愛提分中考復(fù)習(xí) 18三輪-最值問(wèn)題-第02講 最值問(wèn)題（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜最值問(wèn)題（二）知識(shí)精講一．將軍飲馬問(wèn)題如圖所示，將軍在觀望烽火之后從山腳下的點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后再到點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？如圖所示，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長(zhǎng)線上，取關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，與河岸線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到營(yíng)地，所走的路程就是最短的．二．將軍飲馬問(wèn)題模型1.如圖，直線和的異側(cè)兩點(diǎn)、，在直線上求作一點(diǎn)，使最?。?.如圖，直線和的同側(cè)兩點(diǎn)、，在直線上求作一點(diǎn)，使最小．3．如圖，直線和同側(cè)兩點(diǎn)、，在直線上求作一點(diǎn)，使最大．4．如圖，直線和異側(cè)兩點(diǎn)、，在直線上求作一點(diǎn)，使最大．5．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，分別在，上作點(diǎn)，，使的周長(zhǎng)最小．6．如圖，點(diǎn)，為內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在，上作點(diǎn)，，使四邊形的周長(zhǎng)最小．7．如圖，點(diǎn)是外的一點(diǎn)，在射線上作點(diǎn)，使與點(diǎn)到射線的距離之和最?。?．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，在射線上作點(diǎn)，使與點(diǎn)到射線的距離之和最小．三．造橋選址問(wèn)題如圖，和兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋，橋造在何處才能使從到的路徑最短？（假設(shè)河兩岸、平行,橋與河岸垂直）四．利用三邊關(guān)系關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊．一般說(shuō)來(lái)，線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來(lái)加以證明，另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)．（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等．）三點(diǎn)剖析一．考點(diǎn)：1．將軍飲馬問(wèn)題；2．造橋選址問(wèn)題．二．重難點(diǎn)：1．將軍飲馬問(wèn)題的8大模型；2．造橋選址問(wèn)題模型及其變式．三．易錯(cuò)點(diǎn)：

1．無(wú)論是將軍飲馬問(wèn)題還是造橋選址問(wèn)題給定的都是兩個(gè)定點(diǎn)，很多學(xué)生可以直接套模型，但是如果兩個(gè)點(diǎn)中只有一個(gè)定點(diǎn)，另外一個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)就要結(jié)合其它與最值有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，比如最常見的就是“垂線段最短”．2．很多學(xué)生在利用將軍飲馬和造橋選址模型求解最短路徑問(wèn)題時(shí)，往往自己做對(duì)稱點(diǎn)，其實(shí)很多時(shí)候圖形都是很特殊的，都自帶對(duì)稱圖形，這樣就直接在已有的線段上找對(duì)稱點(diǎn)，然后再求解，這樣會(huì)簡(jiǎn)單很多．軸對(duì)稱與最值問(wèn)題例題例題1、如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=1，連接DA，點(diǎn)P是射線DA上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證DA是⊙O的切線；（2）DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，（PB+PC）的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值，若不能，說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，即DP=DA=時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，為90°（3）（PB+PC）的值能達(dá)到最小，（BP+PC）的最小值為【解析】（1）證明：如圖，連接AO，∵∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=60°∴△ABO是等邊三角形，AB=BD=1，∴∠ADC=∠DAB=∠ABO=30°，∵∠AOC=60°，∴∠DAO=90°，∴DA是⊙O的切線；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)，即DP=DA=時(shí)，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，為90°．理由如下：若點(diǎn)P不在A處時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上的時(shí)，連接BP，與⊙O交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)E，連接CE，則∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°．（3）如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于射線DA的對(duì)稱點(diǎn)C′，則BP+PC=BP+PC′，當(dāng)點(diǎn)C′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，（BP+PC′）的值達(dá)到最小，最小值為BC′．過(guò)點(diǎn)C′作DC的垂線，垂足記為點(diǎn)H，連接DC′，在Rt△DCP中，∠PDC=30°，∴△DCC′為等邊三角形，故H為DC的中點(diǎn)，∴BH=DH﹣DB=CD﹣DB=﹣1=，C'H=DH=在Rt△BC'H中，根據(jù)勾股定理得，BC'==．∴（BP+PC）的最小值為．例題2、我們?cè)鴮W(xué)過(guò)“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，常可利用它來(lái)解決兩條線段和最小的相關(guān)問(wèn)題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得最?。覀冎灰鼽c(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，（如圖2所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，．因此，求最小就相當(dāng)于求最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時(shí)最小，因此連接AB＇，與直線l的交點(diǎn)，就是要求的點(diǎn)P．有很多問(wèn)題都可用類似的方法去思考解決．探究：（1）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)EP，CP，則EP+CP的最小值是_______；（2）如圖4，A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點(diǎn)B，C，組成△ABC，使△ABC周長(zhǎng)最??；（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）如圖5，平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)、，在y軸上找一點(diǎn)C，在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)C的坐標(biāo)應(yīng)該是_______，點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)該_______．【答案】（1）（2）見解析（3）；【解析】該題考查的是對(duì)稱的性質(zhì)．（1）做點(diǎn)E關(guān)于線段BD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，即為最短距離，此時(shí)，………………1分FF（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)D，E，連接DE，分別交OM，ON于點(diǎn)B，C，點(diǎn)B，C即為所求作的點(diǎn)；………………3分（點(diǎn)D，E作出各得1分，連接DE得1分，寫出結(jié)論得1分）（3）作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E和A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF，分別于x，y軸交于C，D，點(diǎn)C，D即所求的點(diǎn)，設(shè)函數(shù)圖像為，代入，得方程組，解得，分別代入，，得到交點(diǎn)坐標(biāo)C，D．