愛提分中考復(fù)習(xí) 18三輪-最值問題-第02講 最值問題（二）(教師版)

高思愛提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時間01-1806:30:00-08:30:00 知識圖譜最值問題（二）知識精講一．將軍飲馬問題如圖所示，將軍在觀望烽火之后從山腳下的點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？如圖所示，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關(guān)于河岸的對稱點，連結(jié)，與河岸線相交于點，則點就是飲馬的地方，將軍只要從出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到營地，所走的路程就是最短的．二．將軍飲馬問題模型1.如圖，直線和的異側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最?。?.如圖，直線和的同側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最?。?．如圖，直線和同側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最大．4．如圖，直線和異側(cè)兩點、，在直線上求作一點，使最大．5．如圖，點是內(nèi)的一點，分別在，上作點，，使的周長最小．6．如圖，點，為內(nèi)的兩點，分別在，上作點，，使四邊形的周長最?。?．如圖，點是外的一點，在射線上作點，使與點到射線的距離之和最?。?．如圖，點是內(nèi)的一點，在射線上作點，使與點到射線的距離之和最?。鞓蜻x址問題如圖，和兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋，橋造在何處才能使從到的路徑最短？（假設(shè)河兩岸、平行,橋與河岸垂直）四．利用三邊關(guān)系關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點的所有線中，線段最短（兩點之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對大邊，小角對小邊．一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明，另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)．（判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等．）三點剖析一．考點：1．將軍飲馬問題；2．造橋選址問題．二．重難點：1．將軍飲馬問題的8大模型；2．造橋選址問題模型及其變式．三．易錯點：

1．無論是將軍飲馬問題還是造橋選址問題給定的都是兩個定點，很多學(xué)生可以直接套模型，但是如果兩個點中只有一個定點，另外一個點是動點就要結(jié)合其它與最值有關(guān)的知識點，比如最常見的就是“垂線段最短”．2．很多學(xué)生在利用將軍飲馬和造橋選址模型求解最短路徑問題時，往往自己做對稱點，其實很多時候圖形都是很特殊的，都自帶對稱圖形，這樣就直接在已有的線段上找對稱點，然后再求解，這樣會簡單很多．軸對稱與最值問題例題例題1、如圖所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長線上一點，且BD=1，連接DA，點P是射線DA上的動點．（1）求證DA是⊙O的切線；（2）DP的長度為多少時，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請說明理由．（3）P運動的過程中，（PB+PC）的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個最小值，若不能，說明理由．【答案】（1）見解析（2）點P運動到A處時，即DP=DA=時，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，為90°（3）（PB+PC）的值能達(dá)到最小，（BP+PC）的最小值為【解析】（1）證明：如圖，連接AO，∵∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=60°∴△ABO是等邊三角形，AB=BD=1，∴∠ADC=∠DAB=∠ABO=30°，∵∠AOC=60°，∴∠DAO=90°，∴DA是⊙O的切線；（2）如圖1，當(dāng)點P運動到A處時，即DP=DA=時，∠BPC的度數(shù)達(dá)到最大，為90°．理由如下：若點P不在A處時，不妨設(shè)點P在DA的延長線上的時，連接BP，與⊙O交于一點，記為點E，連接CE，則∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°．（3）如圖2，作點C關(guān)于射線DA的對稱點C′，則BP+PC=BP+PC′，當(dāng)點C′，P，B三點共線時，（BP+PC′）的值達(dá)到最小，最小值為BC′．過點C′作DC的垂線，垂足記為點H，連接DC′，在Rt△DCP中，∠PDC=30°，∴△DCC′為等邊三角形，故H為DC的中點，∴BH=DH﹣DB=CD﹣DB=﹣1=，C'H=DH=在Rt△BC'H中，根據(jù)勾股定理得，BC'==．∴（BP+PC）的最小值為．例題2、我們曾學(xué)過“兩點之間線段最短”的知識，?？衫盟鼇斫鉀Q兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點，使得最小．我們只要作點B關(guān)于l的對稱點B′，（如圖2所示）根據(jù)對稱性可知，．因此，求最小就相當(dāng)于求最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時最小，因此連接AB＇，與直線l的交點，就是要求的點P．有很多問題都可用類似的方法去思考解決．探究：（1）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，E為BC的中點，P是BD上一動點．連結(jié)EP，CP，則EP+CP的最小值是_______；（2）如圖4，A是銳角MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點B，C，組成△ABC，使△ABC周長最小；（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）如圖5，平面直角坐標(biāo)系中有兩點、，在y軸上找一點C，在x軸上找一點D，使得四邊形ABCD的周長最小，則點C的坐標(biāo)應(yīng)該是_______，點D的坐標(biāo)應(yīng)該_______．