愛(ài)提分中考復(fù)習(xí) 16三輪-二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)-第02講 二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（二）(教師版)

高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（二）知識(shí)精講面積問(wèn)題 在直角坐標(biāo)系中，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標(biāo)軸平行，可以直接運(yùn)用三角形面積公式求解三角形面積．如果三角形的三條邊與坐標(biāo)軸都不平行，則通常有以下方法：1．如圖(1)，過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)作與軸或軸的平行線，將原三角形分割成兩個(gè)滿足一條邊與坐標(biāo)軸平行的三角形，分別求出面積后相加：

；

2．如圖(2)，首先計(jì)算三角形的外接矩形的面積，然后再減去矩形內(nèi)其他各塊面積：

3．如果只是求解面積最大值或者此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以通過(guò)平移直線，當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)三角形的面積最大，此時(shí)可以直接求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用上述兩種方法求出面積的最大值．

二次函數(shù)與面積綜合問(wèn)題，主要由動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，動(dòng)圖形產(chǎn)生的變化圖形的面積的最值問(wèn)題．特殊問(wèn)題二次函數(shù)與特殊圖形綜合問(wèn)題（含圓、線段、角等），線段的數(shù)量和位置關(guān)系，角的數(shù)量關(guān)系等．三點(diǎn)剖析考點(diǎn)：面積問(wèn)題，特殊問(wèn)題．二．重難點(diǎn)：面積問(wèn)題，特殊問(wèn)題．三．易錯(cuò)點(diǎn)：1．在用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度，進(jìn)而表示圖形面積的時(shí)候一定要保證線段的非負(fù)性，可以直接加上絕對(duì)值或者是分類(lèi)討論；2．與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相關(guān)的面積問(wèn)題一定要分析清楚每個(gè)階段圖形的形狀，然后再分別求出每個(gè)階段下面積的表達(dá)式．面積問(wèn)題例題例題1、如圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣4）（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）（2）存在合適的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（4，5）或（﹣2，5）【解析】（1）∵拋物線解析式為y=（x+m）2+k的頂點(diǎn)為M（1，﹣4）∴，令y=0得（x﹣1）2﹣4=0解得x1=3，x2=﹣1∴A（﹣1，0），B（3，0）（2）∵△PAB與△MAB同底，且S△PAB=S△MAB，∴，即yP=±5又∵點(diǎn)P在y=（x﹣1）2﹣4的圖象上∴yP≥﹣4∴，則，解得∴存在合適的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（4，5）或（﹣2，5）．例題2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y=5x﹣5與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3且過(guò)點(diǎn)A和C．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（3）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D，且在x軸上存在點(diǎn)P使得△DAP的面積為6，直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣5，當(dāng)y=0時(shí)，5x﹣5=0，解得，x=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣5），則點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，5）；（2）由題意得，，解得，a=1，b=﹣6，c=5，則拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣4），由題意得，×|x﹣1|×4=6，解得，x=﹣2或4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（4，0）．例題3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）兩點(diǎn)．（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；（2）若有一拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在圓M上，開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=﹣x﹣6（2）y=﹣x2﹣4x﹣6；（3）存在，證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得，解得，所以直線AB的解析式為y=﹣x﹣6；（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，M（﹣4，﹣3），∵M(jìn)C∥y軸，MC=5，∴C（﹣4，2），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）2+2，把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x2﹣4x﹣6；（3）存在．當(dāng)y=0時(shí)，﹣（x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），S△ABC=S△ACM+S△BCM=?8?CM=20，設(shè)P（t，﹣t2﹣4t﹣6），∵S△PDE=S△ABC，∴?（﹣2+6）?|﹣t2﹣4t﹣6|=?20，即|﹣t2﹣4t﹣6|=1，當(dāng)﹣t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）當(dāng)﹣t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）時(shí)，使得S△PDE=S△ABC．例題4、如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的邊EF與BC重合，點(diǎn)G、H分別在AC、AB上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)矩形EFGH面積最大時(shí)，求EF：GF的值；（2）把圖形以BC所在直線為對(duì)稱(chēng)軸作對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)A，H，K，G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，H′，K′，G′．①若矩形HH′G′G為正方形時(shí)，求三角形AHG的面積；②當(dāng)AB=AC時(shí)，設(shè)GF為x（3≤x≤5），三角形AHG的面積記為S1，三角形GG′C的面積記為S2，若令y=+2，求y的最大值．【答案】（1）EF：GF=3：2；（2）①；②【解析】（1）設(shè)FG的長(zhǎng)為x，則AK的長(zhǎng)為（8﹣x），∵四邊形EFGH為矩形，∴HG∥BC．∴，即：．∴GH=．矩形EFGH面積=GH?GF=x=﹣=﹣，∴當(dāng)x=4時(shí)，矩形的面積有最大值．∴GF=4，EF=GH=6．