………………5分EEFCD例題3、如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E在某個(gè)位置時(shí)，使△BDE的周長(zhǎng)最小，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）（，）【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于兩點(diǎn)A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴此拋物線的解析式為：y=x2﹣3x﹣4；（2）如圖1，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF交AC于點(diǎn)E，由（1）得，拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4，∴D（0，﹣4），∵直線y=﹣x+4交拋物線于點(diǎn)C，∴解得，或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∵直線AC解析式為y=﹣x+4，直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直線BF解析式為y=x+1，設(shè)點(diǎn)F（m，m+1），∴G（，），∵點(diǎn)G在直線AC上，∴﹣+4=，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直線DF解析式為y=x﹣4，解得∴直線DF和直線AC的交點(diǎn)E（，）．例題4、定義:對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ和點(diǎn)M，在△MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2時(shí)，稱M為PQ的“等高點(diǎn)”，稱此時(shí)MP+MQ為PQ的“等高距離”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在點(diǎn)A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高點(diǎn)”是；②若M（t，0）為PQ的“等高點(diǎn)”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時(shí)t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，當(dāng)PQ的“等高點(diǎn)”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）A、B（2）見解析（3）Q（，）或Q（，）【解析】解:（1）A、B……………2分（2）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q，P′Q與x軸的交點(diǎn)即為“等高點(diǎn)”M，此時(shí)“等高距離”最小，最小值為線段P′Q的長(zhǎng).………3分∵P(1，2)，∴P′(1，－2).設(shè)直線P′Q的表達(dá)式為，根據(jù)題意，有，解得.∴直線P′Q的表達(dá)式為.……………4分當(dāng)時(shí)，解得.即.………………………5分根據(jù)題意，可知PP′＝4，PQ＝3，PQ⊥PP′，∴.∴“等高距離”最小值為5.…………………6分（3）Q（，）或Q（，）.………………8分隨練隨練1、如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過(guò)A、B，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，（1）求a，k的值；（2）在圖中求一點(diǎn)Q，A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小？若存在，求△ABM的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）拋物線的對(duì)稱軸是上是否存在一點(diǎn)N，使△ABN是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）﹣1（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）（3）△ABM的周長(zhǎng)的最小值為3+（4）存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）或（2，2）．【解析】（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，∴A（1，0），B（0，3），分別代入y=a（x﹣2）2+k，可得，解得，即a為1，k為﹣1；（2）由（1）可知拋物線解析式為y=（x﹣2）2﹣1，令y=0，可求得x=1或x=3，∴C（3，0），∴AC=3﹣1=2，AB=，過(guò)B作平行x軸的直線，在B點(diǎn)兩側(cè)分別截取線段BQ1=BQ2=AC=2，如圖1，∵B（0，3），∴Q1（﹣2，3），Q2（2，3）；過(guò)C作AB的平行線，在C點(diǎn)分別兩側(cè)截取CQ3=CQ4=AB=，如圖2，∵B（0，3），∴Q3、Q4到x軸的距離都等于B點(diǎn)到x軸的距離也為3，且到直線x=3的距離為1，∴Q3（2，3）、Q4（4，﹣3）；綜上可知滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；（3）由條件可知對(duì)稱軸方程為x=2，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接MA，如圖3，∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴AM=MC，∴BM+AM最小，∴△ABM周長(zhǎng)最小，∵B（0，3），C（3，0），∴可設(shè)直線BC解析式為y=mx+3，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m=﹣1，∴直線BC解析式為y=﹣x+3，當(dāng)x=2時(shí)，可得y=1，∴M（2，1）；∴存在滿足條件的M點(diǎn)，此時(shí)BC=3，且AB=，∴△ABM的周長(zhǎng)的最小值為3+；（4）由條件可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），則NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，當(dāng)△ABN為以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，即N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）或（2，2），綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，1）或（2，2）．隨練2、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??？（3）若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）5（2）（3）【解析】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP=；（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN=，∴NM′=11，∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴，即，解得AF=，即AF=時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最?。唬?）如圖2，由（2）知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時(shí)MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=，∵M(jìn)E=5，GQ=2，∴四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是．隨練3、如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=上．（1）求拋物線的解析式；（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E．當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)，在線段OB上以每秒2個(gè)OD長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)，在線段OD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PMN的面積最大，最大面積是多少？