專(zhuān)題11三角形(原卷版+解析)

專(zhuān)題11三角形三角形的相關(guān)概念應(yīng)用1．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線(xiàn)段CD是△ABC的AC邊上的高線(xiàn) B．線(xiàn)段CD是△ABC的AB邊上的高線(xiàn) C．線(xiàn)段AD是△ABC的BC邊上的高線(xiàn) D．線(xiàn)段AD是△ABC的AC邊上的高線(xiàn)2．（2023?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長(zhǎng)分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)G，AG長(zhǎng)為c．（1）若四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為．3．（2023?浙江）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F．若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）A．12 B．14 C．18 D．244．（2023?金華）在下列長(zhǎng)度的四條線(xiàn)段中，能與長(zhǎng)6cm，8cm的兩條線(xiàn)段圍成一個(gè)三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm5．（2022?衢州）線(xiàn)段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長(zhǎng)度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（2022?金華）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和8cm，則第三邊的長(zhǎng)可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm全等三角形的判定與性質(zhì)7．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線(xiàn)，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL8．（2022?衢州）已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：AB＝AD．9．（2021?臺(tái)州）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，求∠BAD的度數(shù)．10．（2021?杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．問(wèn)題：如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在AB邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），點(diǎn)E在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F．若，求證：BE＝CD．等腰三角形的判定與性質(zhì)11．（2021?溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線(xiàn)，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．（1）求證：DE∥BC；（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．12．（2022?寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．413．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．直角三角形的性質(zhì)14．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線(xiàn)EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°15．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．16．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線(xiàn)段FC的長(zhǎng)．17．（2022?舟山）如圖，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，點(diǎn)A在邊DE的中點(diǎn)上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．18．（2022?金華）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，連結(jié)CC'，則四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為cm．等腰直角三角形19．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．120．（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（）A．12 B．9 C．6 D．321．（2022?嘉興）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在括號(hào)內(nèi)填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件．三角形中位線(xiàn)定理22．（2022?麗水）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則四邊形BDEF的周長(zhǎng)是（）A．28 B．14 C．10 D．723．（2021?衢州）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．1524．（2021?寧波）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．25．（2023?金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長(zhǎng)為cm．26．（2022?臺(tái)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長(zhǎng)為10，則CD的長(zhǎng)為．三角形綜合題27．（2022?嘉興）小東在做九上課本123頁(yè)習(xí)題：“1：也是一個(gè)很有趣的比．已知線(xiàn)段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的“趣點(diǎn)”．（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線(xiàn)段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線(xiàn)段ME的“趣點(diǎn)”？并說(shuō)明理由．28．（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．相似三角形的判定與性質(zhì)29．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可能是（）A． B． C．10 D．30．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F、N是線(xiàn)段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF：M是線(xiàn)段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積31．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)．設(shè)＝k，若AD＝DF，則＝（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．32．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為．33．（2022?湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，＝．若DE＝2，則BC的長(zhǎng)是．34．（2022?紹興）如圖，AB＝10，點(diǎn)C是射線(xiàn)BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC，作CD⊥AC，CD＝AC，動(dòng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，tan∠QBE＝3，連結(jié)CE，DE，當(dāng)CE＝DE，CE⊥DE時(shí)，BE的長(zhǎng)是．35．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．相似形綜合應(yīng)用題36．（2022?杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿DE直立在同一水平地面上（如圖）．同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝m．37．（2022?溫州）如圖是某風(fēng)車(chē)示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)恰好垂直照射葉片OA，OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線(xiàn)段CD，測(cè)得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2：3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于米．38．（2022?寧波）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點(diǎn)G，求證：DG＝EG．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為AO上一點(diǎn)，EG∥BD交AD于點(diǎn)G，EF⊥EG交BC于點(diǎn)F．若∠EGF＝40°，F(xiàn)G平分∠EFC，F(xiàn)G＝10，求BF的長(zhǎng)．