∴EF：GF=3：2．（2）①如圖1所示：由軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可知：FG=FG′，∵四邊形HH′G′G為正方形，∴GH=GG′=2GF．設(shè)FG=x，則HG=2x.由（1）可知：即：解得：x=，∴GF=，GH=，AK=．△AHG的面積==．②如圖2：設(shè)FG的長(zhǎng)為x，則AK的長(zhǎng)為（8﹣x），由（1）可知：GH=．∴△AHG的面積==，F(xiàn)C=（BC﹣FE）===∴△GCG′的面積===．∵y=，∴y===2．∵3≤x≤5，∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，∴y的最大值=2×=．隨練隨練1、已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，使三角形ABP的面積為6，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）3（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）【解析】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以，解得．所以一次函數(shù)解析式為y=x2+2x﹣3．（2）∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴C、D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，連接AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD=PA+PC=AC===3．（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，m2+2m﹣3），令y=0，x2+2x﹣3=0，x=﹣3或1，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（1，0），∴AB=4∵S△PAB=6，∴?4?|m2+2m﹣3|=6，∴m2+2m﹣6=0，m2+2m=0，∴m=0或﹣2或1+或1﹣．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．隨練2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形A′B′OC′．拋物線y=﹣x2+2x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、A′三點(diǎn)．（1）求A、A′、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′OC′重疊部分△C′OD的面積；（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并寫(xiě)出此時(shí)M的坐標(biāo)．【答案】（1）A（0，3）；A′（3，0）；C（﹣1，0）（2）（3）當(dāng)m=時(shí)，S△AMA'的值最大，最大值為，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（）．【解析】（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，則C（﹣1，0），A′（3，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則A（0，3）；（2）∵四邊形ABOC為平行四邊形，∴AB∥OC，AB=OC，而C（﹣1，0），A（0，3），∴B（1，3）∴OB==，S△AOB=×3×1=，又∵平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90°得平行四邊形A′B′OC′，∴∠ACO=∠OC′D，OC′=OC=1，又∵∠ACO=∠ABO，∴∠ABO=∠OC′D．又∵∠C′OD=∠AOB，∴△C′OD∽△BOA，∴=（）2=（）2=，∴S△C′OD=×=；（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），0＜m＜3，作MN∥y軸交直線AA′于N，易得直線AA′的解析式為y=﹣x+3，則N（m，﹣m+3），∵M(jìn)N=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，∴S△AMA′=S△ANM+S△MNA′=MN?3=（﹣m2+3m）=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+，∴當(dāng)m=時(shí)，S△AMA'的值最大，最大值為，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（）．隨練3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，-1）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．（1）求此拋物線的解析式（2）過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請(qǐng)判斷拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)拋物線為y=a（x-4）2-1，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），∴3=a（0-4）2-1，a=；∴拋物線為y=(x-4)2-1=x2-2x+3；（3分）（2）相交．證明：連接CE，則CE⊥BD，當(dāng)(x-4)2-1=0時(shí)，x1=2，x2=6．A（0，3），B（2，0），C（6，0），對(duì)稱(chēng)軸x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C相交．（7分）（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q；可求出AC的解析式為y=-x+3；（8分）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2-2m+3），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-m+3）；∴PQ=-m+3-（m2-2m+3）=-m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（-m2+m）×6=-（m-3）2+；∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為；此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-）．（10分）隨練4、（1）如圖1，把拋物線平移后得到拋物線，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)為P，它的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線交于點(diǎn)Q，則拋物線的解析式為_(kāi)___________；圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．（2）若點(diǎn)C為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，我們把時(shí)的△ACO稱(chēng)為拋物線的內(nèi)接直角三角形．過(guò)點(diǎn)做軸的垂線，拋物線的內(nèi)接直角三角形的兩條直角邊所在直線AC、CO與直線分別交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的⊙D與軸交于E、F兩點(diǎn)，如圖2．請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出并證明你的判斷．【答案】（1）；8（2）不變化【解析】該題考查的是二次函數(shù)與相似三角形綜合．（1）拋物線的解析式為；圖中陰影部分的面積與△POQ的面積相同，，∴陰影部分的面積為8．（2）由題意可知，拋物線只存在兩個(gè)內(nèi)接直角三角形．當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化．