愛提分中考復(fù)習(xí) 8二輪-圓綜合-第02講 圓綜合（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜圓綜合（二）知識(shí)精講圓的新定義問(wèn)題“圓的新定義問(wèn)題”，主要是指在問(wèn)題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已學(xué)的圓的知識(shí)、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問(wèn)題成為近年來(lái)中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點(diǎn).在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識(shí)解決問(wèn)題的能力．三點(diǎn)剖析考點(diǎn)：圓的新定義問(wèn)題．二．重難點(diǎn)：圓的新定義問(wèn)題．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．圓的新定義類型題要先結(jié)合題中的例子進(jìn)行理解，然后加入學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合圓的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分析和解答，注意到一般牽涉到范圍類型的題多數(shù)會(huì)考慮切線的性質(zhì)和特點(diǎn)．圓的新定義問(wèn)題例題例題1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P、Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，①在點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是__________．②點(diǎn)P在直線y=﹣x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B．若線段AB上的所有點(diǎn)都是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）①∵點(diǎn)P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1與⊙O的最小距離為，P2與⊙O的最小距離為1，OP3與⊙O的最小距離為，∴⊙O，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是P2，P3；故答案為：P2，P3；②根據(jù)定義分析，可得當(dāng)最小y=﹣x上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離在1到3之間時(shí)符合題意，∴設(shè)P（x，﹣x），當(dāng)OP=1時(shí)，由距離公式得，OP==1，∴x=，當(dāng)OP=3時(shí)，OP==3，解得：x=；∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：≤≤﹣，或≤x≤；（2）∵直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，∴A（1，0），B（0，1），如圖1，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)，CA=3，∴C（﹣2，0），如圖2，當(dāng)直線AB與小圓相切時(shí)，切點(diǎn)為D，∴CD=1，∵直線AB的解析式為y=﹣x+1，∴直線AB與x軸的夾角=45°，∴AC=，∴C（1﹣，0），∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣；如圖3，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)A，則AC=1，∴C（2，0），如圖4，當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)B，連接BC，此時(shí)，BC=3，∴OC==2，∴C（2，0）．∴圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：2≤xC≤2；綜上所述；圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．例題2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)的定義如下：若在射線CP上存在一點(diǎn)P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)，如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′的示意圖．特別地，當(dāng)點(diǎn)P′與圓心C重合時(shí)，規(guī)定CP′=0．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．①分別判斷點(diǎn)M（2，1），N（，0），T（1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②點(diǎn)P在直線y=﹣x+2上，若點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)P′存在，且點(diǎn)P′不在x軸上，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，若線段AB上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反稱點(diǎn)P′在⊙C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)．①點(diǎn)M（2，1）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)不存在；N（，0）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)N′（，0）；T（1，）關(guān)于⊙O的反稱點(diǎn)存在，反稱點(diǎn)T′（0，0）；②∵OP≤2r=2，OP2≤4，設(shè)P（x，﹣x+2），∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，∴2x2﹣4x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2．當(dāng)x=2時(shí)，P（2，0），P′（0，0）不符合題意；當(dāng)x=0時(shí)，P（0，2），P′（0，0）不符合題意；∴0＜x＜2；（2）∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴A（6，0），B（0，2），∴=，∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．設(shè)C（x，0）．