安徽省六校教育研究會2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期新生入學(xué)素質(zhì)測試數(shù)學(xué)試題

安徽六校教育研究會2024級高一新生入學(xué)素質(zhì)測試數(shù)學(xué)試題2024.8注意事項：1．本試卷滿分100分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列各數(shù)中，比大的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的估值分別判斷即可．【詳解】對于A，因為，所以，故A不合題意；對于B，因，所以，故B不合題意；對于C，因為，所以，故C不合題意；對于D，因為，所以，故D符合題意，故選：D．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法公式即可判斷．【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確；故選：D．3.如圖，在矩形中，對角線相交于點(diǎn)，，則的長為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】分析】由求出，再由直角三角形求.【詳解】在中，，所以，所以，即.故選：C4.目前全球最薄的手撕鋼產(chǎn)自中國，厚度只有0.015毫米，約是紙厚度的六分之一．已知1毫米百萬納米，0.015毫米等于多少納米？將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.納米 B.納米 C.納米 D.納米【答案】B【解析】【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法求解即可．【詳解】由科學(xué)記數(shù)法得，0.015毫米納米，故選：B．5.如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進(jìn)士黃伯思設(shè)計．全套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設(shè)每張桌面的寬為x尺，長桌的長為y尺，則y與x的關(guān)系可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合所給圖形分析即可得.【詳解】由題意可得短桌的長為寬的兩倍，即有，即.故選：B.6.如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系得到，結(jié)合垂直關(guān)系求出答案.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：A7.為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，改造后比改造前每天多生產(chǎn)100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）A.200 B.300 C.400 D.500【答案】B【解析】【分析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程，檢驗后得到答案.【詳解】設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為，則，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的根，且滿足題意，故改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為300.故選：B8.某校課外活動期間開展跳繩、踢鍵子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出樹狀圖，利用概率公式求解即可【詳解】設(shè)跳繩、踢毽子、韻律操分別為A、B、C，畫樹狀圖如下，共有9種等可能的結(jié)果，甲、乙恰好選擇同一項活動的有3種情況，故他們選擇同一項活動的概率是，故選：C．9.如圖，點(diǎn)E為的對角線上一點(diǎn)，，連接并延長至點(diǎn)F，使得，連接，則為（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，再利用全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理即可得解.【詳解】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，又，則與全等，則，，由平行四邊形性質(zhì)可得且，故且，即四邊形為平行四邊形，即有.故選：B.10.如圖，水平放置的矩形中，，菱形的頂點(diǎn)，在同一水平線上，點(diǎn)G與的中點(diǎn)重合，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到上時停止.在這個運(yùn)動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運(yùn)動時間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得菱形面積為，進(jìn)而分三種情況討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得重疊部分的面積與運(yùn)算時間的函數(shù)關(guān)系即可求解．【詳解】如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，因為四邊形為菱形，，所以，所以是等邊三角形，因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，重合部分為如圖所示，依題意，為等邊三角形，則，所以，當(dāng)時，如圖所示，依題意，，則，所以；因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，同理可得；當(dāng)時，同理可得，，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時，函數(shù)圖象為一條線段，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線；故選：D．二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）11.因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】利用提公因式進(jìn)行因式分解【詳解】故答案為：12.如圖，是圓的直徑，的頂點(diǎn)均在上方的圓弧上，的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A、B，則______°．【答案】【解析】【分析】利用圓周角定理求解即可．【詳解】∵是圓的直徑，∴所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為，∵所對的弧的和為半圓，∴，故答案為：．13.如圖，四邊形四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，在該平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到四個頂點(diǎn)的距離之和最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】由兩邊之和不小于第三邊確定出點(diǎn)為對角線交點(diǎn)時，最小，再由對角線所在直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.【詳解】設(shè)P為平面上一點(diǎn)，連接連接，相交于，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為交點(diǎn)時等號成立，即最小時，為對角線的交點(diǎn)，易知直線的方程為，設(shè)直線方程為，代入，可得，解得，則直線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：14.如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕，連接.再將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)H處，折痕為.