彈性力學(xué)第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答

第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答要點(diǎn)——建立平面問題的基本方程包括：用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問題。第3章平面問題的直角坐標(biāo)解答

3.1

多項(xiàng)式解答3.2位移分量的求出3.3簡(jiǎn)支梁受均布載荷

3.1多項(xiàng)式解答

適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)，能解決什么樣的力學(xué)問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）1.

一次多項(xiàng)式（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：X=Y=0，則有：結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。2.

二次多項(xiàng)式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：xy2c2c2a結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy3.

三次多項(xiàng)式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗(yàn)φ(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù))(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。討論：可算得：xy1ll圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：MM可見：——對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。常數(shù)d

與彎矩M

的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說(shuō)明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。xy1llMM說(shuō)明：(1)組成梁端力偶M的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠(yuǎn)大于h

時(shí)，誤差較?。环粗`差較大。4.

四次多項(xiàng)式（1）檢驗(yàn)φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得可見，對(duì)于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)：（3）應(yīng)力分量：——應(yīng)力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)）（1）多項(xiàng)式次數(shù)n<4時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n≥4時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無(wú)體力和無(wú)應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無(wú)影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）（4）用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問題）。按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說(shuō)明如何由求出形變分量、位移分量？問題：3.1位移分量的求出

以純彎曲梁為例，說(shuō)明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)（1）(f)討論：式中：u0、v0、ω由位移邊界條件確定。當(dāng)x=x0=常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM——u關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說(shuō)明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。（2）將下式中的第二式對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)：說(shuō)明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中撓曲線微分方程（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無(wú)法滿足。邊界條件改寫為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同說(shuō)明：（1）求位移的過(guò)程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（2）若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。（為什么？）（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應(yīng)力分量：先由方程（2-27）求出應(yīng)力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟：按應(yīng)力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-18），來(lái)考察這些應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)可以求解什么問題。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)φ(x,y)的關(guān)系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應(yīng)力分量（2）（3）代入物理方程，求得應(yīng)變分量將應(yīng)變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達(dá)式；由位移邊界條件確定表達(dá)式中常數(shù)，得最終結(jié)果。3.3簡(jiǎn)支梁受均布荷載

（用半逆解法求解梁、長(zhǎng)板類平面問題）xyllqlql1yzh/2h/2q1.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（擠壓應(yīng)力）又∵q

=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，∴不隨x

變化。推得：(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點(diǎn)：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。對(duì)前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)第三個(gè)方程得：積分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。(e)2.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)3.

對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用(f)(g)(h)3.

對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q

對(duì)稱、幾何對(duì)稱：——x的偶函數(shù)——x

的奇函數(shù)由此得：要使上式對(duì)任意的y

成立，須有：xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應(yīng)力公式xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力N=0；彎矩M=0；剪力Q=－ql；(i)(j)(k)可見，這一條件自動(dòng)滿足。xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說(shuō)明式（3-6）在兩端不適用。解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-26），求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）