專(zhuān)題11三角形三角形的相關(guān)概念應(yīng)用1．（2022?杭州）如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知∠ABC是鈍角，則（）A．線(xiàn)段CD是△ABC的AC邊上的高線(xiàn) B．線(xiàn)段CD是△ABC的AB邊上的高線(xiàn) C．線(xiàn)段AD是△ABC的BC邊上的高線(xiàn) D．線(xiàn)段AD是△ABC的AC邊上的高線(xiàn)【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．【解答】解：A、線(xiàn)段CD是△ABC的AB邊上的高線(xiàn)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、線(xiàn)段CD是△ABC的AB邊上的高線(xiàn)，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；C、線(xiàn)段AD不是△ABC的BC邊上高線(xiàn)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、線(xiàn)段AD不是△ABC的AC邊上高線(xiàn)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．2．（2023?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長(zhǎng)分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)G，AG長(zhǎng)為c．（1）若四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為5a+5b＝7c；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為a2+b2＝c2．【分析】（1）由△ADE和△CBF是等邊三角形，可得△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根據(jù)四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；（2）由S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即c2＝a2+b2，從而可得a2+b2＝c2．【解答】解：（1）∵△ADE和△CBF是等邊三角形，∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，∴△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，∴四邊形EHFG是平行四邊形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，∵四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），整理得：5a+5b＝7c，故答案為：5a+5b＝7c；（2）∵S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，∵△ABG，△ADE和△CBF是等邊三角形，∴c2＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，故答案為：a2+b2＝c2．3．（2023?浙江）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F．若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）A．12 B．14 C．18 D．24【分析】連接BD，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在BD上，由三角形中線(xiàn)平分三角形的面積可知：S△ABC＝2S△BDC，證明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．【解答】解：如圖，連接BD．∵點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，∴BP：PD＝2：1，∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝，∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝（）2＝（）2＝，設(shè)△DFP的面積為m，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9m，∵四邊形CDFE的面積為6，∴m+9m﹣4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面積為9，∴△ABC的面積是18．故選：C．4．（2023?金華）在下列長(zhǎng)度的四條線(xiàn)段中，能與長(zhǎng)6cm，8cm的兩條線(xiàn)段圍成一個(gè)三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先設(shè)第三條線(xiàn)段長(zhǎng)為xcm，再利用三角形的三邊關(guān)系可得x的范圍，然后可得答案．【解答】解：設(shè)第三條線(xiàn)段長(zhǎng)為xcm，由題意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm適合，故選：C．5．（2022?衢州）線(xiàn)段a，b，c首尾順次相接組成三角形，若a＝1，b＝3，則c的長(zhǎng)度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊直接列式計(jì)算即可．【解答】解：∵線(xiàn)段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A．6．（2022?金華）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和8cm，則第三邊的長(zhǎng)可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm【分析】由三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和8cm，可得第三邊x的長(zhǎng)度范圍即可得出答案．【解答】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和8cm，∴第三邊x的長(zhǎng)度范圍為：3cm＜x＜13cm，∴第三邊的長(zhǎng)度可能是：6cm．故選：C．全等三角形的判定與性質(zhì)7．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線(xiàn)，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依據(jù)．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故選：B．8．（2022?衢州）已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：AB＝AD．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA證明△ACB≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】證明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．9．（2021?臺(tái)州）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，求∠BAD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知條件利于SSS即可求證△ABC≌△ADC；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)已知條件利于銳角三角函數(shù)求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)Rt△ABE邊的關(guān)系即可推出∠BAC的度數(shù)，從而求出∠BAD的度數(shù)．【解答】解：（1）證明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示，∵∠BCA＝45°，BC＝10，∴sin∠BCA＝sin45°＝＝＝，∴BE＝10，又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10，∴∠BAE＝30°，又∵△ABC≌△ADC，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°．10．（2021?杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．問(wèn)題：如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在AB邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），點(diǎn)E在AC邊上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），連接BE，CD，BE與CD相交于點(diǎn)F．若①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC），求證：BE＝CD．【分析】若選擇條件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，則可根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△ACD，從而得到BE＝CD；選擇條件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABE≌△ACD，從而得到BE＝CD；選擇條件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再證明∠ABE＝∠ACD，則可根據(jù)“ASA”可判斷△ABE≌△ACD，從而得到BE＝CD．【解答】證明：選擇條件①的證明為：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；選擇條件②的證明為：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；選擇條件③的證明為：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．故答案為①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）等腰三角形的判定與性質(zhì)11．（2021?溫州）如圖，BE是△ABC的角平分線(xiàn)，在AB上取點(diǎn)D，使DB＝DE．（1）求證：DE∥BC；（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠DBE＝∠EBC，從而求出∠DEB＝∠EBC，再利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行證明即可；（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分線(xiàn)求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．【解答】（1）證明：∵BE是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DBE＝∠EBC，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵BE是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠DBE＝∠EBC＝．12．（2022?寧波）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．4【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)可以求得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝AD＝4，故選：D．