案】2.5

【解析】取AC的中點G,連接EG,

;旋轉(zhuǎn)角為60。,

.1.ZECD+ZDCF=60°,

又?:ZECD+ZGCE=ZACB=60°,

ZDCF=ZGCE,

VAD是等邊△ABC的對稱軸,

；.CD=—BC,

2

ACD=CG,

又；CE旋轉(zhuǎn)到CF,

ACE=CF,

在ZkDCF和Z^GCE中，

CG=CD

<NGCE=/DCF,

CE=CF

???DF=EG,

根據(jù)垂線段最短，EGLAD時，EG最短，即DF最短,

此時???NCAD=-x60°=30°,AG=-AC=-xlO=5,

222

AEG=-AG=-x5=2.5,

22

，DF=2.5.

例1.2.2如圖，。。是以原點為圓心，及為半徑的圓，點P是直線y=-x+6上的一點，過點P作

。。的一條切線PQ,Q為切點，則切線長PQ的最小值為（）

A.3B.4C.6-V2D.3及-1

【答案】B

【解析】；P在直線y=-x+6上，

.,.設(shè)P坐標(biāo)為(m,6-m),

連接OQ,OP,由PQ為圓O的切線，得到PQLOQ,

在Rt^OPQ中，根據(jù)勾股定理得：Op2=PQ2+OQ2,

.?.PQ2=m2+(6-m)2-2=2m2-12m+34=2(m-3)2+16,

則當(dāng)m=3時，切線長PQ的最小值為4.

例1.2.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義點P(X,y)的變換點為P(x+y,x-y).

(1)如圖1,如果。O的半徑為2夜，

①請你判斷M(2,0),N(-2,-1)兩個點的變換點與。O的位置關(guān)系；

②若點P在直線y=x+2上，點P的變換點P在。O的內(nèi)，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍.

(2)如圖2,如果。。的半徑為1,且P的變換點P在直線y=-2x+6上，求點P與。O上任意一

點距離的最小值.

【答案】(1)①變換點在。。上；變換點在。O外；P橫坐標(biāo)的取值范圍為-2<x<0；

0-2<x<0

⑵題7

5

【解析】(1)①M(2,0)的變換點M，的坐標(biāo)為(2,2),則OM，=J?涯=2應(yīng)，所以點M

(2,0)的變換點在。O上；

N(-2,-1)的變換點N，的坐標(biāo)為(-3,-1),則ON，=,32+12=回>2點，所以點N(-

2,-1)的變換點在。O外；

②設(shè)P點坐標(biāo)為(x,x+2),則P點的變換點為P，的坐標(biāo)為(2x+2,-2),則OP，=

7(2X+2)2+(-2)2,

?點F在。O的內(nèi)，

7(2X+2)2+(-2)2<2冊,

(2x+2)2<4,即(x+1)2c1,

A-l<x+l<l,解得-2<x<0,

即點P橫坐標(biāo)的取值范圍為-2Vx<0；

(2)設(shè)點？的坐標(biāo)為(x,-2x+6),P(m,n),

根據(jù)題意得m+n=x,m-n=-2x+6,

，3m+n=6,

即n=-3m+6,

，P點坐標(biāo)為(m,-3m+6),

，點P在直線y=-3x+6上，

設(shè)直線y=-3x+6與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,過O點作OHLAB于H,交。O于C,

如圖2,

則A(2,0),B(0,6),

；.AB=M+G[=2屈,

V-OH.AB=-OA.OB,

22

.?心=竿=亞,

2M5

2磬7

即點P與。O上任意一點距離的最小值為半-1.

圖2

例1.2.4已知梯形ABCD,AD〃BC,AB1BC,AD=1,AB=2,BC=3,

問題1：如圖1,P為AB邊上的一點，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請問對角線PQ,DC

的長能否相等，為什么？

問題2：如圖2,若P為AB邊上一點，以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請問對角線PQ的長

是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.

問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形

PCQE,請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說

明理由.

問題4：如圖3,若P為直線DC上任意一點，延長PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù))，以PE、

PB為邊作平行四邊形PBQE,請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值,

如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)對角線PQ與DC不可能相等；(2)PQ的長最小為4；(3)PQ的長最小為5；

(4)PQ的長最小為4(n+4).