證明：∵M(jìn)N為⊙D的直徑，∴，，∵，∴△ABM∽△NBO∴，，連接FM、FN，，在△MBF和△FBN中，，，∴△MBF∽△FBN∴∴，故∴隨練5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)為圓心的圓與y軸相切于點(diǎn)A，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊）．（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使的面積是菱形ABCP面積的．如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；如果若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D自點(diǎn)P出發(fā)，先到達(dá)y軸上的某點(diǎn)，再到達(dá)x軸上某點(diǎn)，最后運(yùn)動(dòng)到（1）中拋物線的頂點(diǎn)Q處，求使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的路徑的長(zhǎng)．yyxCBOAP【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）PQ=【解析】該題考察的函數(shù)幾何綜合（1）聯(lián)結(jié)PA，PB，PC，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G．∵⊙P與y軸相切于點(diǎn)A，∴PA⊥y軸，∵P（2，），[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]∴OG=AP=2，PG=OA=．………1分∴PB=PC=2．∴BG=1．∴CG=1，BC=2．∴OB=1，OC=3．∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．………2分根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)解析式為：，∴，解得a=．∴二次函數(shù)的解析式為：．…………3分（2）存在．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………7分（3）∵=，∴拋物線的頂點(diǎn)Q（2，）．作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，則P（-2，）．聯(lián)結(jié)PQ，則PQ是最短總路徑，根據(jù)勾股定理，可得P’Q=．．．…8分隨練6、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD平行GC交y軸于點(diǎn)D．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求證：四邊形ACHD是正方形；（3）如圖2，點(diǎn)M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第二象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)N．①若四邊形ADCM的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出t的取值范圍；②若△CMN的面積等于，請(qǐng)求出此時(shí)①中S的值．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）見(jiàn)解析（3）①S=﹣t2﹣t+9，﹣3＜t＜0；②12或【解析】（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），∴解得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣2x+3．（2）如圖1，，∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2﹣2x+3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（﹣1，4），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴設(shè)CG所在的直線的解析式是y=mx+3，則﹣m+3=4，∴m=﹣1，∴CG所在的直線的解析式是y=﹣x+3，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，p），則，∴p=﹣3，∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，∴四邊形ACHD是正方形．（3）①如圖2，作ME⊥x軸于點(diǎn)E，作MF⊥y軸于點(diǎn)F，∵四邊形ADCM的面積為S，∴S=S四邊形AOCM+S△AOD，∵AO=OD=3，∴S△AOD=3×3÷2=4.5，∵點(diǎn)M（t，p）是y=kx與y=﹣x2﹣2x+3在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（t，﹣t2﹣2t+3），∵M(jìn)E=﹣t2﹣2t+3，MF=﹣t，∴S四邊形AOCM=×3×（﹣t2﹣2t+3）=﹣t2﹣t+，∴S=﹣t2﹣t++4.5=﹣t2﹣t+9，﹣3＜t＜0．②如圖3，作NI⊥x軸于點(diǎn)I，，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是（t1，p1），則NI=|t1|，∴S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），∵t＜0，t1＞0，∴S△CMN=（|t|+|t1|）=，，聯(lián)立可得x2+（k+2）x﹣3=0，∵t1、t是方程的兩個(gè)根，∴∴，解得，a、k=﹣時(shí)，由x2+（2﹣）x﹣3=0，解得x1=﹣2，或（舍去）．b、k=﹣時(shí)，由x2+（2﹣）x﹣3=0，解得x3=﹣，或x4=2（舍去），∴t=﹣2，或t=﹣，t=﹣2時(shí)，S=﹣t2﹣t+9=﹣×4﹣×（﹣2）+9=12t=﹣時(shí)，S=﹣×﹣×+9=，∴S的值是12或．隨練7、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，平行于x軸的直線與拋物線L：y=ax2相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在第一象限），點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上．（1）已知a=1，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2．①如圖1，向右平移拋物線L使該拋物線過(guò)點(diǎn)B，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，求AC的長(zhǎng)．②如圖2，若BD=AB，過(guò)點(diǎn)B，D的拋物線L2，其頂點(diǎn)M在x軸上，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）如圖3，若BD=AB，過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線L3，頂點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的值，并直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）AC=4；y=4（x﹣）2（2）=﹣；=【解析】（1）①二次函數(shù)y=x2，當(dāng)y=2時(shí)，2=x2，解得x1=，x2=﹣，∴AB=2．∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴BC=AB=2，∴AC=4．②作拋物線L2的對(duì)稱(chēng)軸與AD相交于點(diǎn)N，如圖2，根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性，得BN=DB=，∴OM=．設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x﹣）2，由①得，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2），∴2=a（﹣）2，解得a=4．拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=4（x﹣）2；（2）如圖3，拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)OK=t，則AB=BD=2t，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，at2），根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱(chēng)性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x（x﹣4t），∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B（t，at2），∴at2=a3t（t﹣4t），∵t≠0，∴=﹣，由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，﹣4a3t2），則﹣4a3t2=ax2，解得，x1=﹣t，x2=t，EF=t，∴=．隨練8、如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于C，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于H，頂點(diǎn)為M，AC、BM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）若P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），問(wèn)在此拋物線上是否存在整數(shù)n，使？若存在，請(qǐng)求出n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）P（x，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為線段MH上的一動(dòng)點(diǎn)，若∠CQP=90°，求x的取值范圍．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）不存在（3）﹣≤x≤5【解析】（1）∵拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴有，解得：．∴拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）不存在．理由如下：∵P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3）在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴=（n﹣3）（n+1），=（n+2）（n﹣2），=（n+3）（n﹣1）．∵，∴，∴，∴，∴①．∵n為整數(shù)，∴由①可得n2＞16．∵n2﹣1＞n2﹣4＞n2﹣9＞0，∴0＜＜＜，∴＜，＜，∴＜，即＜，∴n2＜23．∵n2＞16，∴16＜n2＜23，∴不存在整數(shù)n，使得16＜n2＜23；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的右邊時(shí)，如圖1，由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4可得：C（0，﹣3），點(diǎn)M（1，﹣4），對(duì)稱(chēng)軸為x=1．過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MH于N，設(shè)NQ=m則有NH=OC=3，CN=1，0＜m≤1，∠CNQ=∠CQP=∠PHQ=90°，∴∠CQN=∠HPQ=90°﹣∠HQP，∴△CNQ∽△QHP，∴，∴PH?CN=QH?NQ，∴PH=m（m+3）=（m+）2﹣，∴當(dāng)m≥﹣時(shí)，PH隨著m的增大而增大．∵0＜m≤1，∴0＜PH≤（1+）2﹣，即0＜PH≤4，∴0＜x﹣1≤4，∴1＜x≤5；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H處時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合，此時(shí)x=1；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H的左邊時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MH于N，設(shè)NQ=m則有NH=OC=3，CN=1，0＜m＜3，∠CNQ=∠CQP=∠PHQ=90°，∴∠CQN=∠HPQ=90°﹣∠HQP，∴△CNQ∽△QHP，∴，∴PH?CN=QH?NQ，∴PH=m（3﹣m）=﹣（m﹣）2+．∵﹣1＜0，∴當(dāng)m=時(shí)，PH取最大值為．∵0＜m＜3，∴0＜PH≤，∴0＜1﹣x≤，∴﹣1＜﹣x≤，∴﹣≤x＜1．綜上所述：x的取值范圍為﹣≤x≤5．特殊問(wèn)題例題例題1、若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱(chēng)它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．（1）求拋物線C2的解析式．（2）點(diǎn)A是拋物線C2上在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．（3）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，4），問(wèn)在C2的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使線段MB繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MB′，且點(diǎn)B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，不存在說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線C2的解析式為u2=﹣x2+2x+3．（2）當(dāng)a=時(shí)，AQ+OQ有最大值，最大值為．（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，5）時(shí)，B′恰好落在拋物線C2上．【解析】（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．∵拋物線C1：與C2頂點(diǎn)相同，∴﹣1+m+n=4．解得：m=2，n=3．∴拋物線C2的解析式為u2=﹣x2+2x+3．（2）如圖1所示：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3）．∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+．∴當(dāng)a=時(shí)，AQ+OQ有最大值，最大值為．（3）如圖2所示；連接BC，過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥CM，垂足為D．∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∴BC⊥CM，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．∵B′D⊥MC，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC．在△BCM和△MDB′中，∴△BCM≌△MDB′．∴BC=MD，CM=B′D．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，a）．則B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．整理得：a2﹣7a﹣10=0．解得a=2，或a=5．當(dāng)a=2時(shí)，M的坐標(biāo)為（1，2），當(dāng)a=5時(shí)，M的坐標(biāo)為（1，5）．綜上所述當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，5）時(shí)，B′恰好落在拋物線C2上．例題2、拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）①y=x2﹣；②（1，﹣3）或（，﹣）；（2）∴=2．