愛提分中考復習 8二輪-圓綜合-第02講 圓綜合（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數學教師輔導講義[教師版]學員姓名王李 年級輔導科目初中數學學科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜圓綜合（二）知識精講圓的新定義問題“圓的新定義問題”，主要是指在問題中定義了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已學的圓的知識、能力進行理解，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問題成為近年來中考數學壓軸題的新亮點.在復習中應重視學生應用新的知識解決問題的能力．三點剖析考點：圓的新定義問題．二．重難點：圓的新定義問題．三．易錯點：1．圓的新定義類型題要先結合題中的例子進行理解，然后加入學過的知識點結合圓的性質來進行分析和解答，注意到一般牽涉到范圍類型的題多數會考慮切線的性質和特點．圓的新定義問題例題例題1、在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關聯(lián)點．（1）當⊙O的半徑為2時，①在點P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關聯(lián)點是__________．②點P在直線y=﹣x上，若P為⊙O的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍．（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B．若線段AB上的所有點都是⊙C的關聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）①∵點P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1與⊙O的最小距離為，P2與⊙O的最小距離為1，OP3與⊙O的最小距離為，∴⊙O，⊙O的關聯(lián)點是P2，P3；故答案為：P2，P3；②根據定義分析，可得當最小y=﹣x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意，∴設P（x，﹣x），當OP=1時，由距離公式得，OP==1，∴x=，當OP=3時，OP==3，解得：x=；∴點P的橫坐標的取值范圍為：≤≤﹣，或≤x≤；（2）∵直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B，∴A（1，0），B（0，1），如圖1，當圓過點A時，此時，CA=3，∴C（﹣2，0），如圖2，當直線AB與小圓相切時，切點為D，∴CD=1，∵直線AB的解析式為y=﹣x+1，∴直線AB與x軸的夾角=45°，∴AC=，∴C（1﹣，0），∴圓心C的橫坐標的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣；如圖3，當圓過點A，則AC=1，∴C（2，0），如圖4，當圓過點B，連接BC，此時，BC=3，∴OC==2，∴C（2，0）．∴圓心C的橫坐標的取值范圍為：2≤xC≤2；綜上所述；圓心C的橫坐標的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．例題2、在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點P關于⊙C的反稱點，如圖為點P及其關于⊙C的反稱點P′的示意圖．特別地，當點P′與圓心C重合時，規(guī)定CP′=0．（1）當⊙O的半徑為1時．①分別判斷點M（2，1），N（，0），T（1，）關于⊙O的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；②點P在直線y=﹣x+2上，若點P關于⊙O的反稱點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍；（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的反稱點P′在⊙C的內部，求圓心C的橫坐標的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）當⊙O的半徑為1時．①點M（2，1）關于⊙O的反稱點不存在；N（，0）關于⊙O的反稱點存在，反稱點N′（，0）；T（1，）關于⊙O的反稱點存在，反稱點T′（0，0）；②∵OP≤2r=2，OP2≤4，設P（x，﹣x+2），∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，∴2x2﹣4x≤0，x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2．當x=2時，P（2，0），P′（0，0）不符合題意；當x=0時，P（0，2），P′（0，0）不符合題意；∴0＜x＜2；（2）∵直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，∴A（6，0），B（0，2），∴=，∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．設C（x，0）．