高三數(shù)學(xué)備考沖刺分問題二項(xiàng)式定理與其他知識的交匯問題含

問題39二項(xiàng)式定理及其他學(xué)問的交匯問題一、考情分析二項(xiàng)式定理是高考高頻考點(diǎn),根本上每必考,難度中等或中等以下,二項(xiàng)式定理作為一個(gè)工具,也常及其他學(xué)問交匯命題,如及數(shù)列交匯、及不等式交匯、及定積分交匯等．因此在一些題目中不僅僅考察二項(xiàng)式定理,還要考察其他學(xué)問,其解題的關(guān)鍵點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn),留意它們的聯(lián)絡(luò)．二、經(jīng)驗(yàn)共享1.二項(xiàng)綻開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a及b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，始終到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).2.求二項(xiàng)綻開式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)展，化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可．3.整除問題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類常見的應(yīng)用問題，整除問題中要關(guān)注綻開式的最終幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注綻開式的前幾項(xiàng)．4.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用根本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，留意選擇相宜的形式．三、學(xué)問拓展1.“賦值法〞普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其綻開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2.假設(shè)f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.四、題型分析(一)二項(xiàng)式定理及函數(shù)的交匯【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(〔x－\f(1,x)〕6，x<0，,－\r(x)，x≥0，))則當(dāng)x>0時(shí),f[f(x)]表達(dá)式的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為()A．－20B．20C．－15 D．15【答案】A【解析】x＞0時(shí),f(x)＝－eq\r(x)＜0,故f[f(x)]＝f(－eq\r(x))＝(－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))6,其綻開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－eq\r(x))6－r·(eq\f(1,\r(x)))r＝(－1)6－r·Ceq\o\al(r,6)·(eq\r(x))6－2r,由6－2r＝0,得r＝3,故常數(shù)項(xiàng)為(－1)3·Ceq\o\al(3,6)＝－20.【點(diǎn)評】解決此題的關(guān)鍵是當(dāng)x>0時(shí),將f[f(x)]表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式．【小試牛刀】設(shè)是綻開式的中間項(xiàng),假設(shè)在區(qū)間上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是〔〕A．〔－∞,5〕B．〔－∞,5]C．〔5,＋∞〕D．[5,＋∞〕【答案】D【解析】由題意可知,由得在區(qū)間上恒成立,所以,應(yīng)選D．(二)二項(xiàng)式定理及數(shù)列的交匯【例2】將〔〕的綻開式中的系數(shù)記為,則．【答案】【解析】〔〕的綻開式的通項(xiàng)為,由題意可知,此時(shí),,所以,所以．【小試牛刀】設(shè)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(n)n(∈N*)綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)和及各項(xiàng)系數(shù)和分別為an、bn,則eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝()A．2n－1＋3 B．2(2n－1＋1)C．2n＋1 D．1【答案】C【解析】由題意知an＝2n成等比數(shù)列,令x＝1則bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)也成等比數(shù)列,所以eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn)＝2n＋1,應(yīng)選C.(三)二項(xiàng)式定理及不等式的交匯【例3】假設(shè)變量滿意約束條件,,則取最大值時(shí),二項(xiàng)綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】畫出不等式組表示平面區(qū)域如圖,由圖象可知當(dāng)動(dòng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取最大值.當(dāng)時(shí),故由二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式,由題設(shè)可得,所以綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是,故應(yīng)填答案.【小試牛刀】的綻開式中及的項(xiàng)的系數(shù)之比為，則的最小值為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】在二項(xiàng)式的綻開式中項(xiàng)的系數(shù)是，在二項(xiàng)式的綻開式中項(xiàng)的系數(shù)是。