愛(ài)提分中考復(fù)習(xí) 4一輪-圖形的性質(zhì)-第03講 相似三角形一(教師版)

高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王曉與 年級(jí)初一輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師衛(wèi)雅鑫上課時(shí)間2019-09-2411:30:00-12:30:00 知識(shí)圖譜相似三角形（一）知識(shí)精講一．平行線分線段成比例定理1．定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；2．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；二．相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)邊上的中線、高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．三．相似三角形的判定1．平行定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2．“”：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．3．“”：如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．4．“”：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．5．“”：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．方法點(diǎn)撥：相似模型1．“A”型如圖，，則有．2．“8”字型如圖，，則有．3．共線三等角相似模型如下圖，圖1圖2圖3重點(diǎn)是共線中的“線”上的三個(gè)角要保證相等，利用同角的補(bǔ)角相等近一步證明．4．旋轉(zhuǎn)相似模型共頂點(diǎn)相似的一般三角形模型：如圖，圖中，得到，，，，則有．5．射影定理：（1）定理：直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．射影定理模型如圖（1）所示：由圖（1）得，由，可得：由，可得：由，可得：（2）射影定理推廣：若不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立．如下圖，如上圖，當(dāng)時(shí)，，則有：，即：．6．角平分線類相似模型：常見(jiàn)題模型如下：方法點(diǎn)播：角平分線類相似問(wèn)題基本就這樣的四種模型，輔助線的做法也如圖中虛線所示，學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，涉及到角平分線和證明相似問(wèn)題就可以試著做這樣的輔助線，基本都可以解決．7．內(nèi)接矩形類相似模型：如圖，矩形是的內(nèi)接矩形，則有三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．相似三角形的性質(zhì)和判定；2．相似模型．二．重難點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)和判定；相似模型．相似三角形的性質(zhì)和判定例題例題1、如圖，在△ABC中，AC=10，AB=8，直線l分別與AB，AC交于M，N兩點(diǎn)，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，則AM+AN的長(zhǎng)為（）A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】∵l∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，，∴，∴，∵AC=10，AB=8，∴，∴AM+AN=12，例題2、如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交DC于點(diǎn)F，連接AF．設(shè)=k，下列結(jié)論：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）當(dāng)k=1時(shí)，△ABE∽△ADF，其中結(jié)論正確的是（）A.（1）（2）（3）B.（1）（3）C.（1）（2）D.（2）（3）【答案】C【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF；故（1）正確；（2）∵△ABE∽△ECF，∴，∵E是BC的中點(diǎn)，即BE=EC，∴，在Rt△ABE中，tan∠BAE=，在Rt△AEF中，tan∠EAF=，∴tan∠BAE=tan∠EAF，∴∠BAE=∠EAF，∴AE平分∠BAF；故（2）正確；（3）∵當(dāng)k=1時(shí)，即=1，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∵△ABE∽△ECF，∴，∴CF=CD，∴CF=CD，∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，∴△ABE與△ADF不相似；故（3）錯(cuò)誤．故選C．例題3、如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且．（1）求證：（2）若，，，求AF的長(zhǎng)．AABECDF【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD//BC，AB//CD，∴，，∵∴∴△ADF∽△DEC．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，，又∵，∴，在Rt△ADE中，，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，．例題4、閱讀下面材料：小騰遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，點(diǎn)D在線段BC上，，，，，求AC的長(zhǎng)．小騰發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，通過(guò)構(gòu)造，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決（如圖2）．請(qǐng)回答：的度數(shù)為_(kāi)________，AC的長(zhǎng)為_(kāi)________．參考小騰思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在四邊形ABCD中，，，，AC與BD交于點(diǎn)E，，，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）；3（2）【解析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)D作DF//AB交AC于點(diǎn)F，∴，∴∵，∴，∴∵∴，∵∴∵∴∴．隨練隨練1、如圖，點(diǎn)D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積的比為（）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：1【答案】B【解析】∵D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面積：△ABC的面積=（）2=1：4，∴△ADE的面積：四邊形BCED的面積=1：3；隨練2、如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=【答案】C【解析】∵∠A是公共角，∴當(dāng)∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時(shí)，△ADB∽△ABC（有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似）；故A與B正確；當(dāng)=時(shí)，△ADB∽△ABC（兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）；故D正確；當(dāng)=時(shí)，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，故C錯(cuò)誤．故選C．相似模型例題例題1、如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，M為BC上一動(dòng)點(diǎn)（M不與B、C重合），若EB=1，∠EMF=60°，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AC邊上．設(shè)BM=x，CF=y，則當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是____A.A選項(xiàng)B.B選項(xiàng)C.C選項(xiàng)D.D選項(xiàng)【答案】B【解析】∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BEM+∠BME=∠FMC+∠MFC=120°，∵∠EMF=60°，∴∠EMB+∠FMC=120°，∴∠BEM=∠CMF，∴△BEM∽△CMF，∴=設(shè)BM=x，CF=y，∴CM=4-x，∴=，整理得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，故選B．