【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+4（2）C和點(diǎn)D都在所求拋物線上，理由見解析（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（4）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒時(shí)，△PMN面積為最大，最大值=【解析】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（0，4），∴c=4，∵頂點(diǎn)在直線x=上，∴﹣=﹣=，解得b=﹣，∴拋物線解析式為y=x2﹣x+4；（2）點(diǎn)C和點(diǎn)D在該拋物線上．理由如下：在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C（5，4），D（2，0），當(dāng)x=5時(shí)，y=x2﹣x+4=×52﹣×5+4=4，當(dāng)x=2時(shí)，y=x2﹣x+4=×22﹣×2+4=0，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；（3）如圖1，∵BC∥x軸，∴點(diǎn)B與點(diǎn)C為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)CD，CD交對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則PB+PD=PC+PD=CD，則此時(shí)PB+PD最小，所以△PBD的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+p，把C（5，4），D（2，0）代入得，解得，∴直線CD的解析式為y=x﹣，當(dāng)x=時(shí)，y=x﹣=×﹣=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（4）設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OM=4t．ON=t，S△PMN=S梯形OMPF﹣S△OMN﹣S△PFN=×（+4t）×﹣×4t×t﹣×（﹣t）×=﹣2t2+t二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線t=﹣=，而0≤t≤1，∴當(dāng)t=1時(shí)，S最大，最大值=﹣2+=．三角形三邊關(guān)系與最值問(wèn)題例題例題1、如圖1，點(diǎn)為正方形的中心．（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，，，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖1；（2）根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜想并證明與的關(guān)系；（3）如圖2，點(diǎn)是中點(diǎn)，△是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，，，，△繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的最大值．圖圖1圖2【答案】（1）見解析（2）⊥（3）【解析】（1）正確畫出圖形；………………1分（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)…2分∵為正方形的中心，∴，∠＝90°……3分∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°角得到∴∴∠＝∠＝90°∴∠＝∠……4分在△和△中，，，∠＝∠，∴△≌△∴.……5分∴∠＝∠∵∠+∠∴∠+∠=90°∴⊥……6分（3）的最大值為……8分例題2、如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A，E，連接CE．①依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長(zhǎng)．（2）如圖3，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，那么就將PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為CP+PM+MN的值，連接CN，當(dāng)點(diǎn)P落在CN上時(shí)，此題可解．請(qǐng)你參考小慧的思路，在圖3中證明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接寫出當(dāng)AC=BC=4時(shí)，PA+PB+PC的最小值．【答案】（1）①②3（2）見解析，【解析】（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示；②如圖，連接BD、CD∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四邊形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=；（2）證明：如圖所示，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接BN．由旋轉(zhuǎn)可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，當(dāng)AC=BC=4時(shí)，AB=4，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，∴此時(shí)CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=．例題3、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，連結(jié)AM、CM．（1）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最??；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．EEBDCAM【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】該題考查的是四邊形綜合．（1）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，的值最?。?分（2）如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)的值最小．……………2分理由如下：∵M(jìn)是正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)∴又，∴△ABM≌△CBM∴……………3分又∴∴在EC上取一點(diǎn)N使得，連結(jié)BN又∵∴△BNE≌△ABM……3分∴，又∵∴即∴△BMN是等邊三角形．∴……………4分∴．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得最短∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．……………5分（3）過(guò)E點(diǎn)作交CB的延長(zhǎng)線于F∴設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，……………6分在Rt△EFC中，∵，∴．解得（舍去負(fù)值）．∴正方形的邊長(zhǎng)為．……………7分例題4、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連結(jié)ED交AC于P，則PB+PE的最小值是____；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）；（2）2；（3）10【解析】（1）由題意知：連接ED交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PE最小，最小值為ED，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=1，由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，∴ED=，∴PB+PE的最小值為；（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，連接DC，AC，∴AD=4，∵∠AOC=60°，OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴AC=OA=2，∵AD是⊙O直徑，∴∠ACD=90°，∴由勾股定理可求得：CD=2，∴PA+PC的最小值為2；（3）作點(diǎn)C，使得點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OB對(duì)稱，作點(diǎn)D，使得點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于OA對(duì)稱，連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點(diǎn)Q、R，此時(shí)PR+RQ+PQ最小，最小值為CD的長(zhǎng)，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于OB對(duì)稱，∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，∵∠BOP+∠POA=45°，∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，由勾股定理可知：CD=10，∴△PQR周長(zhǎng)的最小值為10．