【答案】（1）（2）見解析（3）；【解析】該題考查的是對稱的性質(zhì)．（1）做點E關(guān)于線段BD的對稱點F，連接CF，即為最短距離，此時，………………1分FF（2）分別作點A關(guān)于OM，ON的對稱點D，E，連接DE，分別交OM，ON于點B，C，點B，C即為所求作的點；………………3分（點D，E作出各得1分，連接DE得1分，寫出結(jié)論得1分）（3）作B關(guān)于y軸的對稱點E和A關(guān)于x軸的對稱點F，連接EF，分別于x，y軸交于C，D，點C，D即所求的點，設(shè)函數(shù)圖像為，代入，得方程組，解得，分別代入，，得到交點坐標(biāo)C，D．………………5分EEFCD例題3、如圖，拋物線y=ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y=﹣x+4交拋物線于點C．（1）求此拋物線的解析式；（2）在直線AC上有一動點E，當(dāng)點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）（，）【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣4與x軸交于兩點A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴此拋物線的解析式為：y=x2﹣3x﹣4；（2）如圖1，作點B關(guān)于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，由（1）得，拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4，∴D（0，﹣4），∵直線y=﹣x+4交拋物線于點C，∴解得，或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∵直線AC解析式為y=﹣x+4，直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直線BF解析式為y=x+1，設(shè)點F（m，m+1），∴G（，），∵點G在直線AC上，∴﹣+4=，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直線DF解析式為y=x﹣4，解得∴直線DF和直線AC的交點E（，）．例題4、定義:對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ和點M，在△MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2時，稱M為PQ的“等高點”，稱此時MP+MQ為PQ的“等高距離”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在點A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高點”是；②若M（t，0）為PQ的“等高點”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，當(dāng)PQ的“等高點”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時，直接寫出點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）A、B（2）見解析（3）Q（，）或Q（，）【解析】解:（1）A、B……………2分（2）如圖，作點P關(guān)于x軸的對稱點P′，連接P′Q，P′Q與x軸的交點即為“等高點”M，此時“等高距離”最小，最小值為線段P′Q的長.………3分∵P(1，2)，∴P′(1，－2).設(shè)直線P′Q的表達(dá)式為，根據(jù)題意，有，解得.∴直線P′Q的表達(dá)式為.……………4分當(dāng)時，解得.即.………………………5分根據(jù)題意，可知PP′＝4，PQ＝3，PQ⊥PP′，∴.∴“等高距離”最小值為5.…………………6分（3）Q（，）或Q（，）.………………8分隨練隨練1、如圖，直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過A、B，并與x軸交于另一點C，其頂點為P，（1）求a，k的值；（2）在圖中求一點Q，A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標(biāo)；（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使△ABM的周長最小？若存在，求△ABM的周長；若不存在，請說明理由；（4）拋物線的對稱軸是上是否存在一點N，使△ABN是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出N點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）﹣1（2）Q點的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）（3）△ABM的周長的最小值為3+（4）存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為（2，1）或（2，2）．【解析】（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，∴A（1，0），B（0，3），分別代入y=a（x﹣2）2+k，可得，解得，即a為1，k為﹣1；（2）由（1）可知拋物線解析式為y=（x﹣2）2﹣1，令y=0，可求得x=1或x=3，∴C（3，0），∴AC=3﹣1=2，AB=，過B作平行x軸的直線，在B點兩側(cè)分別截取線段BQ1=BQ2=AC=2，如圖1，∵B（0，3），∴Q1（﹣2，3），Q2（2，3）；過C作AB的平行線，在C點分別兩側(cè)截取CQ3=CQ4=AB=，如圖2，∵B（0，3），∴Q3、Q4到x軸的距離都等于B點到x軸的距離也為3，且到直線x=3的距離為1，∴Q3（2，3）、Q4（4，﹣3）；綜上可知滿足條件的Q點的坐標(biāo)為（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；（3）由條件可知對稱軸方程為x=2，連接BC交對稱軸于點M，連接MA，如圖3，∵A、C兩點關(guān)于對稱軸對稱，∴AM=MC，∴BM+AM最小，∴△ABM周長最小，∵B（0，3），C（3，0），∴可設(shè)直線BC解析式為y=mx+3，把C點坐標(biāo)代入可求得m=﹣1，∴直線BC解析式為y=﹣x+3，當(dāng)x=2時，可得y=1，∴M（2，1）；∴存在滿足條件的M點，此時BC=3，且AB=，∴△ABM的周長的最小值為3+；（4）由條件可設(shè)N點坐標(biāo)為（2，n），則NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，當(dāng)△ABN為以AB為斜邊的直角三角形時，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，即N點坐標(biāo)為（2，1）或（2，2），綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為（2，1）或（2，2）．