【解析】（1）①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得，解得，拋物線的解析式為y=x2﹣；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí)，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)G．作PH⊥OB于點(diǎn)H，則OH=1，PH=3．∵∠DPO=∠POB，∴PG=OG．設(shè)OG=x，則PG=x，HG=x﹣1．在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．∴點(diǎn)G（5，0）．∴直線PG的解析式為y=x﹣解方程組得，．∵P（1，﹣3），∴D（，﹣）．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣3）或（，﹣）．（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，是定值，定值為2，理由如下：作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c=0，c=﹣at2．∵PQ∥OF，∴，∴OF==amt+at2．同理OE=﹣amt+at2．∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC．∴=2．例題3、如圖，拋物線y=（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及k的值；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限．①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)M作PM⊥x軸交線段AC于點(diǎn)P，求出線段PM長(zhǎng)度的最大值．【答案】（1）直線x=﹣1（2）存在，（﹣1，﹣2）（3）①8，②【解析】（1）∵拋物線y=（x+1）2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）2+k，解得：k=﹣4，∴拋物線的解析式為：y=（x+1）2﹣4，故對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=﹣1；（2）存在．如圖，連接AC，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，當(dāng)y=0，則0=（x+1）2﹣4，解得：x1=1，x2=﹣3，由題意可得：△ANP∽△AOC，則=，故=，解得：PN=2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）；（3）點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，故﹣3＜x＜0；①如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：[x，（x+1）2﹣4]，∵AB=4，∴S△AMB=×4×|（x+1）2﹣4|=2|（x+1）2﹣4|，∵點(diǎn)M在第三象限，∴S△AMB=8﹣2（x+1）2，∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）時(shí)，△AMB的面積最大，最大值為8；②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：[x，（x+1）2﹣4]，設(shè)直線AC的解析式為：y=ax+d，將（﹣3，0），（0，﹣3）代入得：，解得：．故直線AC：y=﹣x﹣3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（x，﹣x﹣3），故PM=﹣x﹣3﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，當(dāng)x=﹣時(shí)，PM最大，最大值為．例題4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F．是否存在這樣的點(diǎn)E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上使△ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1（x1，y1），M2（x2，y2）兩點(diǎn)，試探究是否為定值，并寫(xiě)出探究過(guò)程．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】（1）∵y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，0），∴0=-+m，解得m=，∴直線解析式為y=x+，C（0，）．∵拋物線y=ax2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸為x=1，且與x軸交于A（-3，0），∴另一交點(diǎn)為B（5，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），∵拋物線經(jīng)過(guò)C（0，），∴=a?3（-5），解得a=-，∴拋物線解析式為y=-x2+x+；（2）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，（i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=，即yE=，∴=-xE2+xE+，解得xE=2（xE=0與C點(diǎn)重合，舍去），∴E（2，），S?ACEF=；（ii）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E′位置時(shí)，過(guò)點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′，同理可求得E′（+1，-），S?ACF′E′=．（3）要使△ACP的周長(zhǎng)最小，只需AP+CP最小即可．如答圖2，連接BC交x=1于P點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，可知此時(shí)AP+CP最小（AP+CP最小值為線段BC的長(zhǎng)度）．∵B（5，0），C（0，），∴直線BC解析式為y=-x+，∵xP=1，∴yP=3，即P（1，3）．令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3）的直線為y=kx+b，則k+b=3，即b=3-k，則直線的解析式是：y=kx+3-k，∵y=kx+3-k，y=-x2+x+，聯(lián)立化簡(jiǎn)得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，∴x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．∵y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，∴y1-y2=k（x1-x2）．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：M1M2===?∴M1M2=?=?=4（1+k2）．又M1P===?；同理M2P=?∴M1P?M2P=（1+k2）?=（1+k2）?=（1+k2）?=4（1+k2）．∴M1P?M2P=M1M2，∴=1為定值．例題5、如圖：拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，試判斷△OEF的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．