①當C在OA上時，作CH⊥AB于H，則CH≤CP≤2r=2，所以AC≤4，C點橫坐標x≥2（當x=2時，C點坐標（2，0），H點的反稱點H′（2，0）在圓的內部）；②當C在A點右側時，C到線段AB的距離為C點到AB的垂線段AC長，AC最大值為2，所以C點橫坐標x≤8．綜上所述，圓心C的橫坐標的取值范圍是2≤x≤8．例題3、如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），B（0，－1）.點是平面內任意一點，直線，與直線分別交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓恰好經過點C（2，0），則稱此時的點為理想點．（1）請判斷P1（－4，0），P2（3，0）是否為理想點；（2）若直線上存在理想點，求理想點的縱坐標；（3）若動直線上存在理想點，直接寫出的取值范圍.【答案】見解析【解析】（1）是理想點,不是理想點（2）解法1:設與軸交于點，設理想點的縱坐標為，則.∵，∴．令，得，即.同理．∵設是的中點，∴.，.在Rt中，，∴．解得，即理想點的縱坐標為解法2:連接并延長交于點.∵∥軸，∴，，即.∵，∴，即點是的中點.設直線與x軸交于E,與軸交于點.∵，，∴,即，∴.∴，在Rt△CFG中，CF=2由勾股定理得.∵，∴.∴理想點的縱坐標為.(3)．隨練隨練1、定義：數學活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個三角形為“智慧三角形”．理解：（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點，請在圓上找出滿足條件的點C，使△ABC為“智慧三角形”（畫出點C的位置，保留作圖痕跡）；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF=CD，試判斷△AEF是否為“智慧三角形”，并說明理由；運用：（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，點Q是直線y=3上的一點，若在⊙O上存在一點P，使得△OPQ為“智慧三角形”，當其面積取得最小值時，直接寫出此時點P的坐標．【答案】見解析【解析】（1）如圖1所示：（2）△AEF是否為“智慧三角形”，理由如下：設正方形的邊長為4a，∵E是DC的中點，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜邊AF上的中線等于AF的一半，∴△AEF為“智慧三角形”；（3）如圖3所示：由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據題意可得一條直角邊為1，當斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，由勾股定理可得PQ=，PM=，由勾股定理可求得OM=，故點P的坐標（﹣，），（，）．隨練2、我們給出如下定義：若一個四邊形有一組對角互補（即對角之和為180°），則稱這個四邊形為圓滿四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認為屬于圓滿四邊形的有矩形，正方形．（2）問題探究：如圖?，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠ADB=∠ACB，問四邊形ABCD是圓滿四邊形嗎？請說明理由．小明經過思考后，判斷四邊形ABCD是圓滿四邊形，并提出了如下探究思路：先證明△AOD∽△BOC，得到比例式，再證明△AOB∽△DOC，得出對應角相等，根據四邊形內角和定理，得出一組對角互補．請你幫助小明寫出解題過程．（3）問題解決：請結合上述解題中所積累的經驗和知識完成下題．如圖?，四邊形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB與DC的延長線相交于點E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的長．【答案】見解析【解析】（1）∵矩形和正方形的四個內角都是90°，∴矩形和正方形的兩組對角的和為180°，∴矩形，正方形是圓滿四邊形．故答案是：矩形，正方形；（2）證明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠CBO，∴△AOD∽△BOC，∴，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．∴四邊形ABCD是圓滿四邊形．（3）如圖?，∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴四邊形ABCD是圓滿四邊形，由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．又∵BE=BD，∴∠BED=∠BDC=∠BAC，∴AC=EC．又∵∠BCE+∠DCB=180°，∴∠BCE=∠DAB，又∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴，設AC=EC=x，則BC=BD==4，∴EA=5+4=9，∴，解得，x=．即：CE=．隨練3、設點Q到圖形W上每一個點的距離的最小值稱為點Q到圖形W的距離．例如正方形ABCD滿足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么點O（0，0）到正方形ABCD的距離為1．