【解析】

問題1：過點D作DE1BC于點E,

?.?梯形ABCD,AD//BC,AB1BC

四邊形ABED是矩形，

；.DE=AB=2,BE=AD=1,

；.CE=BC-BE=2,

；.DC=2女，

,/四邊形PCQD是平行四邊形，

若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形,

設(shè)PB=x,則AP=2-x,

在RSDPC中,PD2+PC2=DC2,即X2+32+(2-x)2+1=8,

化簡得X2-2X+3=0,

?/△=(-2)2-4xlx3=-8<0,

方程無解，

對角線PQ與DC不可能相等.

問題2：如圖2,在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G,

則G是DC的中點，

過點Q作QHLBC,交BC的延長線于H,

；AD〃BC,

NADC=NDCH,即NADP+NPDG=NDCQ+/QCH,

：PD〃CQ,

；./PDC=/DCQ,

；.NADP=/QCH,

又：PD=CQ,

RIAADP^RIAHCQ,

AAD=HC,

VAD=1,BC=3,

ABH=4,

.,.當(dāng)PQ_LAB時,PQ的長最小，即為4.

問題3：如圖2，，設(shè)PQ與DC相交于點G,

：PE〃CQ,PD=DE,

.DG_PD

>?---------——

GCCQ2

???G是DC上一定點,

作QH_LBC,交BC的延長線于H,

同理可證NADP=NQCH,

.,.RtAADP^RtAHCQ,

即四二空」

CHCQ2

ACH=2,

.\BH=BC+CH=3+2=5,

???當(dāng)PQ_LAB時，PQ的長最小，即為5.

問題4：如圖3,設(shè)PQ與AB相交于點G,

VPE/7BQ,AE=nPA,

.PA_AG_1

??----------------,

BQBGn+\

???G是AB上一定點，

作QH〃CD,交CB的延長線于H,過點C作CK_LCD,交QH的延長線于K,

VAD/7BC,AB1BC,

.\ZD=ZQHC,ZDAP+ZPAG=ZQBH+ZQBG=90°,ZPAG=ZQBG,

JZQBH=ZPAD,

.'.△ADP^ABHQ,

.AD_PA_1

??,—-,

BHBQn+\

VAD=1,

???BH=n+l,

CH=BH+BC=3+n+l=n+4,

過點D作DM_LBC于M,

則四邊形ABMD是矩形，

ABM=AD=1,DM=AB=2

???CM=BC-BM=3-1=2=DM,

，NDCM二45。，

AZKCH=45°,

.\CK=CH-cos45°=—(n+4),

2

???當(dāng)PQ_LCD時，PQ的長最小，最小值為1（n+4）.

隨練1.1如圖，RtAABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,P是4ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足N

PAB=ZPBC,則線段CP長的最小值為（）

8匹12V13

B.2

1313

【答案】B

【解析】?*,ZABC=90°,

.-.ZABP+ZPBC=90°,

VZPAB=ZPBC,

.,.ZBAP+ZABP=90°,

ZAPB=90°,

.?.OP=OA=OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），

...點P在以AB為直徑的。0上，連接OC交。0于點P,此時PC最小,

在RTABCO中，VZOBC=90°,BC=4,0B=3,

:.OC=>JBO2+BC2=5,

；.PC=OC-0P=5-3=2.

PC最小值為2.

隨練1.2如圖，ZkABC和AADE是有公共頂點的等腰直角三角形，NBAC=/DAE=90。，點P為

射線BD,CE的交點.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=2,AD=1,把ZkADE繞點A旋轉(zhuǎn)，

①當(dāng)/EAC=90。時，求PB的長；

②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最小值與最大值.

②PB長的最小值是6-1，最大值是G+I

【解析】(1)欲證明BD=CE,只要證明4ABD也ZXACE即可.

(2)①分兩種情形a、如圖2中，當(dāng)點E在AB上時，BE=AB-AE=1.由APEBSAAEC,得

—.由此即可解決問題.b、如圖3中，當(dāng)點E在BA延長線上時，BE=3.解法類似.