①當(dāng)C在OA上時(shí)，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r=2，所以AC≤4，C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≥2（當(dāng)x=2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），H點(diǎn)的反稱點(diǎn)H′（2，0）在圓的內(nèi)部）；②當(dāng)C在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，C到線段AB的距離為C點(diǎn)到AB的垂線段AC長(zhǎng)，AC最大值為2，所以C點(diǎn)橫坐標(biāo)x≤8．綜上所述，圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍是2≤x≤8．例題3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，－1）.點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，直線，與直線分別交于M，N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，0），則稱此時(shí)的點(diǎn)為理想點(diǎn)．（1）請(qǐng)判斷P1（－4，0），P2（3，0）是否為理想點(diǎn)；（2）若直線上存在理想點(diǎn)，求理想點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（3）若動(dòng)直線上存在理想點(diǎn)，直接寫出的取值范圍.【答案】見解析【解析】（1）是理想點(diǎn),不是理想點(diǎn)（2）解法1:設(shè)與軸交于點(diǎn)，設(shè)理想點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則.∵，∴．令，得，即.同理．∵設(shè)是的中點(diǎn)，∴.，.在Rt中，，∴．解得，即理想點(diǎn)的縱坐標(biāo)為解法2:連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).∵∥軸，∴，，即.∵，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)直線與x軸交于E,與軸交于點(diǎn).∵，，∴,即，∴.∴，在Rt△CFG中，CF=2由勾股定理得.∵，∴.∴理想點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.(3)．隨練隨練1、定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”．理解：（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)C，使△ABC為“智慧三角形”（畫出點(diǎn)C的位置，保留作圖痕跡）；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=CD，試判斷△AEF是否為“智慧三角形”，并說(shuō)明理由；運(yùn)用：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)Q是直線y=3上的一點(diǎn)，若在⊙O上存在一點(diǎn)P，使得△OPQ為“智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】見解析【解析】（1）如圖1所示：（2）△AEF是否為“智慧三角形”，理由如下：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜邊AF上的中線等于AF的一半，∴△AEF為“智慧三角形”；（3）如圖3所示：由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，由勾股定理可得PQ=，PM=，由勾股定理可求得OM=，故點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣，），（，）．隨練2、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)（即對(duì)角之和為180°），則稱這個(gè)四邊形為圓滿四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于圓滿四邊形的有矩形，正方形．（2）問(wèn)題探究：如圖?，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠ADB=∠ACB，問(wèn)四邊形ABCD是圓滿四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．小明經(jīng)過(guò)思考后，判斷四邊形ABCD是圓滿四邊形，并提出了如下探究思路：先證明△AOD∽△BOC，得到比例式，再證明△AOB∽△DOC，得出對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，得出一組對(duì)角互補(bǔ)．請(qǐng)你幫助小明寫出解題過(guò)程．（3）問(wèn)題解決：請(qǐng)結(jié)合上述解題中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)完成下題．如圖?，四邊形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的長(zhǎng)．【答案】見解析【解析】（1）∵矩形和正方形的四個(gè)內(nèi)角都是90°，∴矩形和正方形的兩組對(duì)角的和為180°，∴矩形，正方形是圓滿四邊形．故答案是：矩形，正方形；（2）證明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠CBO，∴△AOD∽△BOC，∴，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．∴四邊形ABCD是圓滿四邊形．（3）如圖?，∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴四邊形ABCD是圓滿四邊形，由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．又∵BE=BD，∴∠BED=∠BDC=∠BAC，∴AC=EC．又∵∠BCE+∠DCB=180°，∴∠BCE=∠DAB，又∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴，設(shè)AC=EC=x，則BC=BD==4，∴EA=5+4=9，∴，解得，x=．即：CE=．隨練3、設(shè)點(diǎn)Q到圖形W上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)Q到圖形W的距離．例如正方形ABCD滿足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么點(diǎn)O（0，0）到正方形ABCD的距離為1．（1）如果⊙P是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓，那么點(diǎn)O（0，0）到⊙P的距離為4；（2）求點(diǎn)M（3，0）到直線y=2x+1的距離；（3）如果點(diǎn)N（0，a）到直線y=2x+1的距離為3，求a的值．