第10講拓展四空間中距離問題（等體積法與向量法）（原卷版）

第10講拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）知識(shí)點(diǎn)01：用向量法求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.題型01利用向量法求點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2024·廣西來賓·一模）棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）A． B．C． D．【典例2】（2324高二下·北京·開學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2324高二上·安徽亳州·期末）如圖，在三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都為2，且，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)到直線的距離；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二上·貴州畢節(jié)·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.【變式3】（2324高二上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.(1)求二面角的正弦值；(2)求點(diǎn)到直線的距離；題型02點(diǎn)到平面的距離等體積法【典例1】（2324高一下·天津武清·階段練習(xí)）如圖，若正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，對(duì)角線的長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．【典例2】（2324高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且平面.若，則三棱柱的高為.【典例3】（2024·廣東·二模）將一個(gè)直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為.【變式1】（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)O在線段上且，則點(diǎn)O到平面的距離是.【變式2】（2324高二上·福建福州·期末）在正三棱柱中，，動(dòng)點(diǎn)P在棱上，則點(diǎn)P到平面的距離為.【變式3】（2324高二上·上海松江·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，則點(diǎn)B到平面的距離為.題型03點(diǎn)到平面的距離的向量法【典例1】（廣西貴百河20232024學(xué)年高一下學(xué)期5月新高考月考測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【典例2】（2324高二下·甘肅武威·期中）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【典例3】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，為中點(diǎn)，點(diǎn)在梭上（不包括端點(diǎn)）.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線到平面的距離.【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.

(1)證明：；(2)若三棱柱的體積為3，且直線與平面ABC所成角為60°，求點(diǎn)到平面的距離.【變式2】（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn)H.(1)從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明：①；②直線，，相交于一點(diǎn)；注：若兩個(gè)問題均作答，則按第一個(gè)計(jì)分.(2)求點(diǎn)A到平面的距離.【變式3】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，二面角的大小為，點(diǎn)到底面的距離為．(1)若是的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．題型04點(diǎn)到平面的距離的探索性問題【典例1】（2324高二上·浙江寧波·期末）已知四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，分別為和的中點(diǎn)，則平面上任意一點(diǎn)到底面中心距離的最小值為.【典例2】（2324高三上·北京昌平·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【變式1】（2324高二上·湖北宜昌·期中）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，，P為棱AD的中點(diǎn)，且，，若點(diǎn)M到平面SBC的距離為，則實(shí)數(shù)