并直接寫(xiě)出△OEF的面積取最小值及此時(shí)的點(diǎn)E坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為：y=x2﹣x+3；點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）（2）存在點(diǎn)P1（0，3），P2（﹣1，6）（3）S△OEF取最小值；點(diǎn)E的坐標(biāo)（，）【解析】（1））∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為：y=x2﹣x+3；令x=0，則y=3，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；（2）假設(shè)存在，分兩種情況：如圖1，①過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△ABC是直角三角形，點(diǎn)C（0，3）符合條件，所以，P1（0，3）；②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，∵A（3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，設(shè)直線BP的解析式為y=﹣x+b，則﹣4+b=1，解得b=5，∴直線BP：y=﹣x+5，聯(lián)立，解得，，又∵點(diǎn)B（4，1），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，6），綜上所述，存在點(diǎn)P1（0，3），P2（﹣1，6）；（3）如圖2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，∴∠OEF=∠OFE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，即△OEF是直角三角形；∵點(diǎn)E在直線AC上：y=﹣x+3，∴設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x+3），根據(jù)勾股定理，OE2=x2+（﹣x+3）2，=2x2﹣6x+9，所以，S△OEF=OE?OF=OE2=x2﹣3x+=（x﹣）2+，所以，當(dāng)x=時(shí)，S△OEF取最小值，此時(shí)﹣x+3=﹣+3=，所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)（，）．隨練拓展拓展1、如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M（﹣2，﹣4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A（﹣6，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求△ABC的面積；（3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P，使△APC的面積最大？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=x2+x﹣3（2）12（3）P（﹣3，﹣）【解析】（1）設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a（x+h）2+k，∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，∴此函數(shù)的解析式為y=（x+2）2﹣4，即y=x2+x﹣3；（2）∵點(diǎn)C是函數(shù)y=x2+x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3），又當(dāng)y=0時(shí)，有y=x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），則S△ABC=|AB|?|OC|=×8×3=12；（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．設(shè)E（x，0），則P（x，x2+x﹣3），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∵直線AC過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（x，﹣x﹣3），則|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|?|AE|+|PF|?|OE|=|PF|?|OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，∴當(dāng)x=﹣3時(shí)，S△APC有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（﹣3，﹣）．拓展2、如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）（﹣2，2）；2.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)G，連接DC，AD，如圖所示，設(shè)直線AC解析式為y=kx+t，則有，解得：，∴直線AC解析式為y=x+2，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則G橫坐標(biāo)也為m，∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DG?AH+DG?OH=DG?AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣[（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2，當(dāng)m=﹣2時(shí)，S△ADC取得最大值2，此時(shí)yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．拓展3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C；拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)A．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)．試問(wèn)：線段PN的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）【解析】解：（1）由于直線y=﹣x+3經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，令y=0得x=3；令x=0，得y=3，∴B（3，0），C（0，3），∵點(diǎn)B、C在拋物線y=﹣x2+bx+c上，于是得，解得b=2，c=3，∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3；（2）①∵點(diǎn)P（x，y）在拋物線y=﹣x2+2x+3上，且PN⊥x軸，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），同理可設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，﹣x+3），又點(diǎn)P在第一象限，∴PN=PM﹣NM，=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3），=﹣x2+3x，=，∴當(dāng)時(shí)，線段PN的長(zhǎng)度的最大值為．②解：由題意知，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，又由①知，OB=OC，∴BC的中垂線同時(shí)也是∠BOC的平分線，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a），又點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+2x+3上，于是有a=﹣a2+2a+3，∴a2﹣a﹣3=0，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，，OB=OC=3，S△BPC=S四邊形BOCP﹣S△BOC=2S△BOP﹣S△BOC=，=，=，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)P在第三象限，則S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，===，拓展4、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣6mx+5與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)B（b，0），C（c，0）．