高考數(shù)學(xué)（理）一輪講義第43講空間向量及其運(yùn)算

第43講空間向量及其運(yùn)算考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置．2．會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.2017·全國(guó)卷Ⅲ，162016·山東卷，17空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算在高考中主要作為解題工具，解決直線、平面的平行、垂直位置關(guān)系的判定等問題.分值：3分1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為__0__的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為__1__的向量相等向量方向__相同__且模__相等__的向量a＝b相反向量方向__相反__且模__相等__的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相__平行或重合__的向量a∥b共面向量平行于同一個(gè)__平面__的向量2．空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理空間兩個(gè)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得__b＝λa__.推論如圖所示，點(diǎn)P在l上的充要條件是eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.①其中a叫直線l的方向向量，t∈R，在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則①可化為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝__(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))__.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達(dá)式：p＝__xa＋yb__，其中x，y∈R，a，b為不共線向量，推論的表達(dá)式為eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))或?qū)臻g向量任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))__或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x＋y＋z＝__1__.(3)空間向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝__λ1e1＋λ2e2＋λ3e3__，空間中不共面的三個(gè)向量e1，e2，e3叫做這個(gè)空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作__〈a，b〉__，其范圍是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b__互相垂直__，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則__|a||b|cos〈a，b〉__叫做向量a，b的數(shù)量積，記作__a·b__，即a·b＝__|a||b|cos〈a，b〉__.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝__λ(a·b)__；②交換律：a·b＝__b·a__；③分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__.4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共線a＝λb(b≠0，b∈R)__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模|a|__eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))__夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))1．思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)．(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面．(√)(2)對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b，若a·b＝0，則a⊥b.(×)(3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量．(×)(4)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角(×)2．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1M,\s\up6(→))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.3．與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是(A)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))解析因?yàn)榕c向量a共線的單位向量是±eq\f(a,|a|)，又因?yàn)橄蛄?－3，－4,5)的模為eq\r(－32＋－42＋52)＝5eq\r(2)，所以與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是±eq\f(1,5\r(2))(－3，－4,5)＝±eq\f(\r(2),10)(－3，－4,5)，故選A．4．如圖，在四面體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝__eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c__(用a，b，c表示)．解析eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.5．已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值為__1或－3__.解析∵|a|＝eq\r(22＋42＋x2)＝6，即x＝±4，又∵a⊥b，即a·b＝0，即4＋4y＋2x＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝1，))故x＋y＝1或x＋y＝－3.一空間向量的線性運(yùn)算用已知向量表示某一向量的方法用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．【例1】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量．(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解析(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.二共線定理、共面定理的應(yīng)用(1)證明點(diǎn)共線的方法：證明點(diǎn)共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題，如證明A，B，C三點(diǎn)共線，即證明eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線，亦即證明eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ≠0)．(2)證明點(diǎn)共面的方法：證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點(diǎn)共面，只要能證明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理實(shí)際上也是三個(gè)非零向量所在直線共面的充要條件．【例2】已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD∥平面EFGH；(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．證明(1)如圖，連接BG，則eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由共面向量定理的推論知：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)閑q\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以EH∥BD．又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一點(diǎn)O，并連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如圖所示．由(2)知eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，同理eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，即EHFG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分．故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OG,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))＋\o(OD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))．三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角，設(shè)向量a，b所成的角為θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角．(2)求長(zhǎng)度(距離)，運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．(3)解決垂直問題，利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題．【例3】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．(1)求證MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線AN與CM所成角的余弦值．解析(1)證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝p，eq\o(AC,\s\up6(→))＝q，eq\o(AD,\s\up6(→))＝r.由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)·p＝eq\f(1,2)(q·p＋r·p－p2)＝eq\f(1,2)(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，即MN⊥AB．同理可證MN⊥CD．(2)由(1)可知eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r－p)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(q＋r－p)2＝eq\f(1,4)[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2＋a2＋a2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)－\f(a2,2)－\f(a2,2)))))＝eq\f(1,4)×2a2＝eq\f(a2,2).∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)a.∴MN的長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)a.(3)設(shè)向量eq\o(AN,\s\up6(→))與eq\o(MC,\s\up6(→))的夾角為θ.∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(q＋r)，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝q－eq\f(1,2)p，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(q＋r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)p))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q2－\f(1,2)q·p＋r·q－\f(1,2)r·p))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)a2cos60°＋a2cos60°－\f(1,2)a2cos60°))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(a2,4)＋\f(a2,2)－\f(a2,4)))＝eq\f(a2,2).又∵|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)a，∴eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝|eq\o(AN,\s\up6(→))||eq\o(MC,\s\up6(→))|cosθ＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)a×cosθ＝eq\f(a2,2).