（1）如果⊙P是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓，那么點O（0，0）到⊙P的距離為4；（2）求點M（3，0）到直線y=2x+1的距離；（3）如果點N（0，a）到直線y=2x+1的距離為3，求a的值．【答案】見解析【解析】（1）OP==5，點O（0，0）到⊙P的距離為5﹣1=4；故答案為：4；（2）直線y=2x+1記為l，如圖1，過點M作MH⊥l，垂足為點H，設l與x，y軸的交點分別為E，F(xiàn)，則E（﹣，0），∴EF=．∵△EOF∽△EHM，∴，即．∴；∴點M到直線y=2x+1的距離為．（3）N在F點的上邊，如圖2，過點N作NG⊥l，垂足為點G，∵△EOF∽△NGF，∴，即，∴a=1+3；N在F點的下邊，同理可得a=1﹣3；故a=1±3．隨練4、如圖，點C是線段AB的中點，過點C作CD⊥AB，且CD=AB=8，點P是線段AB上一動點（不包括端點A，B），點Q是線段CD上的動點，CQ=2PC，過點P作PM⊥AD于M點，點N是點A關于直線PM的對稱點，連結NQ，設AP=x．（1）則AD=__________，AM=__________（AM用含x的代數式表示）；（2）當點P在線段AC上時，請說明∠MPQ=90°的理由；（3）若以NQ為直徑作⊙O，在點P的整個運動過程中，①當⊙O與線段CD相切時，求x的值；②連結PN交⊙O于I，若NI=1時，請直接寫出所有x的值．【答案】見解析【解析】（1）在Rt△ACD中，AC=BC=AB=4，CD=AB=8，∴AD===4．∵cosA=，∴，∴．故答案為4，x；（2）如圖1中，∵tan∠D==，tan∠PQC==，∴tan∠D=tan∠PQC，∴∠D=∠PQC，∴PQ∥AD，∵PM⊥AD，∴PM⊥PQ，∴∠MPQ=90°；（3）①當P在線段AC上，即0＜x≤4時，∵⊙O與BC相切，∴NQ⊥CD，∵AP=x，∴CP=4﹣x，CQ=2PC=8﹣2x，DQ=8﹣（8﹣2x）=2x，DN=AD﹣2AM=4﹣x，∵cos∠D=，∴，∴x=．當P在線段BC上，即4＜x＜8時，同理可得，∵CP=AP﹣AC=x﹣4，CQ=2CP=2x﹣8，DQ=CD﹣CQ=16﹣2x，∴，∴x=．綜上所述，x=或時，⊙O與CD相切．②當P在AC上時，由題意PN=AP=x，易證△PQI≌△PQC，可得PI=PC=4﹣x，∵IN=1，∴PI+IN=PN，∴4﹣x+1=x，∴x=．當P在線段BC上，設PN與CD的交點為點E，作NF⊥AB于F，易知FN=x，PF=x，則CE=，PE=，∴EN=x﹣，EQ=（2x﹣8）﹣，EI=EN﹣IN=，在Rt△EQI中，cos∠IEQ=，∴，∴x=．隨練5、有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，求∠B與∠C的度數之和；（2）如圖2，銳角△ABC內接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD=BO，∠OBA的平分線交OA于點E，連結DE并延長交AC于點F，∠AFE=2∠EAF．求證：四邊形DBCF是半對角四邊形；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G，當DH=BG時，求△BGH與△ABC的面積之比．【答案】見解析【解析】（1）在半對角四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴3∠B+3∠C=360°，∴∠B+∠C=120°，即∠B與∠C的度數和為120°；（2）證明：∵在△BED和△BEO中∴△BED≌△BEO，∴∠BDE=∠BOE，∵∠BCF=∠BOE，∴∠BCF=∠BDE，連接OC，設∠EAF=α，則∠AFE=2∠EAF=2α，∴∠EFC=180°﹣∠AFE=180°﹣2α，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，∴∠AOC=180°﹣∠OAC﹣∠OCA=180°﹣2α，∴∠ABC=∠AOC=∠EFC，∴四邊形DBCF是半對角四邊形；（3）解：過點O作OM⊥BC于M，∵四邊形DBCF是半對角四邊形，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=60°，∴∠BCO=2∠BAC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴BC=2BM=BO=BD，∵DG⊥OB，∴∠HGB=∠BAC=60°，∵∠DBG=∠CBA，∴△DBG∽△CBA，∴，∵DH=BG，BG=2HG，∴DG=3HG，∴，∴．隨練6、若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個等腰三角形底角的2倍，我們把這條對角線叫做這個四邊形的黃金線，這個四邊形叫做黃金四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=DC，對角線AC，BD都是黃金線，且AB＜AC，CD＜BD，求四邊形ABCD各個內角的度數；（2）如圖2，點B是弧AC的中點，請在⊙O上找出所有的點D，使四邊形ABCD的對角線AC是黃金線（要求：保留作圖痕跡）；（3）在黃金四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度數．