【答案】見解析【解析】（1）OP==5，點(diǎn)O（0，0）到⊙P的距離為5﹣1=4；故答案為：4；（2）直線y=2x+1記為l，如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥l，垂足為點(diǎn)H，設(shè)l與x，y軸的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則E（﹣，0），∴EF=．∵△EOF∽△EHM，∴，即．∴；∴點(diǎn)M到直線y=2x+1的距離為．（3）N在F點(diǎn)的上邊，如圖2，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥l，垂足為點(diǎn)G，∵△EOF∽△NGF，∴，即，∴a=1+3；N在F點(diǎn)的下邊，同理可得a=1﹣3；故a=1±3．隨練4、如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，且CD=AB=8，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B），點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ=2PC，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于M點(diǎn)，點(diǎn)N是點(diǎn)A關(guān)于直線PM的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)NQ，設(shè)AP=x．（1）則AD=__________，AM=__________（AM用含x的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明∠MPQ=90°的理由；（3）若以NQ為直徑作⊙O，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，①當(dāng)⊙O與線段CD相切時(shí)，求x的值；②連結(jié)PN交⊙O于I，若NI=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有x的值．【答案】見解析【解析】（1）在Rt△ACD中，AC=BC=AB=4，CD=AB=8，∴AD===4．∵cosA=，∴，∴．故答案為4，x；（2）如圖1中，∵tan∠D==，tan∠PQC==，∴tan∠D=tan∠PQC，∴∠D=∠PQC，∴PQ∥AD，∵PM⊥AD，∴PM⊥PQ，∴∠MPQ=90°；（3）①當(dāng)P在線段AC上，即0＜x≤4時(shí)，∵⊙O與BC相切，∴NQ⊥CD，∵AP=x，∴CP=4﹣x，CQ=2PC=8﹣2x，DQ=8﹣（8﹣2x）=2x，DN=AD﹣2AM=4﹣x，∵cos∠D=，∴，∴x=．當(dāng)P在線段BC上，即4＜x＜8時(shí)，同理可得，∵CP=AP﹣AC=x﹣4，CQ=2CP=2x﹣8，DQ=CD﹣CQ=16﹣2x，∴，∴x=．綜上所述，x=或時(shí)，⊙O與CD相切．②當(dāng)P在AC上時(shí)，由題意PN=AP=x，易證△PQI≌△PQC，可得PI=PC=4﹣x，∵IN=1，∴PI+IN=PN，∴4﹣x+1=x，∴x=．當(dāng)P在線段BC上，設(shè)PN與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)E，作NF⊥AB于F，易知FN=x，PF=x，則CE=，PE=，∴EN=x﹣，EQ=（2x﹣8）﹣，EI=EN﹣IN=，在Rt△EQI中，cos∠IEQ=，∴，∴x=．隨練5、有兩個(gè)內(nèi)角分別是它們對(duì)角的一半的四邊形叫做半對(duì)角四邊形．（1）如圖1，在半對(duì)角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B與∠C的度數(shù)之和；（2）如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點(diǎn)D，使得BD=BO，∠OBA的平分線交OA于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，∠AFE=2∠EAF．求證：四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OB于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G，當(dāng)DH=BG時(shí)，求△BGH與△ABC的面積之比．【答案】見解析【解析】（1）在半對(duì)角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B與∠C的度數(shù)和為120°；（2）證明：∵在△BED和△BEO中∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，連接OC，設(shè)∠EAF=α，則∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形；（3）解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于M，∵四邊形DBCF是半對(duì)角四邊形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BCO=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB=∠BAC=60°，∵∠DBG=∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴，∵DH=BG，BG=2HG，∴DG=3HG，∴，∴．隨練6、若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，且其中一個(gè)等腰三角形的底角是另一個(gè)等腰三角形底角的2倍，我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的黃金線，這個(gè)四邊形叫做黃金四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=DC，對(duì)角線AC，BD都是黃金線，且AB＜AC，CD＜BD，求四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)凇袿上找出所有的點(diǎn)D，使四邊形ABCD的對(duì)角線AC是黃金線（要求：保留作圖痕跡）；（3）在黃金四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度數(shù)．【答案】見解析【解析】（1）∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC是黃金線，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＜AC，∴AB=BC或AC=BC，①當(dāng)AB=BC時(shí)，∵AB=AD=DC，∴AB=BC=AD=DC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，此種情況不符合黃金四邊形定義，②AC=BC，同理，BD=BC，∴AC=BD=BC，易證得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，且∠DCA＜∠DCB，∴∠DAC＜∠CAB又由黃金四邊形定義知：∠CAB=2∠DAC，設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∴∠DAB=∠ADC=3x°，而四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，答：四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為108°，72°，108°，72°．