（1）當(dāng)b=1時(shí)，求拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)b=1時(shí)，如圖，E（t，0）是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作平行于y軸的直線l與拋物線的交點(diǎn)為P．求△APC面積的最大值；（3）當(dāng)c=b+n時(shí)，且n為正整數(shù)，線段BC（包括端點(diǎn)）上有且只有五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是整數(shù)，求b的值．【答案】（1）y=x2﹣6x+5；（2）；（3）b=1或【解析】（1）當(dāng)b=1時(shí)，將點(diǎn)B（1，0）代入拋物線y=x2﹣6mx+5中，得m=1，∴y=x2﹣6x+5；（2）如圖1中，直線AC與PE交于點(diǎn)F．當(dāng)b=1時(shí)，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+5，∵E（t，0），∴P（t，t2﹣6t+5），直線l與AC的交點(diǎn)為F（t，﹣t+5），∴PF=（﹣t+5）﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，∴S△APC=×（﹣t2+5t）?5=﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)t=時(shí)，面積S有最大值；（3）①當(dāng)b整數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，∴n=4，c=b+4．則b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的兩個(gè)根，分別代入方程中，得b2﹣mb+5=0①，（b+4）2﹣m（b+4）+5=0②，由①②可得b2+4b﹣5=0，解得b=1或﹣5（舍）；或由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得b（b+4）=5解得b=1或﹣5（舍）．②當(dāng)b小數(shù)時(shí)，n為整數(shù)，∴n=5，c=b+5為小數(shù)，則b，b+5是方程x2﹣mx+5=0的兩個(gè)根，同樣可得b=或（舍棄）；∴b=1或．拓展5、如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交交于點(diǎn)B，且OA：OB=1：2．設(shè)此二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置．將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1．點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣3x+2（2）y=x2﹣3x+1（3）（1，﹣1）或（3，1）【解析】（1）∵二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交交于點(diǎn)B，且OA：OB=1：2，∴B（0，2），A（1，0），把A（1，0）代入y=x2+mx+2得m=﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x+2．（2）如圖1中，由題意可知，C（3，1），作CG∥OB交拋物線于G．x=3時(shí)，y=2，∴點(diǎn)G坐標(biāo)（3，2），∴把拋物線向下平移1個(gè)單位即可經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴平移后的拋物線的解析式為y=x2﹣3x+1．（3）如圖2中，設(shè)P（m，m2﹣3m+1），∵BB1=DD1，△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，∴m=2|﹣m|，∴m=1或3，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，﹣1）或（3，1）．拓展6、已知拋物線的頂點(diǎn)是C（0，m）（m＞0，m為常數(shù)），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2m，2m），點(diǎn)D（0，2m）為一定點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（用含字母m的代數(shù)式表示）（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥x軸，垂足是H，試探究PD與PH的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點(diǎn)，若DA=2DB，且S△ABD=4，求m的值．【答案】（1）y=x2+m（2）見(jiàn)解析（3）m=2．【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為y=kx2+m，∵點(diǎn)（2m，2m）在拋物線上，∴4m2k+m=2m，解得k=，∴拋物線的解析式為y=x2+m；（2）PD=PH．理由如下：設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（x，y），過(guò)P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，垂足分別為H、G，連接PD，如圖1，在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y﹣2m）2+x2=y2﹣4my+4m2+x2，又P點(diǎn)在拋物線上，∴y=x2+m，∴x2=4m（y﹣m）=4my﹣4m2，∴PD2=y2﹣4my+4m2+4my﹣4m2=y2=PH2，∴PD=PH；（3）過(guò)B作BE⊥x軸，過(guò)A作AF⊥y軸，垂足分別為E、F，連接BC，過(guò)B作BR⊥y軸于點(diǎn)R，如圖2由（2）的結(jié)論：BE=BC，AF=DA，∵DA=2DB，∴AF=2BE，∴AO=2BO，∴B是OA中點(diǎn)，且C是OD的中點(diǎn)，∴BC=DA=AF=BE=BD，∵BR⊥CD，∴CR=DR，OR=m+m=m，∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)是m，又點(diǎn)B在拋物線上，∴m=x2+m，整理可得x2=2m2，∵x＞0，∴x=m，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），又AO=2PB．∴S△ABD=S△OBD=4，∴×2m×m=4，∴m2=4，∵m＞0，∴m=2．拓展7、已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．①求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；②把①中的拋物線沿x軸翻折后，再向左平移2個(gè)單位，向上平移8個(gè)單位得到拋物線．設(shè)拋物線交x軸于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），點(diǎn)為拋物線在x軸上方部分圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①②【解析】該題考查的是代幾綜合．（1）在中----------------------------1分∵當(dāng)m取任何值時(shí)，，∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根．---------------2分（2）①∵拋物線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為：∴，得∴---------------------------------------5分②將沿x軸翻折后，再向左平移2個(gè)單位，向上平移8個(gè)單位得到拋物線為∴，作出△MNP的外接圓，過(guò)N點(diǎn)作軸，交圓于A，連接AM交y軸于Q點(diǎn)，Q是圓心，∵∴∴，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為∵∴解得∴------------------------------------------7分拓展8、已知拋物線C：y=x2﹣3x+m，直線l：y=kx（k＞0），當(dāng)k=1時(shí)，拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求m的值；（2）若直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線l與直線l1：y=﹣3x+b交于點(diǎn)P，且，求b的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l1與y軸交于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否在實(shí)數(shù)k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）m=4；（2）b=8；（3）不存在實(shí)數(shù)k使S△APQ=S△BPQ．