例題5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．（1）如圖1，線段OM的長(zhǎng)度為________________；（2）如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ACB，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D、E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，且，以DE為邊在第三象限內(nèi)作正方形DGFE，請(qǐng)求出線段MG長(zhǎng)度的最大值，并直接寫出此時(shí)直線MG所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式．AAByxOM圖1yyBMOOxxACDEF圖2圖3【答案】（1）5（2）（3）【解析】該題考查的是三角形的綜合．（1）5（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．∴∵∴∵∴∵∴△BCQ≌△ACP∴．∵點(diǎn)在第一象限，∴不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(其中)設(shè)直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，∴，解得，∴直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為．（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM．∵，∴．同理．∵正方形DGFE，N為DE中點(diǎn)，，∴．在點(diǎn)M與G之間總有(如圖2)，由于的大小為定值，只要，且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立（如圖3）．∴線段MG取最大值．此時(shí)直線MG的解析式．圖1圖圖1圖2圖3隨練隨練1、已知，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接OA，OB，OC．（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC．①∠DAO的度數(shù)是；②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β．①當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時(shí)，OA+OB+OC有最小值？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出符合條件的圖形，并說(shuō)明理由；②若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值．【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；證明見解析（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；圖形見解析②【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案為：90°；②線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2=OC2，如圖1，連接OD，∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等邊三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①當(dāng)α=β=120°時(shí)，OA+OB+OC有最小值．如圖2，將△AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△A′O′C，連接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OCO′是等邊三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四點(diǎn)B，O，O′，A′共線，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時(shí)值最小；②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O為△ABC的中心，∵四點(diǎn)B，O，O′，A′共線，∴BD⊥AC，∵將△AOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，∴當(dāng)?shù)冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)為1時(shí)，OA+OB+OC的最小值A(chǔ)′B=．隨練2、如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．（1）求證：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析（2）①α=30°；②α=315°．【解析】（1）如圖1，延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；（2）①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：（Ⅰ）α由0°增大到90°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；（Ⅱ）α由90°增大到180°過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．綜上所述，當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，α=30°或150°．②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí)，AF′的長(zhǎng)最大，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴OA=OD=OC=OB=，∵OG=2OD，∴OG′=OG=，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=+2，∵∠COE′=45°，∴此時(shí)α=315°．隨練3、（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，M在DC上，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)DP+MP的值最小時(shí)，在圖（1）備用圖中作出點(diǎn)P的位置，求DP的值．（2）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)M是DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AM，作BP⊥AM于點(diǎn)P，連結(jié)DP，當(dāng)DP最小時(shí)，在圖（2）備用圖中作出點(diǎn)P的位置，求DP的值．【答案】（1）DP=（2）DP最小值=2﹣2【解析】（1）如圖1①，作點(diǎn)M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連結(jié)DM′交AC于點(diǎn)P，此時(shí)DP+MP最小，最小值為DM′，DM′===2，∵AD∥BC，△ADP∽△CM′P，∴DP：PM′=AD：CM′=2：1∴DP=DM′=；（2）如圖②正方形ABCD邊長(zhǎng)是4，所以三角形ABP的半徑是2，DN長(zhǎng)是2．DP最小是2√5﹣2．∵BP⊥AM，∴△ABP是直角三角形，∴以AB為直徑作△APB的外接圓，∵正方形ABCD邊長(zhǎng)是4，∴三角形ABP的半徑是2，DN長(zhǎng)是2．當(dāng)DP最小時(shí)，N、P、D三點(diǎn)共線∴DP最小值=2﹣2．拓展拓展1、如圖，直線y=x+1與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過(guò)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，且tan∠AHO=．