【答案】見解析【解析】（1）∵在四邊形ABCD中，對角線AC是黃金線，∴△ABC是等腰三角形，∵AB＜AC，∴AB=BC或AC=BC，①當AB=BC時，∵AB=AD=DC，∴AB=BC=AD=DC，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，此種情況不符合黃金四邊形定義，②AC=BC，同理，BD=BC，∴AC=BD=BC，易證得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，且∠DCA＜∠DCB，∴∠DAC＜∠CAB又由黃金四邊形定義知：∠CAB=2∠DAC，設∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，∴∠DAB=∠ADC=3x°，而四邊形的內角和為360°，∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，答：四邊形ABCD各個內角的度數分別為108°，72°，108°，72°．（2）由題意作圖為：（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，?。┊擜C為黃金線時，∴△ACD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，AC＞BC，∴AD=CD或AD=AC，當AD=CD時，則AB=BC=CD=AD，又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC，如圖3，此種情況不符合黃金四邊形定義，∴AD≠CD，當AD=AC時，由黃金四邊形定義知，∠ACD=∠D=15°或60°，此時∠BAD=180°（不合題意，舍去）或90°（不合題意，舍去）；ⅱ）當BD為黃金線時，∴△ABD是等腰三角形，∵AB=BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，①當AB=AD時，△BCD≌△BAD，此種情況不符合黃金四邊形定義；②當AB=BD時，AB=BD=BC=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°，∴∠A=30°或120°（不合題意，舍去），∴∠ABC=180°（不合題意，舍去），此種情況也不符合黃金四邊形定義；③當AD=BD時，設∠CBD=∠CDB=y°，則∠ABD=∠BAD=（2y）°或，∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，當∠ABD=2y°時，y=40，∴∠BAD=2y=80°；當時，y=80°，∴；由于∠ADB=180°﹣40°﹣40°=100°，∠BDC=80°，∴∠ADB+∠BDC=180°，∴此種情況不能構成四邊形，綜上所述：∠BAD的度數為80°．隨練7、在平面直角坐標系xOy中，若點P和點P1關于y軸對稱，點P1和點P2關于直線l對稱，則稱點P2是點P關于y軸，直線l的二次對稱點．（1）如圖1，點A（﹣1，0）．①若點B是點A關于y軸，直線l1：x=2的二次對稱點，則點B的坐標為__________；②若點C（﹣5，0）是點A關于y軸，直線l2：x=a的二次對稱點，則a的值為__________；③若點D（2，1）是點A關于y軸，直線l3的二次對稱點，則直線l3的表達式為__________；（2）如圖2，⊙O的半徑為1．若⊙O上存在點M，使得點M'是點M關于y軸，直線l4：x=b的二次對稱點，且點M'在射線y=x（x≥0）上，b的取值范圍是__________；（3）E（t，0）是x軸上的動點，⊙E的半徑為2，若⊙E上存在點N，使得點N'是點N關于y軸，直線l5：y=x+1的二次對稱點，且點N'在y軸上，求t的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）．①如圖1中，點A（﹣1，0）關于y軸的對稱點A1（1，0），A1關于直線x=2的對稱點B（3，0）．②如圖2中，由題意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C關于直線x=a對稱，∴a=﹣2．③如圖3中，∵A1（1，0），D（2，1），∴直線A1D的解析式為y=x﹣1，線段A1D的中垂線的解析式為y=﹣x+2，∴直線l3的解析式為y=﹣x+2．故答案分別為（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．（2）如圖4中，由題意b=MM′，由此可知，當MM′的值最大時，可得b的最大值，∵直線OM′的解析式為y=x，∴∠MM′O=∠M′OD=30°，∵OM=1，易知，OM⊥OM′時，MM′的值最大，最大值為2，∴b的最大值為1，如圖5中，易知當點M在x軸的正半軸上時，可得b的最小值，最小值為﹣，綜上所述，滿足條件的b取值范圍為﹣≤b≤1．故答案為﹣≤b≤1．（3）如圖6中，設點E關于y軸的對稱點為E1，E1關于直線y=x+1的對稱點為E′，易知當點N在⊙E上運動時，點N′在⊙E′上運動，由此可見當⊙E′與y軸相切或相交時滿足條件．連接E1E′交直線y=x+1于K，易知直線E1E′的解析式為y=﹣x﹣t，由解得，∴K（，），∵KE1=KE′，∴E′（，），當⊙E′與y軸相切時，||=2，解得t=﹣4或+4，綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為﹣4≤t≤+4．