由題設(shè)可得，即，所以〔當(dāng)且僅當(dāng)取等號〕，應(yīng)選答案C。(四)二項(xiàng)式定理及定積分的交匯【例4】【2021屆福建福州外國語學(xué)校高三理適應(yīng)性考試三】綻開式的常數(shù)項(xiàng)是540,則由曲線和圍成的封閉圖形的面積為．【答案】【解析】二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng),令,所以有,求出,所以,聯(lián)立,交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以由曲線和圍成的封閉圖形的面積.【小試牛刀】【山東省德州市2021屆高三模擬】在的綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)等于264，則等于A．B．C．D．【答案】B【解析】〔a〕12的綻開式的通項(xiàng)為．由，得r＝10．∴，解得a＝﹣2〔舍〕或a＝2．∴〔2x〕dx〔lnx+x2〕ln2+4﹣ln1﹣1＝ln2+3．應(yīng)選：B．(五)二項(xiàng)式定理及導(dǎo)數(shù)的交匯【例5】,則〔〕A．1008B．2021C．4032D．0【答案】C【解析】設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得:,又,求導(dǎo)得,由令得:．應(yīng)選C．【小試牛刀】求證【證明】由二項(xiàng)式定理可得兩邊取導(dǎo)數(shù)可得令得.(六)二項(xiàng)式定理及信息遷移題的交匯【例6】m是一個(gè)給定的正整數(shù),假如兩個(gè)整數(shù)a,b除以m所得的余數(shù)一樣,則稱a及b對模m同余,記作a≡b(modm),例如：5≡13(mod4).假設(shè)22021≡r(mod7),則r可能等于()A.2021B.2014C【答案】A【解析】22021＝22×23×671＝4×8671＝4(7＋1)671＝4(7671＋Ceq\o\al(1,671)7670＋…＋Ceq\o\al(670,671)7＋1).因此22021除以7的余數(shù)為4.經(jīng)驗(yàn)證,只有2021除以7所得的余數(shù)為4.應(yīng)選A.【小試牛刀】用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出假設(shè)干個(gè)球的全部取法可由(1＋a)(1＋b)的綻開式1＋a＋b＋ab表示出來,如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a〞表示取出一個(gè)紅球、而“ab〞則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.依此類推,以下各式中,其綻開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)分的紅球、5個(gè)無區(qū)分的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)分的黑球中取出假設(shè)干個(gè)球,且全部的藍(lán)球都取出或都不取出的全部取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【答案】A【解析】分三步：第一步,5個(gè)無區(qū)分的紅球可能取出0個(gè),1個(gè),…,5個(gè),則有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)種不同的取法；第二步,5個(gè)無區(qū)分的藍(lán)球都取出或都不取出,則有(1＋b5)種不同的取法；第三步,5個(gè)有區(qū)分的黑球中任取0個(gè),1個(gè),…,5個(gè),有(1＋Ceq\o\al(1,5)c＋Ceq\o\al(2,5)c2＋Ceq\o\al(3,5)c3＋Ceq\o\al(4,5)c4＋Ceq\o\al(5,5)c5)＝(1＋c)5種不同的取法,所以所求為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5,應(yīng)選A.四、遷移運(yùn)用1．【湖南省懷化市2021屆高三3月第一次模擬】在的綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，則的值為〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋`開式的通項(xiàng)為，所以在的綻開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，即；所以.應(yīng)選C2．為滿意〔〕能被整除的正數(shù)的最小值，則的綻開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為〔〕A．第項(xiàng)B．第項(xiàng)C．第項(xiàng)D．第項(xiàng)和第項(xiàng)【答案】B【解析】由于，所以，從而的綻開式中系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)只有符號差異，又中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，中間項(xiàng)為第項(xiàng)，其系數(shù)為負(fù)，則第項(xiàng)系數(shù)最大．3．聽從正態(tài)分布，則“〞是“關(guān)于的二項(xiàng)式的綻開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分又不必要條件D．充要條件【答案】A【解析】由，知．因?yàn)槎?xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式為＝，令，得，所以其常數(shù)項(xiàng)為，解得，所以“〞是“關(guān)于的二項(xiàng)式的綻開式的常數(shù)項(xiàng)為3〞的充分不必要條件，應(yīng)選A．4．〔〕，設(shè)綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，〔〕，及的大小關(guān)系是〔〕A．B．C．為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，D．