ACCE

②a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在。A下方與。A相切時，PB的值最小.b、

如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在(DA上方與OA相切時，PB的值最大.分別求

出PB即可.

(1)證明：如圖1中,

圖1

「△ABC和AADE是等腰直角三角形，NBAC=/DAE=90。,

；.AB=AC,AD=AE,ZDAB=ZCAE,

在AADB和AAEC中,

AB=AC

/BAD=ZCAE

AD=AE

.'.△ADB^AAEC,

/.BD=CE.

(2)①解：a、如圖2中，當(dāng)點E在AB上時，BE=AB-AE=1.

ZEAC=90°,

:.CE=ylAE2+AC2=石,

同(1)可證△ADBZ/XAEC.

.\ZDBA=ZECA.

VZPEB=ZAEC,

AAPEB^AAEC.

.PBBE

??-----=-----,

ACCE

.PB1

??——=,,

275

.?.PB"

5

b、如圖3中，當(dāng)點E在BA延長線上時，BE=3.

E

圖3

ZEAC=90°,

:.CE=\lAE2+AC2=y/5，

同（1）可證^ADB0ZXAEC.

AZDBA=ZECA.

VZBEP=ZCEA,

AAPEB^AAEC,

.PBBE

??=1f

ACCE

.PB3

>?------=~~F=，

2出

；.PB考.

綜上,PB=苧或噪

②解：a、如圖4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在G)A下方與。A相切時，PB的值最小.

圖4

理由：此時/BCE最小，因此PB最小，（APBC是直角三角形，斜邊BC為定值，/BCE最小,

因此PB最小）

VAE1EC,

，EC=\IAC2-AE2=V22-l2=75,

由（1）可知，△ABDWZ\ACE,

ZADB=ZAEC=90°,BD=CE=摳,

ZADP=ZDAE=ZAEP=90°,

四邊形AEPD是矩形，

；.PD=AE=1,

APB=BD-PD=A/3-1.

b、如圖5中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當(dāng)CE在。A上方與。A相切時，PB的值最大.

BC

圖5

理由：此時NBCE最大，因此PB最大，(APBC是直角三角形，斜邊BC為定值，NBCE最大,

因此PB最大)

VAE1EC,

EC=ylAC2-AE2=初一尸=G,

由（1）可知，AABDgaACE,

ZADB=ZAEC=90°,BD=CE=上,

ZADP=ZDAE=ZAEP=90°,

四邊形AEPD是矩形，

；.PD=AE=1,

.?.PB=BD+PD=>/3+l.

綜上所述，PB長的最小值是6-1,最大值是指+1.

隨練1.3如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30。的三角尺的直角頂點C落在第二象限.其斜邊兩端

點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm

(1)若OB=6cm.

①求點C的坐標(biāo)；

②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

(2)點C與點O的距離的最大值=cm.

【答案】⑴①(-3白，9)；②6(g-1)

(2)12

【解析】(1)①過點C作y軸的垂線，垂足為D,如圖1：

在RtZkAOB中，AB=12,OB=6,貝I]BC=6,

.?.ZBAO=30°,ZABO=60°,

又；NCBA=60。，

/.ZCBD=60°,/BCD=30°,

；.BD=3,CD=3G

所以點C的坐標(biāo)為(-369)；

②設(shè)點A向右滑動的距離為x,根據(jù)題意得點B向上滑動的距離也為X,如圖2：

AO=12xcosZBAO=12xcos300=6>/3.

；.A'0=6道-x,B'0=6+x,A'B'=AB=12

在AAgB，中，由勾股定理得，

(673-x)2+(6+x)2=122,

解得：x=6(5/3-I),

???滑動的距離為6（有-的；

（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為（x,y）,過C作CE_Lx軸，CD，y軸，垂足分別為E,D,如圖3：

則OE=-x,OD=y,

ZACE+ZBCE=90°,ZDCB+ZBCE=90°,

NACE=NDCB,

又,.?/AEC=NBDC=90°,

.'.△ACE^ABCD,

.CEAC0nCE6石R

CDBCCD6

y=-V5x,

OC2=x2+y2=x2+（-V3x）2=4X2,

，取AB中點D,連接CD,OD,則CD與OD之和大于或等于CO,當(dāng)且僅當(dāng)C,D,O三點共線

時取等號，此時CO=CD+OD=6+6=12,

第二問方法二：因角C與角O和為180度，所以角CAO與角CBO和為180度，故A,O,B,C

四點共圓，且AB為圓的直徑，故弦CO的最大值為12.