拓展拓展1、閱讀材料：在平面直角坐標系xOy中，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式為：d=．例如：求點P0（0，0）到直線4x+3y﹣3=0的距離．解：由直線4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴點P0（0，0）到直線4x+3y﹣3=0的距離為d==．根據以上材料，解決下列問題：問題1：點P1（3，4）到直線y=﹣x+的距離為4；問題2：已知：⊙C是以點C（2，1）為圓心，1為半徑的圓，⊙C與直線y=﹣x+b相切，求實數b的值；問題3：如圖，設點P為問題2中⊙C上的任意一點，點A，B為直線3x+4y+5=0上的兩點，且AB=2，請求出S△ABP的最大值和最小值．【答案】見解析【解析】（1）點P1（3，4）到直線3x+4y﹣5=0的距離d==4，故答案為4．（2）∵⊙C與直線y=﹣x+b相切，⊙C的半徑為1，∴C（2，1）到直線3x+4y﹣b=0的距離d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）點C（2，1）到直線3x+4y+5=0的距離d==3，∴⊙C上點P到直線3x+4y+5=0的距離的最大值為4，最小值為2，∴S△ABP的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．拓展2、在平面直角坐標系xOy中，對圖形W給出如下定義：若圖形W上的所有點都在以原點為頂點的角的內部或邊界上，在所有滿足條件的角中，其度數的最小值稱為圖形的坐標角度，例如，下圖中的矩形ABCD的坐標角度是90°．（1）已知點，，在點，，中，選一點，使得以該點及點A，B為頂點的三角形的坐標角度為90°，則滿足條件的點為；（2）將函數的圖象在直線下方的部分沿直線向上翻折，求所得圖形坐標角度m的取值范圍；（3）記某個圓的半徑為r，圓心到原點的距離為l，且，若該圓的坐標角度．直接寫出滿足條件的r的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）滿足條件的點為，（2）當時，角的兩邊分別過點，，此時坐標角度；當時，角的兩邊分別過點，，此時坐標角度，所以；（3）．拓展3、在平面直角坐標系xOy中，對于點和⊙C給出如下定義：若⊙O上存在兩個點，，使得，則稱為⊙C的關聯(lián)點.已知點，，，（1）當⊙O的半徑為1時，①在點M，N，，中，⊙O的關聯(lián)點是；②過點作直線l交軸正半軸于點，使，若直線l上的點是⊙O的關聯(lián)點，求的取值范圍；（2）若線段上的所有點都是半徑為的⊙O的關聯(lián)點，求半徑的取值范圍.[來源:xx*k.Com]【答案】見解析【解析】（1）①在點，，，中，⊙O的關聯(lián)點是，；②∵過點作直線交于點，使，點∴，∴點的坐標是（0，2）設直線的表達式為，又直線過點點和點∴直線的表達式為∵直線上的點是⊙O的關聯(lián)點∴直線上的點滿足的所有點都是⊙O的關聯(lián)點∴當時，，即∴，∴的取值范圍是（2）拓展4、設平面內一點到等邊三角形中心的距離為d，等邊三角形的內切圓半徑為r，外接圓半徑為R．對于一個點與等邊三角形，給出如下定義：滿足r≤d≤R的點叫做等邊三角形的中心關聯(lián)點．在平面直角坐標系xOy中，等邊△ABC的三個頂點的坐標分別為A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知點D（2，2），E（，1），F(xiàn)（﹣，﹣1）．在D，E，F(xiàn)中，是等邊△ABC的中心關聯(lián)點的是E、F；（2）如圖1，過點A作直線交x軸正半軸于M，使∠AMO=30°．①若線段AM上存在等邊△ABC的中心關聯(lián)點P（m，n），求m的取值范圍；②將直線AM向下平移得到直線y=kx+b，當b滿足什么條件時，直線y=kx+b上總存在等邊△ABC的中心關聯(lián)點；（直接寫出答案，不需過程）（3）如圖2，點Q為直線y=﹣1上一動點，⊙Q的半徑為．當Q從點（﹣4，﹣1）出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右移動，運動時間為t秒．是否存在某一時刻t，使得⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點？如果存在，請直接寫出所有符合題意的t的值；如果不存在，請說明理由．【答案】見解析【解析】（1）由題意R=2，r=1，點O是△ABC的中心，∵OD=2，OE=2，OF=，∴點E、F是△ABC的中心關聯(lián)點故答案為E，F(xiàn)；（2）①解：如圖1中，由題意A（0，2），M（，0）．可求得直線AM的解析式為y=﹣x+2，經驗證E在直線AM上．因為OE=OA=2，∠MAO=60°，所以△OAE為等邊三角形，所以AE邊上的高長為．當點P在AE上時，≤OP≤2．所以當點P在AE上時，點P都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點．所以0≤m≤；②如圖1﹣1中，設平移后的直線交y軸于G，作這條直線的垂線垂足為H．當OH=2時，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，∴cos30°=，∴OG=，∴滿足條件的b的值為﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如圖2中，設Q（m，﹣1）．