13．（2022?溫州）如圖，BD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠EBD＝∠EDB．（2）當(dāng)AB＝AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用角平分線(xiàn)的定義和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，從而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代換即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．直角三角形的性質(zhì)14．（2022?紹興）如圖，把一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)B放在直線(xiàn)EF上，∠C＝30°，AC∥EF，則∠1＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，可以得到∠CBF的度數(shù)，再根據(jù)∠ABC＝90°，可以得到∠1的度數(shù)．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故選：C．15．（2021?杭州）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求證：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面積．【分析】（1）計(jì)算出∠ADB和∠BAC，利用等角對(duì)等邊即可證明；（2）利用銳角三角函數(shù)求出BC即可計(jì)算△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，∴S△ABC＝BC×AE＝．16．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線(xiàn)段FC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長(zhǎng)，再解直角三角形即可求出FC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE?cos30°＝．17．（2022?舟山）如圖，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，點(diǎn)A在邊DE的中點(diǎn)上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．【分析】方法一：根據(jù)題意先作出合適的輔助線(xiàn)，然后根據(jù)勾股定理可以得到AB和BC的長(zhǎng)，根據(jù)等面積法可以求得EG的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)，最后計(jì)算出CE的長(zhǎng)即可．方法二：延長(zhǎng)ED到F，使得DE＝DF，連接CF，BF，然后根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，可以求得CE的長(zhǎng)．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，作EG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四邊形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故選：D．方法二：延長(zhǎng)ED到F，使得DE＝DF，連接CF，BF，如圖所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BFA＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵點(diǎn)A為DE的中點(diǎn)，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故選：D．18．（2022?金華）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，連結(jié)CC'，則四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為（8+2）cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和平移的性質(zhì)，求得四邊形AB'C'C的四邊即可求得結(jié)論．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4cm，∴AC＝＝2cm．∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，∴B′C′＝BC＝2cm，AA′＝CC′＝1cm，A′B′＝AB＝4cm，∴AB′＝AA′+A′B′＝5cm．∴四邊形AB'C'C的周長(zhǎng)為AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案為：（8+2）．等腰直角三角形19．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點(diǎn)E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．1【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，證明四邊形AFHG是正方形，則AG＝GH，再證明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，則DG＝EG，CH＝EH，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)E作GH⊥BC于H，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE＝＝．解法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴＝，∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴＝＝，∵AD＝1，∴EF＝，∴CE＝EF＝．故選：A．20．（2022?湖州）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（）A．12 B．9 C．6 D．3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝3，AD⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出ED，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC，在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，∴S△EBC＝BC?ED＝×6×3＝9，故選：B．21．（2022?嘉興）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請(qǐng)幫他在括號(hào)內(nèi)填上一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件∠B＝60°（答案不唯一）．【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理填空即可．【解答】解：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故答案為：∠B＝60°．（答案不唯一）三角形中位線(xiàn)定理22．（2022?麗水）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則四邊形BDEF的周長(zhǎng)是（）A．28 B．14 C．10 D．7【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，∴DE＝BF＝AB＝3，∵E、F分別為AC、AB中點(diǎn)，∴EF＝BD＝BC＝4，∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)為：2×（3+4）＝14，故選：B．23．（2021?衢州）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理、線(xiàn)段中點(diǎn)的概念分別求出AD、DE、EF、AF，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，∴四邊形ADEF的周長(zhǎng)＝AD+DE+EF+AF＝9，故選：B．24．（2021?寧波）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝．若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出AD＝BD＝，由銳角三角函數(shù)的定義求出DC＝1，由三角形的中位線(xiàn)定理可求出答案．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，BD＝，∴AD＝BD＝，∵∠C＝60°，∴DC＝＝＝1，∴AC＝2DC＝2，∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF＝AC＝1．故選：C．25．（2023?金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長(zhǎng)為8cm．【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴CD是△AOB的中位線(xiàn)，∴AB＝2CD，∵CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8（cm），故答案為：8．26．（2022?臺(tái)州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．若EF的長(zhǎng)為10，則CD的長(zhǎng)為10．【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出AB，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)即可求出CD．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別為BC，CA的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點(diǎn)，AB＝20，∴CD＝AB＝10，故答案為：10．三角形綜合題27．（2022?嘉興）小東在做九上課本123頁(yè)習(xí)題：“1：也是一個(gè)很有趣的比．已知線(xiàn)段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的“趣點(diǎn)”．（1）你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線(xiàn)段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線(xiàn)段ME的“趣點(diǎn)”？