隨練2、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當(dāng)AF等于多少時，△MEF的周長最小？（3）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結(jié)果保留根號）【答案】（1）5（2）（3）【解析】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP=；（2）如圖1，作點M關(guān)于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN=，∴NM′=11，∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴，即，解得AF=，即AF=時，△MEF的周長最小；（3）如圖2，由（2）知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=，∵M(jìn)E=5，GQ=2，∴四邊形MEQG的最小周長值是．隨練3、如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，且頂點在直線x=上．（1）求拋物線的解析式；（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E．當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，已知在對稱軸上存在一點P，使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標(biāo)；（4）在（2）、（3）的條件下，點M從O點出發(fā)，在線段OB上以每秒2個OD長度的速度向B點運動，同時點Q從O點出發(fā)，在線段OD上以每秒1個單位長度的速度向D點運動，其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，求運動多少秒使△PMN的面積最大，最大面積是多少？【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+4（2）C和點D都在所求拋物線上，理由見解析（3）P點坐標(biāo)為（，）（4）運動時間為1秒時，△PMN面積為最大，最大值=【解析】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B（0，4），∴c=4，∵頂點在直線x=上，∴﹣=﹣=，解得b=﹣，∴拋物線解析式為y=x2﹣x+4；（2）點C和點D在該拋物線上．理由如下：在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C（5，4），D（2，0），當(dāng)x=5時，y=x2﹣x+4=×52﹣×5+4=4，當(dāng)x=2時，y=x2﹣x+4=×22﹣×2+4=0，∴點C和點D都在所求拋物線上；（3）如圖1，∵BC∥x軸，∴點B與點C為拋物線上的對稱點，連結(jié)CD，CD交對稱軸交于點P，則PB+PD=PC+PD=CD，則此時PB+PD最小，所以△PBD的周長最小，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+p，把C（5，4），D（2，0）代入得，解得，∴直線CD的解析式為y=x﹣，當(dāng)x=時，y=x﹣=×﹣=，∴P點坐標(biāo)為（，）；（4）設(shè)對稱軸交x軸于點F，運動時間為t秒，則OM=4t．ON=t，S△PMN=S梯形OMPF﹣S△OMN﹣S△PFN=×（+4t）×﹣×4t×t﹣×（﹣t）×=﹣2t2+t二次函數(shù)的對稱軸為直線t=﹣=，而0≤t≤1，∴當(dāng)t=1時，S最大，最大值=﹣2+=．三角形三邊關(guān)系與最值問題例題例題1、如圖1，點為正方形的中心．（1）將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為點，連結(jié)，，，請依題意補(bǔ)全圖1；（2）根據(jù)圖1中補(bǔ)全的圖形，猜想并證明與的關(guān)系；（3）如圖2，點是中點，△是等腰直角三角形，是的中點，，，，△繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的最大值．圖圖1圖2【答案】（1）見解析（2）⊥（3）【解析】（1）正確畫出圖形；………………1分（2）延長交于點，交于點…2分∵為正方形的中心，∴，∠＝90°……3分∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°角得到∴∴∠＝∠＝90°∴∠＝∠……4分在△和△中，，，∠＝∠，∴△≌△∴.……5分∴∠＝∠∵∠+∠∴∠+∠=90°∴⊥……6分（3）的最大值為……8分例題2、如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點P為△ABC內(nèi)一點．（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應(yīng)點分別為點D，A，E，連接CE．①依題意，請在圖2中補(bǔ)全圖形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長．（2）如圖3，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，那么就將PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為CP+PM+MN的值，連接CN，當(dāng)點P落在CN上時，此題可解．請你參考小慧的思路，在圖3中證明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接寫出當(dāng)AC=BC=4時，PA+PB+PC的最小值．【答案】（1）①②3（2）見解析，【解析】（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示；②如圖，連接BD、CD∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四邊形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=；（2）證明：如圖所示，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接BN．