隨練1.4如圖，正方形ABCD的邊長為1,點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），

分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是則B8+CC+Z）。?的最大值為，

最小值為。

【答案】2,1

【解析】如圖所示，連接AC、DP,

5ABCD=1X1=1,由勾股定理可得AC=Jp+f=收，

AB=1,

}<AP<>/2,

1

SGDPC=^MPC=2XAPXCC，

1=SABCD=S1Mp+5兇8+SM,C=；x4PX(BB'+CC+DD)

..2

BB+CC+DD=—,

AP

\<AP<y[2,

+CC+DD<2,

因此，本題正確答案為2,應(yīng)

隨練1.5如圖1,已知AABC是等腰直角三角形，NBAC=90。，點M是BC的中點，作正方形

MNPQ,使點A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ.

（1）直接寫出線段AN和BQ的數(shù)量關(guān)系是.

（2）將正方形MNPQ繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)0（0。＜把360。）

①判斷（1）的結(jié)論是否成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；

②若BC=MN=6,當(dāng)0（0。＜把360。）為何值時，AN取得最大值，請畫出此時的圖形，并直接寫出

AQ的值.

p

【答案】(1)BQ=AN(2)3后

【解析】(1)BQ=AN.

理由：如圖1,「△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，點M是BC的中點,

.,.AMXBC,BM=AM,

.?,ZAMB=ZAMC=90°.

,/四邊形PQMN是正方形,

AQM=NM.

在AQMB和ANMA中，

BM=AM

"NQMB=NAMN,

QM=NM

：.AQMB^ANMA(SAS),

；.BQ=AN.

故答案為：BQ=AN；

(2)?BQ=AN成立.

理由：如圖2,連接AM,

在RtABAC中，M為斜邊BC中點,

，AM=BM,AM1BC,

.".ZAMQ+ZQMB=90°.

:四邊形PQMN為正方形,

，MQ=NM,且NQMN=90。,

...NAMQ+NNMA=90。，

ZBMQ=ZAMN.

在ABMQ和AAMN中，

MQ=MN

<Z.BMQ=NAMN,

BM=AM

AABMQ^AAMN(SAS),

，BQ=AN；

②由①得，BQ=AN,

...當(dāng)BQ取得最大值時，AN取得最大值.

如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角0=270。時，BQ=AN(最大)，此時/AMQ=90。.

：BC=MN=6,M是BC的中點，

；.MQ=6,AM=；BC=3,

...在RSAMQ中，由勾股定理得

AQ=yjAM^MQ2=732+62=3下.

N圖3

Q

隨練1.6在RSABC中，ZA=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,AC的中點.若等腰RsADE

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RsADiEi，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0〈仁180。)，記直線BD|與CEI的交

點為P.

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時，線段BD|的長等于,線段CE1的長等于；(直

接填寫結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)a=135°時，求證：BDi=CEj,且BDJCE”

(3)①設(shè)BC的中點為M,則線段PM的長為；②點P到AB所在直線的距離的最大

值為.(直接填寫結(jié)果)

【答案】(1)2x/5；2斯;

(2)見解析

(3)①PM=2近

②PG=1+而.

【解析】(1)VZA=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點，

；.AE=AD=2,

?.?等腰RSADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RsADiE”設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0〈證180。)，