并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明，再利用AC＝AP，即可得出結(jié)論；（2）①由題意可得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°，∠CPB＝112.5°，證明∠DPE＝∠CPB＝112.5°，從而可得答案；②先證明△ADP∽△ACB，可得∠APD＝45°，DP∥CB，再證明MP＝MD＝MC＝MN，∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，從而可得出結(jié)論．【解答】解：（1）贊同，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°＝，∵AC＝AP，∴，∴點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的“趣點(diǎn)”．（2）①由題意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴＝67.5°，∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE∽△CPB，D，A重合，∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；②點(diǎn)N是線(xiàn)段ME的趣點(diǎn)，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D為線(xiàn)段AC的趣點(diǎn)時(shí)（CD＜AD），∴，∵AC＝AP，∴，∵，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴∠ADP＝∠ACB＝90°，∴∠APD＝45°，DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，∴DM＝PM，∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MD＝MC，同理可得MC＝MN，∴MP＝MD＝MC＝MN，∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，∴＝，∴點(diǎn)N是線(xiàn)段ME的“趣點(diǎn)”．28．（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD＝α．（1）如圖，當(dāng)P與E重合時(shí)，求α的度數(shù)．（2）當(dāng)P與E不重合時(shí)，記∠BAD＝β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據(jù)AE平分∠BAC，P與E重合，即得∠ACD＝∠ADC＝65°，從而α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BE上時(shí)，可得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，根據(jù)∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，即可得2α﹣β＝50°；②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，由∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD可得90°﹣α＝40°+α+β，2α+β＝50°．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P與E重合，∴D在AB邊上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度數(shù)為25°；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BE上時(shí)，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CE上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，如圖：∵將△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BE上時(shí)，2α﹣β＝50°；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CE上時(shí)，2α+β＝50°．相似三角形的判定與性質(zhì)29．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可能是（）A． B． C．10 D．【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類(lèi)討論的方法，求出剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【解答】解：如右圖1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，則，設(shè)DF＝x，CE＝y(tǒng)，則，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故選項(xiàng)B不符合題意；EB＝DF+AD＝+2＝，故選項(xiàng)D不符合題意；如圖2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，則，設(shè)FC＝m，F(xiàn)D＝n，則，解得，∴FD＝10，故選項(xiàng)C不符合題意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如圖3所示：此時(shí)兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為6和7；故選：A．30．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F、N是線(xiàn)段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF：M是線(xiàn)段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積【分析】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出，由已知得出，則，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進(jìn)而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結(jié)合題意得出，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，．∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故選：D．31．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)．設(shè)＝k，若AD＝DF，則＝（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC＝k?AB，通過(guò)證明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2?AB，即可求出的值．【解答】解：∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k?AB，∴EC＝k?AB，∴＝，∴CF＝k2?AB，∴＝＝＝＝．故答案為：．32．（2022?嘉興）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)正切的定義求出AB，證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：由題意得，DE＝1，BC＝3，在Rt△ABC中，∠A＝60°，則AB＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BD＝，故答案為：．33．（2022?湖州）如圖，已知在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，＝．若DE＝2，則BC的長(zhǎng)是6．【分析】由平行線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋轉(zhuǎn)得出，代入計(jì)算即可求出BC的長(zhǎng)度．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵＝，DE＝2，∴，∴BC＝6，故答案為：6．34．（2022?紹興）如圖，AB＝10，點(diǎn)C是射線(xiàn)BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC，作CD⊥AC，CD＝AC，動(dòng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，tan∠QBE＝3，連結(jié)CE，DE，當(dāng)CE＝DE，CE⊥DE時(shí)，BE的長(zhǎng)是或5．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)J，連接EJ．由tan∠CBT＝3＝，可以假設(shè)BT＝k，CT＝3k，證明△ATC≌△CJD（AAS），推出DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，再利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)D作DJ⊥CT交CT的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)J，連接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假設(shè)BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四點(diǎn)共圓，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[?]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5或，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝或5，故答案為：或5．35．（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【分析】（1）證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列式，可解答；（2）根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△ABC的面積是16，同理可得△EFC的面積＝9，根據(jù)面積差可得答案．【解答】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積為1，∴△ABC的面積是16，∵四邊形BFED是平行四邊形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面積＝9，∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．相似形綜合應(yīng)用題36．（2022?杭州）某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面