若點(diǎn)G恰好為線段最靠近點(diǎn)B的一個五等分點(diǎn)，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用幾何關(guān)系列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，∵矩形，∴，由折疊可知，，，設(shè)，則：，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴；故答案為：．三、解答題（共8小題，共58分）15.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】利用分式的運(yùn)算法則計算即可得.【詳解】原式，將代入，得：原式．16.如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（m為常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)是x軸正半軸上的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由的坐標(biāo)求解一次函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【小問1詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，所以反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，解得，所以點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得，則一次函數(shù)的解析式為：．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)得，，，∴，即，解得：或（舍去），即點(diǎn)．17.如圖，書架寬，在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書，已知每本數(shù)學(xué)書厚，每本語文書厚．（1）數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本；（2）如果書架上已擺放10本語義書，那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本？【答案】（1）數(shù)學(xué)書60本，語義書30本（2）90本【解析】【分析】（1）設(shè)書架上數(shù)學(xué)書x本，則語文書本，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，根據(jù)題意列出不等式求解即可．【小問1詳解】設(shè)書架上數(shù)學(xué)書x本，則語文書本，根據(jù)題意得，，解得，所以，所以書架上數(shù)學(xué)書60本，語義書30本．【小問2詳解】設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本，則，解得，所以數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本．18.2024年成都世界園藝博覽會以“公園城市美好人居”為主題，秉持“綠色低碳、節(jié)約持續(xù)、共享包容”的理念，以園藝為媒介，向世界人民傳遞綠色發(fā)展理念和詩意棲居的美好生活場景．在主會場有多條游園線路，某單位準(zhǔn)備組織全體員工前往參觀，每位員工從其中四條線路（國風(fēng)古韻觀賞線、世界公園打卡線、親子互動漫游線、園藝小清新線）中選擇一條．現(xiàn)隨機(jī)選取部分員工進(jìn)行了“線路選擇意愿”的摸底調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖表．游園線路人數(shù)國風(fēng)古韻觀賞線44世界公園打卡線x親子互動漫游線48園藝小清新線y根據(jù)圖表信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查的員工共有__________人，表中x的值為__________；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求“國風(fēng)古韻觀賞線”對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）若該單位共有2200人，請你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計選擇“園藝小清新線”員工人數(shù)．【答案】（1）160，40（2）（3）385人【解析】【分析】（1）借助圖表結(jié)合頻數(shù)與總數(shù)的關(guān)系計算即可得；（2）借助扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)計算即可得；（3）借助部分即可估計總體.【小問1詳解】本次調(diào)查的員工共有（人），表中x的值為;故答案為：160，40；【小問2詳解】，所以在扇形統(tǒng)計圖中，“國風(fēng)古韻觀賞線”對應(yīng)的圓心角度數(shù)為；【小問3詳解】（人），所以估計選擇“園藝小清新線”的員工人數(shù)為385人．19.中國古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子垂直于地面，長8尺．在夏至?xí)r，桿子在太陽光線照射下產(chǎn)生的日影為;在冬至?xí)r，桿子在太陽光線照射下產(chǎn)生的日影為．已知，，求春分和秋分時日影長度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：，）【答案】9.2尺【解析】【分析】解直角三角形，分別求出的長可得，再由春分和秋分時日影頂端為的中點(diǎn)即可得解.【詳解】在中，尺，，（尺）；在中，尺，，（尺）；（尺），觀察可知，春分和秋分時日影頂端為的中點(diǎn)，（尺），∴春分和秋分時日影長度為9.2尺．20.如圖，是的直徑，，點(diǎn)E在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)?shù)陌霃綖?，時，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用題意可知是的中垂線，再由同位角相等可得，得出即可得證；（2）由，再由直角三角形得出即可.【小問1詳解】連接，設(shè)與交于點(diǎn)F．，∴點(diǎn)O、B在的垂直平分線上，垂直平分，即，，，是的直徑，是的切線；【小問2詳解】的半徑為2，是的直徑，，，，，21.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．（1）求m的值；（2）若點(diǎn)在的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖象．當(dāng)時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；（3）設(shè)的圖象與x軸交點(diǎn)為．若，求的取值范圍．【答案】（1）1（2）11（3）【解析】【分析】（1）將代入解析式，結(jié)合二次函數(shù)對稱軸公式即可求解；（2）將代入二次函數(shù)解析式求得，由平移得出新二次函數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）由韋達(dá)定理及，結(jié)合即可求解．【小問1詳解】∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，，解得，∴拋物線為，∴拋物線的對稱軸為直線．【小問2詳解】∵點(diǎn)在的圖象上，，解得，∴拋物線為，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，，∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值為1，當(dāng)時，函數(shù)有最大值為，∴當(dāng)時，新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為11．【小問3詳解】的圖象與x軸交點(diǎn)為，，∴，，，，，解得，所以a的取值范圍為．22.如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，連接．（1）如圖1，當(dāng)時，與之間的位置關(guān)系是__________，數(shù)量關(guān)系是__________．（2）如圖2，當(dāng)時，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對稱，連接，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)時，請直接寫出的長度．【答案】（1）（2），證明見解析（3）①，18；②或