由旋轉(zhuǎn)可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等邊三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，當(dāng)AC=BC=4時，AB=4，當(dāng)C、P、M、N四點共線時，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，∴此時CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=．例題3、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，連結(jié)AM、CM．（1）當(dāng)M點在何處時，AM＋CM的值最??；（2）當(dāng)M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長．EEBDCAM【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】該題考查的是四邊形綜合．（1）當(dāng)M點落在BD的中點時，的值最小．……………1分（2）如圖，連接CE，當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時的值最小．……………2分理由如下：∵M(jìn)是正方形ABCD對角線上一點∴又，∴△ABM≌△CBM∴……………3分又∴∴在EC上取一點N使得，連結(jié)BN又∵∴△BNE≌△ABM……3分∴，又∵∴即∴△BMN是等邊三角形．∴……………4分∴．根據(jù)“兩點之間線段最短”，得最短∴當(dāng)M點位于BD與CE的交點處時，的值最小，即等于EC的長．……………5分（3）過E點作交CB的延長線于F∴設(shè)正方形的邊長為x，則，……………6分在Rt△EFC中，∵，∴．解得（舍去負(fù)值）．∴正方形的邊長為．……………7分例題4、幾何模型：條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最?。椒ǎ鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A′，連結(jié)A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最?。ú槐刈C明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連結(jié)BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱．連結(jié)ED交AC于P，則PB+PE的最小值是____；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．【答案】（1）；（2）2；（3）10【解析】（1）由題意知：連接ED交AC于點P，此時PB+PE最小，最小值為ED，∵點E是AB的中點，∴AE=1，由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，∴ED=，∴PB+PE的最小值為；（2）延長AO交⊙O于點D，連接DC，AC，∴AD=4，∵∠AOC=60°，OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴AC=OA=2，∵AD是⊙O直徑，∴∠ACD=90°，∴由勾股定理可求得：CD=2，∴PA+PC的最小值為2；（3）作點C，使得點P與點C關(guān)于OB對稱，作點D，使得點P與點D關(guān)于OA對稱，連接OC、OD、CD，CD交OA、OB于點Q、R，此時PR+RQ+PQ最小，最小值為CD的長，∵點P與點C關(guān)于OB對稱，∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，∵∠BOP+∠POA=45°，∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，由勾股定理可知：CD=10，∴△PQR周長的最小值為10．例題5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且，點M為線段AB的中點．（1）如圖1，線段OM的長度為________________；（2）如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ACB，當(dāng)點C在第一象限時，求直線OC所對應(yīng)的函數(shù)的解析式；（3）如圖3，設(shè)點D、E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，且，以DE為邊在第三象限內(nèi)作正方形DGFE，請求出線段MG長度的最大值，并直接寫出此時直線MG所對應(yīng)的函數(shù)的解析式．AAByxOM圖1yyBMOOxxACDEF圖2圖3【答案】（1）5（2）（3）【解析】該題考查的是三角形的綜合．（1）5（2）如圖1,過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．∴∵∴∵∴∵∴△BCQ≌△ACP∴．∵點在第一象限，∴不妨設(shè)C點的坐標(biāo)為(其中)設(shè)直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為，∴，解得，∴直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為．（3）取DE的中點N，連結(jié)ON、NG、OM．∵，∴．同理．∵正方形DGFE，N為DE中點，，∴．在點M與G之間總有(如圖2)，由于的大小為定值，只要，且M、N關(guān)于點O中心對稱時，M、O、N、G四點共線，此時等號成立（如圖3）．∴線段MG取最大值．此時直線MG的解析式．圖1圖圖1圖2圖3隨練隨練1、已知，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OB，OC．（1）如圖1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．①∠DAO的度數(shù)是；②用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）設(shè)∠AOB=α，∠BOC=β．①當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時，OA+OB+OC有最小值？