.,.當(dāng)a=90°時，AE|=2,ZE,AE=90°,

.-.BD|=V42+22=275,E,C=742+22=275；

(2)證明：當(dāng)a=135°時，如圖2,

,.,RtAAD,E是由RtAADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135。得到，

.-.AD|=AE|,ZD|AB=ZE,AC=135°,

在ADiAB和AEjAC中

M=AE1

；＜ND|AB=NE|AC,

AB=AC

.?.△D,AB^AE|AC(SAS),

，BD尸CE|,且ND|BA=NEiCA,

記直線BD1與AC交于點F,

ZBFA=ZCFP,

ZCPF=ZFAB=90°,

.?.BD,±CE|；

(3)解：①如圖2,VZCPB=ZCAB=90°,BC的中點為M,

,-.PM=1BC,

2

：.PM=-“2+42=2及，

2

故答案為：2投；

②如圖3,作PG_LAB,交AB所在直線于點G,

：Di，Ei在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

當(dāng)BD）所在直線與。A相切時，直線BD（與CEi的交點P到直線AB的距離最大,

此時四邊形AD|PE|是正方形，PD|=2,則BD|=j4?-22=26,

故NABP=30°,

則PB=2+26,

故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=l+6.

故答案為：1+囪.

隨練1.7已知，點0是等邊AABC內(nèi)的任一點，連接OA,OB,0C.

(1)如圖1,已知NAOB=150。，ZBOC=120°,將ABOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得AADC.

①NDAO的度數(shù)是；

②用等式表示線段OA,OB,0C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)設(shè)NAOB=a,NBOC邛.

①當(dāng)a,P滿足什么關(guān)系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由;

②若等邊AABC的邊長為1,直接寫出OA+OB+OC的最小值.

［答案］（1）@90°；②OA2+OB2=OC2；證明見解析

（2）①a=B=120。，OA+OB+OC有最小值；圖形見解析

②G

【解析】（1）①NAOB=150°,NBOC=120°,

ZAOC=360°-120°-150°=90°,

:將ABOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得AADC,

.,.ZOCD=60o,ZD=ZBOC=120°,

ZDAO=360°-ZAOC-ZOCD-ZD=90°,

故答案為：90°；

②線段OA,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2=OC2,

如圖1,連接OD,

VABOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°WAADC,

.,.△ADC絲△BOC,ZOCD=60°,

，CD=OC,ZADC=ZBOC=120°,AD=OB,

AAOCD是等邊三角形，

.e.OC=OD=CD,ZCOD=ZCDO=60°,

VZAOB=150°,ZBOC=120°,

ZAOC=90°,

AZAOD=30°,ZADO=60°,

???ZDAO=90°,

在RtZkADO中，ZDAO=90°,

.*.OA2+OB2=OD2,

.*.OA2+OB2=OC2；

(2)①當(dāng)a=B=120。時，OA+OB+OC有最小值.

如圖2,將AAOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得20(2,連接00、

???△AOCdAOC,NOCCT=NACA，=60。，

.\OrC=OC,OA，=OA,ArC=BC,

NAOC=NAOC.

AAOCCT是等邊三角形，

???oc=o'c=o(y,NCOO，=NCOQ=60。，

VZAOB=ZBOC=120°,

.*.ZAOC=ZA,O'C=120°,

.?.ZBOOZ=ZOOW=180°,

，四點B,O,0\A，共線，

JOA+OB+OC=O'A'+OB+OO'=BA'時值最??；

②??,ZAOB=ZBOC=120°,

.".ZAOC=120°,

/.O^JAABC的中心,

?.?四點B,O,O',A，共線，

.,.BD±AC,

?.?將AAOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得△AX)C,

.,.A,C=AC=BC,

.,.A,B=2BD,

J7J7

在RtABCD中，BD=—BC=—,

22

當(dāng)?shù)冗卆ABC的邊長為1時，OA+OB+OC的最小值A(chǔ)B=G.

隨練1.8以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作AAOB和ACOD,其中

ZABO=ZDCO=30°.

(1)點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，連接FM、EM.

①如圖1,當(dāng)點D、C分別在AO、BO的延長線上時，—=；

EM

②如圖2,將圖1中的AAOB繞點。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)口角(0。<￡<60°),其他條件不變，判

斷上的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進行證明；

EM

（2）如圖3,若80=34，點N在線段OD上，且NO=2.點P是線段AB上的一個動點，在將

△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為，最大值為.

A

【解析】該題考查旋轉(zhuǎn)與相似.

(1)①連接EF,

??,點E、F、M分別是AC、CD、DB的中位線,

JEF、FM分另I」是AACD^UADBC的中位線，

.e.EF//AD,FM//CB,

丁Z.ABO=ZD