（2）由題意作圖為：（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，ⅰ）當(dāng)AC為黃金線時(shí)，∴△ACD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，AC＞BC，∴AD=CD或AD=AC，當(dāng)AD=CD時(shí)，則AB=BC=CD=AD，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，如圖3，此種情況不符合黃金四邊形定義，∴AD≠CD，當(dāng)AD=AC時(shí)，由黃金四邊形定義知，∠ACD=∠D=15°或60°，此時(shí)∠BAD=180°（不合題意，舍去）或90°（不合題意，舍去）；ⅱ）當(dāng)BD為黃金線時(shí)，∴△ABD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，①當(dāng)AB=AD時(shí)，△BCD≌△BAD，此種情況不符合黃金四邊形定義；②當(dāng)AB=BD時(shí)，AB=BD=BC=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°，∴∠A=30°或120°（不合題意，舍去），∴∠ABC=180°（不合題意，舍去），此種情況也不符合黃金四邊形定義；③當(dāng)AD=BD時(shí)，設(shè)∠CBD=∠CDB=y°，則∠ABD=∠BAD=（2y）°或，∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，當(dāng)∠ABD=2y°時(shí)，y=40，∴∠BAD=2y=80°；當(dāng)時(shí)，y=80°，∴；由于∠ADB=180°﹣40°﹣40°=100°，∠BDC=80°，∴∠ADB+∠BDC=180°，∴此種情況不能構(gòu)成四邊形，綜上所述：∠BAD的度數(shù)為80°．隨練7、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P和點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線l對(duì)稱，則稱點(diǎn)P2是點(diǎn)P關(guān)于y軸，直線l的二次對(duì)稱點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)A（﹣1，0）．①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸，直線l1：x=2的二次對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________；②若點(diǎn)C（﹣5，0）是點(diǎn)A關(guān)于y軸，直線l2：x=a的二次對(duì)稱點(diǎn)，則a的值為__________；③若點(diǎn)D（2，1）是點(diǎn)A關(guān)于y軸，直線l3的二次對(duì)稱點(diǎn)，則直線l3的表達(dá)式為__________；（2）如圖2，⊙O的半徑為1．若⊙O上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M'是點(diǎn)M關(guān)于y軸，直線l4：x=b的二次對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)M'在射線y=x（x≥0）上，b的取值范圍是__________；（3）E（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，⊙E的半徑為2，若⊙E上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N'是點(diǎn)N關(guān)于y軸，直線l5：y=x+1的二次對(duì)稱點(diǎn)，且點(diǎn)N'在y軸上，求t的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）．①如圖1中，點(diǎn)A（﹣1，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1（1，0），A1關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)B（3，0）．②如圖2中，由題意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C關(guān)于直線x=a對(duì)稱，∴a=﹣2．③如圖3中，∵A1（1，0），D（2，1），∴直線A1D的解析式為y=x﹣1，線段A1D的中垂線的解析式為y=﹣x+2，∴直線l3的解析式為y=﹣x+2．故答案分別為（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．（2）如圖4中，由題意b=MM′，由此可知，當(dāng)MM′的值最大時(shí)，可得b的最大值，∵直線OM′的解析式為y=x，∴∠MM′O=∠M′OD=30°，∵OM=1，易知，OM⊥OM′時(shí)，MM′的值最大，最大值為2，∴b的最大值為1，如圖5中，易知當(dāng)點(diǎn)M在x軸的正半軸上時(shí)，可得b的最小值，最小值為﹣，綜上所述，滿足條件的b取值范圍為﹣≤b≤1．故答案為﹣≤b≤1．（3）如圖6中，設(shè)點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為E1，E1關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為E′，易知當(dāng)點(diǎn)N在⊙E上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N′在⊙E′上運(yùn)動(dòng)，由此可見當(dāng)⊙E′與y軸相切或相交時(shí)滿足條件．連接E1E′交直線y=x+1于K，易知直線E1E′的解析式為y=﹣x﹣t，由解得，∴K（，），∵KE1=KE′，∴E′（，），當(dāng)⊙E′與y軸相切時(shí)，||=2，解得t=﹣4或+4，綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為﹣4≤t≤+4．拓展拓展1、閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式為：d=．例如：求點(diǎn)P0（0，0）到直線4x+3y﹣3=0的距離．解：由直線4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴點(diǎn)P0（0，0）到直線4x+3y﹣3=0的距離為d==．