請在圖2中畫出符合條件的圖形，并說明理由；②若等邊△ABC的邊長為1，直接寫出OA+OB+OC的最小值．【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；證明見解析（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；圖形見解析②【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案為：90°；②線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2=OC2，如圖1，連接OD，∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等邊三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①當(dāng)α=β=120°時，OA+OB+OC有最小值．如圖2，將△AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A′O′C，連接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OCO′是等邊三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四點B，O，O′，A′共線，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′時值最?。虎凇摺螦OB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O為△ABC的中心，∵四點B，O，O′，A′共線，∴BD⊥AC，∵將△AOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，∴當(dāng)?shù)冗叀鰽BC的邊長為1時，OA+OB+OC的最小值A(chǔ)′B=．隨練2、如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．（1）求證：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．【答案】（1）見解析（2）①α=30°；②α=315°．【解析】（1）如圖1，延長ED交AG于點H，∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：（Ⅰ）α由0°增大到90°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時，∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；（Ⅱ）α由90°增大到180°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．綜上所述，當(dāng)∠OAG′=90°時，α=30°或150°．②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，∵正方形ABCD的邊長為1，∴OA=OD=OC=OB=，∵OG=2OD，∴OG′=OG=，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=+2，∵∠COE′=45°，∴此時α=315°．隨練3、（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，M是CD的中點，點P是AC邊上的一動點，則當(dāng)DP+MP的值最小時，在圖（1）備用圖中作出點P的位置，求DP的值．（2）如圖，已知正方形ABCD的邊長是4，點M是DC上的一個動點，連結(jié)AM，作BP⊥AM于點P，連結(jié)DP，當(dāng)DP最小時，在圖（2）備用圖中作出點P的位置，求DP的值．【答案】（1）DP=（2）DP最小值=2﹣2【解析】（1）如圖1①，作點M關(guān)于BC的對稱點M′，連結(jié)DM′交AC于點P，此時DP+MP最小，最小值為DM′，DM′===2，∵AD∥BC，△ADP∽△CM′P，∴DP：PM′=AD：CM′=2：1∴DP=DM′=；（2）如圖②正方形ABCD邊長是4，所以三角形ABP的半徑是2，DN長是2．DP最小是2√5﹣2．∵BP⊥AM，∴△ABP是直角三角形，∴以AB為直徑作△APB的外接圓，∵正方形ABCD邊長是4，∴三角形ABP的半徑是2，DN長是2．當(dāng)DP最小時，N、P、D三點共線∴DP最小值=2﹣2．拓展拓展1、如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=．（1）求k的值；（2）設(shè)點N（1，a）是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的點，在y軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）k=6（2）存在p，P點坐標(biāo)為（0，5）【解析】（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，∵tan∠AHO==，∴OH=2，∵M(jìn)H⊥x軸，∴點M的橫坐標(biāo)為2，∵點M在直線y=x+1上，∴點M的縱坐標(biāo)為3，即M（2，3），∵點M在y=上，∴k=2×3=6；（2）∵點N（1，a）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a=6，即點N的坐標(biāo)為（1，6），過N作N關(guān)于y軸的對稱點N1，連接MN1，交y軸于P（如圖），此時PM+PN最小，∵N與N1關(guān)于y軸的對稱，N點坐標(biāo)為（1，6），∴N1的坐標(biāo)為（﹣1，6），設(shè)直線MN1的解析式為y=kx+b，把M，N1的坐標(biāo)得，解得：，∴直線MN1的解析式為y=﹣x+5，令x=0，得y=5，∴P點坐標(biāo)為（0，5）．拓展2、如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣6與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，點D為頂點，點E在拋物線上，且橫坐標(biāo)為4，AE與y軸交F．