（1）求k的值；（2）設(shè)點(diǎn)N（1，a）是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM+PN最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）k=6（2）存在p，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）【解析】（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，∵tan∠AHO==，∴OH=2，∵M(jìn)H⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，∵點(diǎn)M在直線y=x+1上，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，即M（2，3），∵點(diǎn)M在y=上，∴k=2×3=6；（2）∵點(diǎn)N（1，a）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a=6，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，6），過(guò)N作N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N1，連接MN1，交y軸于P（如圖），此時(shí)PM+PN最小，∵N與N1關(guān)于y軸的對(duì)稱，N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），∴N1的坐標(biāo)為（﹣1，6），設(shè)直線MN1的解析式為y=kx+b，把M，N1的坐標(biāo)得，解得：，∴直線MN1的解析式為y=﹣x+5，令x=0，得y=5，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．拓展2、如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，AE與y軸交F．（1）求拋物線的頂點(diǎn)D和F的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M、N是拋物線對(duì)稱軸上兩點(diǎn)，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，N四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小，若存在，求出這個(gè)周長(zhǎng)最小值，并求出a的值；（3）連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，自點(diǎn)D以2個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PQ，將△DPQ沿PQ翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，設(shè)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤）秒，求使得△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的時(shí)對(duì)應(yīng)的t值．【答案】（1）（2，﹣8），（0，﹣2）．（2）存在；10；﹣（3）或【解析】（1）∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)（2，﹣8），由題意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，則有，解得，∴直線AE解析式為y=﹣x﹣2，∴點(diǎn)F坐標(biāo)（0，﹣2）．（2）如圖1中，作點(diǎn)F關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接FF′交對(duì)稱軸于G，在CF上取一點(diǎn)C′，使得CC′=，連接C′F′與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，此時(shí)四邊形CMNF周長(zhǎng)最小．∵四邊形CMNF的周長(zhǎng)=CF+NM+CM+FN=5+CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（兩點(diǎn)之間線段最短），∴此時(shí)四邊形CMNF的周長(zhǎng)最?。逤′F=3∴GN=C′F=，∴﹣（a+）=2+，∴a=﹣，∵C′F′==5，∴四邊形CMNF的周長(zhǎng)最小值=5+5=10．（3）如圖2中，作PF⊥BD于F，QH⊥對(duì)稱軸于H．由題意可知BD==4，DQ=2t，∵S△PQG=S△DPQ=S△PD′Q，∴PG=PD′=PD=2=BF，情形①PG∥FB時(shí)，∵PF=PD，∴BG=GD，∴PG=BF=2，在Rt△QHD中，sin∠HDQ=，DQ=2t，∴HQ=2t，HD=4t，∵∠QPD′=∠QPD=45°，∴PH=HQ=2t，∴PH+HD=PD，∴6t=4，∴t=．情形②如圖3中，PG′=PG=2，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．由sin∠PDG=sin∠GPM=，∴MG′=MG=，∴G′D=BD﹣GG′=，∵，∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，∴QK=QJ，∴，∴QD=，∴t=，綜上所述t=或秒時(shí)，△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的．拓展3、如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，將△CEF沿EF翻折，點(diǎn)C的落點(diǎn)為M（1）如圖1，當(dāng)CE=5，M點(diǎn)落在線段AD上時(shí)，求MD的長(zhǎng)（2）如圖2，若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，將△CEF沿EF折疊，①連接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此時(shí)CE的長(zhǎng)，如果不可以，說(shuō)明理由②連接MD，如圖3，求四邊形ABMD的周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)CE的長(zhǎng)【答案】（1）MD的長(zhǎng)為2（2）①可以；CE=2或②四邊形ABMD的周長(zhǎng)的最小值為（4+12），此時(shí)CE的長(zhǎng)為4【解析】（1）如圖1，作EN⊥AD于點(diǎn)N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的長(zhǎng)為2；（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時(shí)，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直線上．∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=DF=CD=2．∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=2．∴BM=2﹣2．設(shè)EC=EM=x，則BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣x）2﹣x2=（2﹣2）2，解得：x=．∴CE=；如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時(shí)，∴∠MEC=90°∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四邊形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴CE=2或；②如圖4，∵四邊形ABMD的周長(zhǎng)最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直線上，∴點(diǎn)M在BD上．連結(jié)MC，∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，F(xiàn)C=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位線，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=4．∴四邊形ABMD的周長(zhǎng)的最小值為：4+4+8=4+12．答：四邊形ABMD的周長(zhǎng)的最小值為（4+12），此時(shí)CE的長(zhǎng)為4．拓展4、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，若α=90°，求AA′的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖②，若α=120°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）5（2）（，）（3）（，）【解析】（1）如圖①，∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′為等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+=，∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；（3）∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn)，如圖②，則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時(shí)O′P+BP的值最小，∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴C（0，﹣3），設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b，把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直線O′C的解析式為y=x﹣3，當(dāng)y=0時(shí)，x﹣3=0，解得x=，則P（，0），∴