根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：點(diǎn)P1（3，4）到直線y=﹣x+的距離為4；問(wèn)題2：已知：⊙C是以點(diǎn)C（2，1）為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線y=﹣x+b相切，求實(shí)數(shù)b的值；問(wèn)題3：如圖，設(shè)點(diǎn)P為問(wèn)題2中⊙C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點(diǎn)，且AB=2，請(qǐng)求出S△ABP的最大值和最小值．【答案】見解析【解析】（1）點(diǎn)P1（3，4）到直線3x+4y﹣5=0的距離d==4，故答案為4．（2）∵⊙C與直線y=﹣x+b相切，⊙C的半徑為1，∴C（2，1）到直線3x+4y﹣b=0的距離d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）點(diǎn)C（2，1）到直線3x+4y+5=0的距離d==3，∴⊙C上點(diǎn)P到直線3x+4y+5=0的距離的最大值為4，最小值為2，∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．拓展2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)圖形W給出如下定義：若圖形W上的所有點(diǎn)都在以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的內(nèi)部或邊界上，在所有滿足條件的角中，其度數(shù)的最小值稱為圖形的坐標(biāo)角度，例如，下圖中的矩形ABCD的坐標(biāo)角度是90°．（1）已知點(diǎn)，，在點(diǎn)，，中，選一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)及點(diǎn)A，B為頂點(diǎn)的三角形的坐標(biāo)角度為90°，則滿足條件的點(diǎn)為；（2）將函數(shù)的圖象在直線下方的部分沿直線向上翻折，求所得圖形坐標(biāo)角度m的取值范圍；（3）記某個(gè)圓的半徑為r，圓心到原點(diǎn)的距離為l，且，若該圓的坐標(biāo)角度．直接寫出滿足條件的r的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）滿足條件的點(diǎn)為，（2）當(dāng)時(shí)，角的兩邊分別過(guò)點(diǎn)，，此時(shí)坐標(biāo)角度；當(dāng)時(shí)，角的兩邊分別過(guò)點(diǎn)，，此時(shí)坐標(biāo)角度，所以；（3）．拓展3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)和⊙C給出如下定義：若⊙O上存在兩個(gè)點(diǎn)，，使得，則稱為⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)，，，（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)M，N，，中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是；②過(guò)點(diǎn)作直線l交軸正半軸于點(diǎn)，使，若直線l上的點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若線段上的所有點(diǎn)都是半徑為的⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求半徑的取值范圍.[來(lái)源:xx*k.Com]【答案】見解析【解析】（1）①在點(diǎn)，，，中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是，；②∵過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，使，點(diǎn)∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2）設(shè)直線的表達(dá)式為，又直線過(guò)點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)∴直線的表達(dá)式為∵直線上的點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)∴直線上的點(diǎn)滿足的所有點(diǎn)都是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)∴當(dāng)時(shí)，，即∴，∴的取值范圍是（2）拓展4、設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R．對(duì)于一個(gè)點(diǎn)與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點(diǎn)叫做等邊三角形的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知點(diǎn)D（2，2），E（，1），F(xiàn)（﹣，﹣1）．在D，E，F(xiàn)中，是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是E、F；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°．①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)P（m，n），求m的取值范圍；②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當(dāng)b滿足什么條件時(shí)，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)；（直接寫出答案，不需過(guò)程）（3）如圖2，點(diǎn)Q為直線y=﹣1上一動(dòng)點(diǎn)，⊙Q的半徑為．當(dāng)Q從點(diǎn)（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．是否存在某一時(shí)刻t，使得⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見解析【解析】（1）由題意R=2，r=1，點(diǎn)O是△ABC的中心，∵OD=2，OE=2，OF=，∴點(diǎn)E、F是△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)故答案為E，F(xiàn)；（2）①解：如圖1中，由題意A（0，2），M（，0）．可求得直線AM的解析式為y=﹣x+2，經(jīng)驗(yàn)證E在直線AM上．因?yàn)镺E=OA=2，∠MAO=60°，所以△OAE為等邊三角形，所以AE邊上的高長(zhǎng)為．當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，≤OP≤2．所以當(dāng)點(diǎn)P在AE上時(shí)，點(diǎn)P都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)．所以0≤m≤；②如圖1﹣1中，設(shè)平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．