∴cosθ＝eq\f(2,3).∴向量eq\o(AN,\s\up6(→))與eq\o(MC,\s\up6(→))的夾角的余弦值為eq\f(2,3)，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為eq\f(2,3).1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a與b為共線向量，則(C)A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)解析∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2λx，,－2y＝λ，,9＝3λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(3,2).))2．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的點(diǎn)，且A1E＝2EB，CF＝2AF，則EF與平面A1B1CD的位置關(guān)系為__EF∥平面A1B1CD__解析以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，由A1E＝2EB，CF＝2AF，則A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)，\f(1,3)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，C(0,1,0)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，設(shè)n＝(x，y，z)為平面A1B1CD的法向量，則有n⊥eq\o(A1B1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(A1D,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－x－z＝0，))令x＝1，得z＝－1，即n＝(1,0，－1)，eq\o(EF,\s\up6(→))·n＝，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥n，∴EF∥平面A1B1CD．3．三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→)).解析eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).4．(2018·湖南張家界模擬)如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60(1)求AC1的長(zhǎng)；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1與AC夾角的余弦值．解析(1)記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的長(zhǎng)為eq\r(6).(2)證明：∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b|·|c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴AC1⊥BD．(3)由題意知eq\o(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，則|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(6),6).∴AC與BD1夾角的余弦值為eq\f(\r(6),6).易錯(cuò)點(diǎn)空間向量概念不清致誤錯(cuò)因分析：將a，b同向和a∥b混淆，沒有搞清a∥b的意義是a，b方向相同或相反．【例1】已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x，y的值分別為________.解析由題意知a∥b，所以eq\f(x,1)＝eq\f(x2＋y－2,2)＝eq\f(y,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－6))時(shí)，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，兩向量a，b反向，不符合題意，所以舍去．當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))時(shí)，b＝(1,2,3)＝a，a與b同向，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))答案1,3【跟蹤訓(xùn)練1】(2018·湖北宜昌一中模擬)已知四邊形ABCD滿足：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))>0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))>0，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))>0，則該四邊形為(D)A．平行四邊形 B．梯形C．長(zhǎng)方形 D．空間四邊形解析由已知得eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＜0，eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＜0，eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＜0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＜0，由夾角的定義知∠B，∠C，∠D，∠A均為鈍角，故A，B，C項(xiàng)不正確．課時(shí)達(dá)標(biāo)第43講[解密考綱]空間向量及其應(yīng)用的考查以解答題為主，多作為解答題的第二種解法(第一種解法為幾何法，第二種解法為向量法)，難度中等．一、選擇題1．點(diǎn)M(－8,6,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(A)A．(－8，－6，－1) B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1) D．(－8，－6,1)解析結(jié)合空間直角坐標(biāo)中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)知選項(xiàng)A正確．2．O為空間任意一點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，P四點(diǎn)(B)A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．無(wú)法判斷解析∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，且eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴A，B，C，P四點(diǎn)共面．3．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x＝(B)A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)解析∵b＝eq\f(1,2)x－2a，∴x＝4a＋2b即x＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝(B)A．9 B．－9C．－3 D．3解析由題意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.5．若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(C)A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確解析由n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∵n1和n2不平行，∴α與β不平行；又∵n1·n2＝－6－3－20＝－29≠0，∴α與β不垂直．6．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))兩兩夾角均為60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，則|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝(A)A．5 B．6C．4 D．8解析由題可得，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，故eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝1＋4＋9＋2(1×2＋1×3＋2×3)cos60°＝25，故|AC1|＝5.二、填空題7．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，過點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為__(0，eq\r(2)，eq\r(3))__.解析依題意知，垂足Q為點(diǎn)P在平面yOz上的投影，則點(diǎn)Q的縱、豎坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱、豎坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)為0.8．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝__eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))__.解析由題意知eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).9．已知點(diǎn)A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝__eq\f(\r(77),3)__.解析設(shè)P(x，y，z)，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2，z－1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x,3－y,4－z)，又eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2－1－x，,y－2＝23－y，,z－1＝24－z，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(8,3)，,z＝3，))∴P(－eq\f(1,3)，eq\f(8,3)，3)，∴|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－1))2＋3－12)＝eq\f(\r(77),3).三、解答題10．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC－O1A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(1)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；(2)求證：A1F⊥C1E(3)若A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，求證：eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).解析(1)E(a，x,0)，F(xiàn)(a－x，a,0)．(2)證明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－x，a，－a)，eq\o(C1E,\s\up6(→))＝(a，x－a，－a)，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(C1E,\s\up6(→))＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴eq\o(A1F,\s\up6(→))⊥eq\o(C1E,\s\up6(→))，∴A1F⊥C1E.(3)證明：∵A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))共面．選eq\o(A1E,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→))為一組基向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(λ1，λ2)，使eq\o(A1F,\s\up6(→))＝λ1eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋λ2eq\o(A1E,\s\up6(→))，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＝－aλ1，,a＝aλ1＋xλ2，,－a＝－aλ2，))解得λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝1.于是eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→)).11．如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB；(2)求證：平面PAD⊥平面PDC．證明以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(