【答案】C【解析】由可令得；可令得；，，而二項(xiàng)式系數(shù)和則比較易得；為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，5．【山東K12聯(lián)盟2021屆高三模擬】，在的綻開式中，記的系數(shù)為f(m,n)，則+f(7,2)=〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，由有指的系數(shù)，指x7y2的系數(shù)，所以，選A.6．將二項(xiàng)式綻開式各項(xiàng)重新排列,則其中無理項(xiàng)互不相鄰的概率是〔〕A．B．C.D．【答案】A【解析】由,知當(dāng)時(shí)為有理項(xiàng),則二項(xiàng)式綻開式中有4項(xiàng)有理項(xiàng),3項(xiàng)無理項(xiàng),所以根本事件總數(shù)為,無理項(xiàng)互為相鄰有,所以所求概率＝,應(yīng)選A．7．假設(shè),則綻開式中常數(shù)項(xiàng)為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?所以,,常數(shù)項(xiàng)為,應(yīng)選B.8.f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值為n,則二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(n)綻開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為()A．15 B．－15 C．30 D．－30【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值為4－(－2)＝6,即nTk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k(－1)k,由6－2k＝2,得k＝2,所以T3＝Ceq\o\al(2,6)x2(－1)2＝15x2,即x2項(xiàng)的系數(shù)為15,選A.9.設(shè)復(fù)數(shù)x＝eq\f(2i,1－i)(i是虛數(shù)單位),則Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋Ceq\o\al(3,2015)x3＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝()A．i B．－iC．－1－i D．1＋i【答案】C【解析】x＝eq\f(2i,1－i)＝－1＋i,Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝(1＋x)2015－1＝i2015－1＝－i－1.10．,則從集合〔〕到集合的映射個(gè)數(shù)是〔〕A．6561B．316C．2187D．210【答案】A【解析】,所以,所以集合M中有0、1、4、6、、、、,從M到N的映射共有個(gè)．選A．11．設(shè)是大于1的自然數(shù),的綻開式為.假設(shè)點(diǎn)的位置如下圖,則.【答案】【解析】由圖易知,則,即,解得.12．【河南省新鄉(xiāng)市2021屆高三下學(xué)期第二次模擬】，則___________.【答案】【解析】對等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.13．【江西省臨川第一中學(xué)等九校2021屆高三3月聯(lián)考】的綻開式中含項(xiàng)的系數(shù)為-14，則______．【答案】【解析】依據(jù)乘法安排律得，，.，，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為時(shí)，，故.14．【河北省衡水市第十三中學(xué)2021屆高三質(zhì)檢〔四)】，記，則的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________．【答案】【解析】依據(jù)定積分的計(jì)算，可得，令，則，即的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.15．復(fù)數(shù)〔為虛數(shù)單位〕為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)的模為.的綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng),且,則.【答案】【解析】由題意設(shè),則,所以,即,故的模為.因的通項(xiàng)公式,故當(dāng)時(shí)存在常數(shù)項(xiàng),即,故時(shí)為常數(shù)項(xiàng),所以當(dāng)時(shí)沒有常數(shù)項(xiàng)符合題設(shè),故應(yīng)填.16.【遼寧省遼南協(xié)作校2021-2021學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬】二項(xiàng)式的綻開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把綻開式中全部的項(xiàng)重新排成一列，則無理項(xiàng)都互不相鄰的排列總數(shù)為__________．〔用數(shù)字作答〕【答案】72【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的綻開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以綻開式共5項(xiàng)，，其通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以無理項(xiàng)有2個(gè)，先把有理項(xiàng)排好有種，從4個(gè)空中取兩個(gè)排上無理項(xiàng)有種排法，所以共有種排法.17．的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為,是以為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,假設(shè)在區(qū)間內(nèi),函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【解析】令10-2r-3r=0,得r=2,∴常數(shù)項(xiàng)∴f〔x〕的周期為2,且是偶函數(shù),∵當(dāng)x∈[0,1]時(shí),時(shí),f〔x