由題意當OQ=時，⊙Q上所有點都是等邊△ABC的中心關聯(lián)點，，解得m=，∴t=．拓展5、在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點坐標分別是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），對于△ABC的橫長、縱長、縱橫比給出如下定義：將|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，稱為△ABC的橫長，記作Dx；將|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，稱為△ABC的縱長，記作Dy；將叫做△ABC的縱橫比，記作λ=．例如：如圖1，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），則Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==．（1）如圖2，點A（1，0），①點B（2，1），E（﹣1，2），則△AOB的縱橫比λ1=△AOE的縱橫比λ2=1；②點F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，寫出一個符合條件的點F的坐標；③點M是雙曲線y=上一個動點，若△AOM的縱橫比為1，求點M的坐標；（2）如圖3，點A（1，0），⊙P以P（0，）為圓心，1為半徑，點N是⊙P上一個動點，直接寫出△AON的縱橫比λ的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）由題意△AOB的縱橫比λ1=，△AOE的縱橫比λ2==1，故答案為，1．②由點F在第四象限，若△AOF的縱橫比為1，則F（1，﹣1）（在第四象限的角平分線上即可）．如圖設M（xM，yM）．a、當0＜xM≤1時，點M在y=上，則yM＞0，此時△AOM的橫長Dx=1，△AOM的縱長為Dy=yM，∵△AOM的縱橫比為1，∴Dy=1，∴yM=1或﹣1（舍棄），∴xM=，∴M（，1）．b、當xM＞1時，點M在y=上，則yM＞0，此時△AOM的橫長Dx=xM，△AOM的縱長為Dy=yM，∵△AOM的縱橫比為1，∴Dy=Dx，∴xM=yM∴yM=±（舍棄），c、當xM＜0時，點M在y=上，則yM＜0，此時△AOM的橫長Dx=1﹣xM，△AOM的縱長為Dy=﹣yM，∵△AOM的縱橫比為1，∴1﹣xM=﹣yM，∴xM=或（舍棄），∴yM=﹣，∴M′（，﹣），綜上所述，點M坐標為（，1）或（，﹣）．（2）如圖3中，當N（0，1+）時，可得△AON的縱橫比λ的最大值==1+，當AN′與⊙P相切時，切點在第二象限時，可得△AON的縱橫比λ的最小值，∵OP=，OA=1，∴PA=2．AN′==，∴tan∠APN′=，∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．∴∠HPN′=30°，∴N′H=，PH=，此時△AON的縱橫比λ=，∴≤λ≤1+．拓展6、平面直角坐標系中，點Q為坐標系上任意一點，某圖形上的所有點在∠Q的內部（含角的邊），這時我們把∠Q的最小角叫做該圖形的視角．如圖1，矩形ABCD，作射線OA，OB，則稱∠AOB為矩形ABCD的視角．（1）如圖1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接寫出視角∠AOB的度數；（2）在（1）的條件下，在射線CB上有一點Q，使得矩形ABCD的視角∠AQB=60°，求點Q的坐標；（3）如圖2，⊙P的半徑為1，點P（1，），點Q在x軸上，且⊙P的視角∠EQF的度數大于60°，若Q（a，0），求a的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）如圖1中，設AB交y軸于E．∵A（﹣，1），B（，1），∴OE⊥AB，EA=EB，∴OA=OB，在Rt△OAE中，tan∠OAE=，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°．（2）如圖2中，連結AC，在射線CB上截取CQ=CA，連結AQ．∵AB=2，BC=2，∴AC=4，∴∠ACQ=60°．∴△ACQ為等邊三角形，即∠AQC=60°，∵CQ=AC=4，∴Q（，﹣1）．（3）如圖3中，當點Q與點O重合時，設⊙P與y軸相切于點E，OF是⊙P的切線，∵P（1，），∴PE=1，OE=，∴tan∠POE=，∴∠POE=∠POF=30°∴∠EQF=60°，此時Q（0，0），如圖4，根據對稱性可知，當FQ⊥x軸時，∠EQF=60°，∴Q（2，0），∴a的取值范圍是0＜a＜2．拓展7、我們規(guī)定：平面內點A到圖形G上各個點的距離的最小值稱為該點到這個圖形的最小距離d，點A到圖形G上各個點的距離的最大值稱為該點到這個圖形的最大距離D，定義點A到圖形G的距離跨度為R=D﹣d．（1）①如圖1，在平面直角坐標系xOy中，圖形G1為以O為圓心，2為半徑的圓，直接寫出以下各點到圖形G1的距離跨度：A（1，0）的距離跨度__________；B（﹣，）的距離跨度__________；C（﹣3，﹣2）的距離跨__________；②根據①中的結果，猜想到圖形G1的距離跨度為2的所有的點組成的圖形的形狀是__________．（2）如圖2，在平面直角坐