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文檔簡介

2024/10/4高等代數(shù)一、多項(xiàng)式整除的概念

多項(xiàng)式的整除性設(shè)，若存在，使，則說整除，記為：，記為：。當(dāng)時(shí)，稱作的因式，稱作的倍式。

整除的基本性質(zhì)性質(zhì)1：否則就說不能整除若2024/10/4高等代數(shù)則。（傳遞性）證：使性質(zhì)2：若，則。證：2024/10/4高等代數(shù)性質(zhì)3：若，對。證：性質(zhì)4：若則對有性質(zhì)5：若則2024/10/4高等代數(shù)證：為常數(shù)。性質(zhì)6：且則性質(zhì)7：

帶余除法定理定理：設(shè)，且則存在使得這里或2024/10/4高等代數(shù)滿足條件的唯一確定。商式余式證：先證存在性。1、若則取即知結(jié)論成立。2、設(shè)對的次數(shù)n，利用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n<m時(shí)，顯然取下面討論的情況。假設(shè)當(dāng)次數(shù)小于n時(shí)，的存在性已證現(xiàn)考慮次數(shù)為n的情況。，即知結(jié)論成立。2024/10/4高等代數(shù)令分別是的首項(xiàng)，因而多項(xiàng)式的次數(shù)小于n或?yàn)?。若，取若由歸納法假設(shè)，對有存在，使其中或者于是取就有，結(jié)論成立；2024/10/4高等代數(shù)其中或者再證唯一性。若有則若則這與矛盾，故從而2024/10/4高等代數(shù)推論1：若且則的充要條件是：除的余式證：充分性。若且則有必要性。若，則例1.3.1設(shè)求除所得的余式和商式。2024/10/4高等代數(shù)例：證明的充要條件是證：充分性顯然。下證必要性，設(shè)于是由于，故。多項(xiàng)式的根及因式分解會因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，那么問題：數(shù)域F上的多項(xiàng)式與的整除性是否會因數(shù)域的擴(kuò)大而改變？多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變2024/10/4高等代數(shù)設(shè)，若在F上是否在上也有？結(jié)論：設(shè)，而，中，在則在中也有（多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變）證：若則在中，因此在中，若則在中有2024/10/4高等代

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