【解析】（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴直線l解析式為y=x，∵，∴x2﹣3x+m=x，∴x2﹣4x+m=0，∴△=16﹣4m=0，∴m=4，（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，則△OAC∽△OPD，∴．同理，．∵+=，∴+=2．∴+=2．∴+=，即=．解方程組，得x=x=，即PD=．由方程組消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．∴．解得b=8．（3）不存在．理由如下：假設(shè)存在，當(dāng)S△APQ=S△BPQ時(shí)，有AP=PB，于是PD﹣AC=PE﹣PD，即AC+BE=2PD．由（2）可知AC+BE=k+3，PD=，∴k+3=2×，即（k+3）2=16．解得k=1（舍去k=﹣7）．當(dāng)k=1時(shí)，A，B兩點(diǎn)重合，△BQA不存在．∴不存在實(shí)數(shù)k使S△APQ=S△BPQ．拓展9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且OB=，∠OBA=90°．以邊OB所在直線折疊Rt△OAB，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處．（1）求證：△OAC為等邊三角形；（2）點(diǎn)D在x軸的正半軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0）．點(diǎn)P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合），連接PA、PD．設(shè)PC=x，△PAD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)x=時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD于點(diǎn)M，若k=，求證：二次函數(shù)y=-2x2-（7k-3）x+k的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）y=-x+（3）見(jiàn)解析【解析】本題考查等邊三角形、函數(shù)解析式、三角形面積、二次函數(shù)圖象的有關(guān)知識(shí)，屬于動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)線相結(jié)合的運(yùn)動(dòng)變化題目，由淺入深地設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題，是一道綜合性題目，有一定難度．（1）∵OA=2，OB=，∠OBA=90，解直角△OAB可知∠OAB=60°，由折疊可知∠C=∠OAB=60°，故△OAC為等邊三角形；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，以AD為底，PE為高，其中AD=2，在直角△OPE中，OP=2-x，∠POE=60°，解直角三角形可求PE，從而可表示面積；（3）當(dāng)x=時(shí)，可求線段PE、OE、ED及△PAD的面積，用勾股定理可求PD的長(zhǎng)，用面積法可求AM長(zhǎng)，從而可求k值，就能確定拋物線解析式了，也就能回答問(wèn)題了．（1）證明：由題意可知OA=OC，∵∠OBA=90°，OB=，A的坐標(biāo)為（2，0）∴sin∠OAB=∴∠OAB=60°∴△OAC為等邊三角形；（2）解：由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°∵PC=x，∴OP=2-x過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，在Rt△POE中，sin∠POE=即=∴PE=（2-x）=-x+∴S△PAD=AD?PE=（4-2）?PE=PE∴y=-x+；（3）證明：當(dāng)x=時(shí)，即PC=∴OP=在Rt△POE中，PE=OP?sin∠POE=OE=OP?cos∠POE=∴DE=OD-OE=4-=∴在Rt△PDE中，PD===又∵S△PAD=-x+=-?+=∴S△PAD=PD?AM=∴AM=，∴k==∴y=-2x2-（7k-3）x+k=-2x2-（7×-3）x+×∴y=-2x2+∵此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=0，∴此二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．拓展10、已知拋物線的頂點(diǎn)為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．（1）直接寫(xiě)出拋物線解析式；（2）如圖，將拋物線向右平移k個(gè)單位，設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為A、B，與原拋物線的交點(diǎn)為P．①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí)，求此時(shí)k的值；②是否存在這樣的k值，使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y=-x2+4（2）見(jiàn)解析【解析】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（0，4），∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+4，又∵拋物線過(guò)點(diǎn)（2，0），∴0=4a+4，解得a=-1，∴拋物線解析式為y=-x2+4；（2）①如圖，連接CE，CD．∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD．在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，∴∠EDC=30°，∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，∴OC=，∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時(shí)，k=OC=；②存在k=2，能夠使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上．理由如下：設(shè)拋物線y=-x2+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=-（x-k）2+4，它與y=-x2+4交于點(diǎn)P，由-（x-k）2+4=-x2+4，解得x1=，x2=0（不合題意舍去），當(dāng)x=時(shí)，y=-k2+4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，-k2+4）．設(shè)直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=，∴直線OD的解析式為y=x，若點(diǎn)P（，-k2+4）在直線y=x上，得-k2+4=?，解得k=±2（負(fù)值舍去），∴當(dāng)k=2時(shí)，O、P、D三點(diǎn)在同一條直線上．拓展11、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△的面積【答案】（1）（2）；（3）；【解析】該題考查的是代幾綜合．（1）∵，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵拋物線與