當(dāng)OH=2時(shí)，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，∴cos30°=，∴OG=，∴滿足條件的b的值為﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如圖2中，設(shè)Q（m，﹣1）．由題意當(dāng)OQ=時(shí)，⊙Q上所有點(diǎn)都是等邊△ABC的中心關(guān)聯(lián)點(diǎn)，，解得m=，∴t=．拓展5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），對(duì)于△ABC的橫長(zhǎng)、縱長(zhǎng)、縱橫比給出如下定義：將|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，稱為△ABC的橫長(zhǎng)，記作Dx；將|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，稱為△ABC的縱長(zhǎng)，記作Dy；將叫做△ABC的縱橫比，記作λ=．例如：如圖1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），則Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==．（1）如圖2，點(diǎn)A（1，0），①點(diǎn)B（2，1），E（﹣1，2），則△AOB的縱橫比λ1=△AOE的縱橫比λ2=1；②點(diǎn)F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；③點(diǎn)M是雙曲線y=上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△AOM的縱橫比為1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）如圖3，點(diǎn)A（1，0），⊙P以P（0，）為圓心，1為半徑，點(diǎn)N是⊙P上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出△AON的縱橫比λ的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）由題意△AOB的縱橫比λ1=，△AOE的縱橫比λ2==1，故答案為，1．②由點(diǎn)F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，則F（1，﹣1）（在第四象限的角平分線上即可）．如圖設(shè)M（xM，yM）．a(chǎn)、當(dāng)0＜xM≤1時(shí)，點(diǎn)M在y=上，則yM＞0，此時(shí)△AOM的橫長(zhǎng)Dx=1，△AOM的縱長(zhǎng)為Dy=yM，∵△AOM的縱橫比為1，∴Dy=1，∴yM=1或﹣1（舍棄），∴xM=，∴M（，1）．b、當(dāng)xM＞1時(shí)，點(diǎn)M在y=上，則yM＞0，此時(shí)△AOM的橫長(zhǎng)Dx=xM，△AOM的縱長(zhǎng)為Dy=yM，∵△AOM的縱橫比為1，∴Dy=Dx，∴xM=yM∴yM=±（舍棄），c、當(dāng)xM＜0時(shí)，點(diǎn)M在y=上，則yM＜0，此時(shí)△AOM的橫長(zhǎng)Dx=1﹣xM，△AOM的縱長(zhǎng)為Dy=﹣yM，∵△AOM的縱橫比為1，∴1﹣xM=﹣yM，∴xM=或（舍棄），∴yM=﹣，∴M′（，﹣），綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為（，1）或（，﹣）．（2）如圖3中，當(dāng)N（0，1+）時(shí)，可得△AON的縱橫比λ的最大值==1+，當(dāng)AN′與⊙P相切時(shí)，切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得△AON的縱橫比λ的最小值，∵OP=，OA=1，∴PA=2．AN′==，∴tan∠APN′=，∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．∴∠HPN′=30°，∴N′H=，PH=，此時(shí)△AON的縱橫比λ=，∴≤λ≤1+．拓展6、平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q為坐標(biāo)系上任意一點(diǎn)，某圖形上的所有點(diǎn)在∠Q的內(nèi)部（含角的邊），這時(shí)我們把∠Q的最小角叫做該圖形的視角．如圖1，矩形ABCD，作射線OA，OB，則稱∠AOB為矩形ABCD的視角．（1）如圖1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接寫出視角∠AOB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，在射線CB上有一點(diǎn)Q，使得矩形ABCD的視角∠AQB=60°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，⊙P的半徑為1，點(diǎn)P（1，），點(diǎn)Q在x軸上，且⊙P的視角∠EQF的度數(shù)大于60°，若Q（a，0），求a的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）如圖1中，設(shè)AB交y軸于E．∵A（﹣，1），B（，1），∴OE⊥AB，EA=EB，∴OA=OB，在Rt△OAE中，tan∠OAE=，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°．（2）如圖2中，連結(jié)AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結(jié)AQ．∵AB=2，BC=2，∴AC=4，∴∠ACQ=60°．∴△ACQ為等邊三角形，即∠AQC=60°，∵CQ=AC=4，∴Q（，﹣1）．（3）如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)⊙P與y軸相切于點(diǎn)E，OF是⊙P的切線，∵P（1，），∴PE=1，OE=，∴tan∠POE=，∴∠POE=∠POF=30°∴∠EQF=60°，此時(shí)Q（0，0），如圖4，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)FQ⊥x軸時(shí)，∠EQF=60°，∴Q（2，0），∴a的取值范圍是0＜a＜2．拓展7、我們規(guī)定：平面內(nèi)點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最小距離d，點(diǎn)A到圖形G上各個(gè)點(diǎn)的距離的最大值稱為該點(diǎn)到這個(gè)圖形的最大距離D，定義點(diǎn)A到圖形G的距離跨度為R=D﹣d．（1）①如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形G1為以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點(diǎn)到圖形G1的距離跨度：A（1，0）的距離跨度__________；B（﹣，）的距離跨度__________；C（﹣3，﹣2）的距離跨__________；②根據(jù)①中的結(jié)果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點(diǎn)組成的圖形的形狀是__________．（2）如圖2，在平面直角坐