（1）求拋物線的頂點D和F的坐標(biāo)；（2）點M、N是拋物線對稱軸上兩點，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，N四點所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個周長最小值，并求出a的值；（3）連接BC交對稱軸于點P，點Q是線段BD上的一個動點，自點D以2個單位每秒的速度向終點B運動，連接PQ，將△DPQ沿PQ翻折，點D的對應(yīng)點為D′，設(shè)Q點的運動時間為t（0≤t≤）秒，求使得△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的時對應(yīng)的t值．【答案】（1）（2，﹣8），（0，﹣2）．（2）存在；10；﹣（3）或【解析】（1）∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴頂點D坐標(biāo)（2，﹣8），由題意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，則有，解得，∴直線AE解析式為y=﹣x﹣2，∴點F坐標(biāo)（0，﹣2）．（2）如圖1中，作點F關(guān)于對稱軸的對稱點F′，連接FF′交對稱軸于G，在CF上取一點C′，使得CC′=，連接C′F′與對稱軸交于點N，此時四邊形CMNF周長最?。咚倪呅蜟MNF的周長=CF+NM+CM+FN=5+CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（兩點之間線段最短），∴此時四邊形CMNF的周長最小．∵C′F=3∴GN=C′F=，∴﹣（a+）=2+，∴a=﹣，∵C′F′==5，∴四邊形CMNF的周長最小值=5+5=10．（3）如圖2中，作PF⊥BD于F，QH⊥對稱軸于H．由題意可知BD==4，DQ=2t，∵S△PQG=S△DPQ=S△PD′Q，∴PG=PD′=PD=2=BF，情形①PG∥FB時，∵PF=PD，∴BG=GD，∴PG=BF=2，在Rt△QHD中，sin∠HDQ=，DQ=2t，∴HQ=2t，HD=4t，∵∠QPD′=∠QPD=45°，∴PH=HQ=2t，∴PH+HD=PD，∴6t=4，∴t=．情形②如圖3中，PG′=PG=2，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．由sin∠PDG=sin∠GPM=，∴MG′=MG=，∴G′D=BD﹣GG′=，∵，∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，∴QK=QJ，∴，∴QD=，∴t=，綜上所述t=或秒時，△D′PQ與△PQB重疊部分的面積為△DPQ面積的．拓展3、如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點E、F分別在線段BC、CD上，將△CEF沿EF翻折，點C的落點為M（1）如圖1，當(dāng)CE=5，M點落在線段AD上時，求MD的長（2）如圖2，若點F是CD的中點，點E在線段BC上運動，將△CEF沿EF折疊，①連接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此時CE的長，如果不可以，說明理由②連接MD，如圖3，求四邊形ABMD的周長的最小值和此時CE的長【答案】（1）MD的長為2（2）①可以；CE=2或②四邊形ABMD的周長的最小值為（4+12），此時CE的長為4【解析】（1）如圖1，作EN⊥AD于點N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的長為2；（2）①如圖2，當(dāng)∠BME=90°時，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直線上．∵F是BC的中點，∴CF=DF=CD=2．∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=2．∴BM=2﹣2．設(shè)EC=EM=x，則BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣x）2﹣x2=（2﹣2）2，解得：x=．∴CE=；如圖3，當(dāng)∠BEM=90°時，∴∠MEC=90°∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四邊形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴CE=2或；②如圖4，∵四邊形ABMD的周長最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直線上，∴點M在BD上．連結(jié)MC，∵△EFC與△EFM關(guān)于直線EF對稱，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，F(xiàn)C=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位線，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=4．∴四邊形ABMD的周長的最小值為：4+4+8=4+12．答：四邊形ABMD的周長的最小值為（4+12），此時CE的長為4．拓展4、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，若α=90°，求AA′的長；（Ⅱ）如圖②，若α=120°，求點O′的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，當(dāng)O′P+BP′取得最小值時，求點P′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）5（2）（，）（3）（，）【解析】（1）如圖①，∵點A（4，0），點B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′為等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+=，∴O′點的坐標(biāo)為（，）；（3）∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點P的對應(yīng)點為P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B點關(guān)于x軸的對稱點C，連結(jié)O′C交x軸于P點，如圖②，則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時O′P+BP的值最小，∵點C與點B關(guān)于x軸對稱，∴C（0，﹣3），設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b，把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直線O′C的解析式為y=x﹣3，當(dāng)y=0時，x﹣3=0，解得x=，則P（，0），∴