例題2、如圖在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上．若cm，cm，（1），求矩形PQMN的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)PN為多少時(shí)矩形PQMN的面積最大，最大值為多少？【答案】（1）矩形PQMN的周長(zhǎng)為14.4cm；（2）當(dāng)時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12．【解析】（1）由題意得；，∴又∵，cm，cm，∴，∴，則，∴矩形PQMN的周長(zhǎng)為14.4cm；（2）∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，，，∴△PAN∽△ABC，∵AD是高，∴，∴四邊形PQDE是矩形，，∴，，設(shè)，矩形PQMN的面積為S，則，，∴，，∴∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為12．∴當(dāng)時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12．例題3、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一邊OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一邊OD與AC交于點(diǎn)M．（1）如圖1，當(dāng)∠A=30°時(shí)，求證：MC2=AM2+BC2；（2）如圖2，當(dāng)∠A≠30°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若直線OD與直線AC相交于點(diǎn)M，直線OE與直線BC相交于點(diǎn)N，連接MN，則MN2=AM2+BN2成立嗎？答：____（填“成立”或“不成立”）．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）成立（3）成立【解析】（1）證明：如圖1，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵O為AB中點(diǎn)，∴OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）解：還成立，理由是：如圖2，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（3）成立．例題4、已知：如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=12cm，BD=16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形？（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時(shí)P，E兩點(diǎn)間的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）y=-t2+t+48（3）【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴=．即=，∴DF=t．∵四邊形APFD是平行四邊形，∴AP=DF．即10-t=t，解這個(gè)方程，得t=．∴當(dāng)t=s時(shí)，四邊形APFD是平行四邊形．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵S菱形ABCD=AB?CG=AC?BD，即10?CG=×12×16，∴CG=．∴S梯形APFD=（AP+DF）?CG=（10-t+t）?=t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF?QD=×t×t=t2．∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，若S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40，則-t2+t+48=×96，即5t2-8t-48=0，解這個(gè)方程，得t1=4，t2=-（舍去）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥EF于點(diǎn)M，PN⊥BD于點(diǎn)N，當(dāng)t=4時(shí)，∵△PBN∽△ABO，∴==，即==．∴PN=，BN=．∴EM=EQ-MQ=3-=．PM=BD-BN-DQ=16--4=．在Rt△PME中，PE===（cm）．例題5、在△ABC中，，在△AED中，，點(diǎn)D、E分別在CA、AB上．（1）如圖①，若，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是________；（2）若，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是_______；（3）若，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線段CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明(用含α的式子表示)．【答案】（1）（2）（3）【解析】該題考查的是相似三角形綜合題．（1）由已知，△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，所以有，，從而有,即；……1分（2）分別過(guò)點(diǎn)C、D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∵，，，∴，，，．∴．在Rt△ACM和Rt△ADN中，，∴．∴．又∵，∴△BAE∽△CAD．∴．∴；………………3分（3）．…………4分如圖，分別過(guò)點(diǎn)C、D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∵，，∴，，，．∴．………5分Rt△ACM和Rt△ADN中,，．∴．∴．………6分又∵，∴△BAE∽△CAD．∴∴．………7分隨練隨練1、如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），現(xiàn)將沿直線折疊，使點(diǎn)落下點(diǎn)處；作的平分線交于點(diǎn)．設(shè)，，那么關(guān)于的函數(shù)圖象大致應(yīng)為（）A.A選項(xiàng)B.B選項(xiàng)C.C選項(xiàng)D.D選項(xiàng)【答案】C【解析】由翻折的性質(zhì)得，，平分，，，，又，，，即，隨練2、如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2=AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）=【解析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB?AD；（2）由E為AB的中點(diǎn)，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值．（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴=，∴=．拓展拓展1、將一副三角板按如圖疊放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一個(gè)角為30°的直角三角形，則△AOB與△DCO的面積之比等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)BC=a，則AB=BC=a，CD=a∴AB：CD=1：∵AB∥CD∴△AOB∽△COD∴AB：CD=1：∴△AOB與△DCO的面積之比為1：3故選C．拓展2、如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【答案】C【解析】設(shè)AP=x，則有PB=AB﹣AP=7﹣x，當(dāng)△PDA∽△CPB時(shí)，，即，解得：x=1或x=6，當(dāng)△PDA∽△PCB時(shí)，，即，解得：x=，則這樣的點(diǎn)P共有3個(gè)，拓展3、如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB=2，BC=3，則△FCB′與△B′DG的面積之比為_(kāi)___A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D【解析】設(shè)BF=x，則CF=3-x，B'F=x，又點(diǎn)B′為CD的中點(diǎn)，∴B′C=1，在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3-x）2，解得：x=，即可得CF=3-=，∵∠DB′G+∠