選擇性必修第一冊(cè)蘇教版-第3章-單元測(cè)試卷-143716

第3章圓錐曲線與方程一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若點(diǎn)P到直線x=-1的距離比到點(diǎn)(2,0)的距離小1,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線2.若雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-A.72 B.54 C.43 3.雙曲線x2m-y2n=1(mn≠0)的離心率為2,有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,則mn的值為A.316 B.38 C.163 4.過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn),作傾斜角為45°的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為()A.8 B.16 C.32 D.645.已知F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作橢圓的弦AB,若△AF1B的周長(zhǎng)為16,橢圓的離心率e=3A.x24+y23=1 B.xC.x216+y212=1 D.x6.已知F是拋物線y=14x2的焦點(diǎn),P是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則線段PF中點(diǎn)的軌跡方程是()A.x2=2y-1 B.x2=2y-1C.x2=y-12 D.x2=2y-7.已知A,B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為()A.5 B.2 C.3 D.28.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.如圖1,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=a2+b2,橢圓C的離心率為22,M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線,與蒙日?qǐng)A分別交于P,Q兩點(diǎn),則圖1A.3b2 B.2b2 C.433 D.6二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3,2)且漸近線為y=±33x,則下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為x23-y2=1 B.CC.曲線y=ex-2-1經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn) D.直線x-2y-1=0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)10.已知雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0),若圓(x-2)2+y2=1與雙曲線C的漸近線相切,則 (A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6B.雙曲線C的離心率e=2C.點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn),若點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離分別為d1,d2,則d1d2=3D.直線y=k1x+m與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn),若OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為k2,則k1k2=111.設(shè)橢圓的方程為x22+y24=1,斜率為k的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,而且與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),下列結(jié)論正確的是A.直線AB與OM垂直B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,1),則直線方程為2x+y-3=0C.若直線方程為y=x+1,則點(diǎn)M坐標(biāo)為(13,4D.若直線方程為y=x+2,則AB=4三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知F為拋物線C:y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在拋物線上,且分別位于x軸的上、下兩側(cè),若△BFO的面積是12(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且OA·OB=12,則直線AB的斜率是13.雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為y=2x,則該雙曲線的離心率為,若E上的點(diǎn)A滿足AF2⊥F1F2,其中F1,F2分別是E的左、右焦點(diǎn),則sin∠AF14.國(guó)家體育場(chǎng)(鳥巢)的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰結(jié)構(gòu)圖如圖2所示,內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓,將其平面圖放入適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中,如圖3,若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,且兩切線斜率之積等于-45,則橢圓的離心率為圖2圖3四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)記拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E,若EA·EB=40,求直線l的方程.

16.(15分)蘭州黃河鐵橋,又名中山橋,是位于蘭州市中心,橫跨黃河的一座百年老橋,如圖4,橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連,每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱,氣勢(shì)宏偉,素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖5,一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的拋物線MOF(部分)組成,建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系,已知AB=44m,∠MAB=45°,AC=4m,CD=5m,立柱DN=5.55m.(1)求立柱CM及橫梁MF的長(zhǎng);(2)求拋物線MOF的方程和橋梁的拱高OH. 圖4 圖5

17.(15分)在①點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí),△MF1F2面積為42,②橢圓C過(guò)點(diǎn)(3,3),③離心率e=63這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線處,并解決下面兩個(gè)問(wèn)題設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l:y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2).(1)求橢圓C的方程;(2)求m的值和△PAB的面積.注:若選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(17分)已知雙曲線的方程為2x2-y2=2.(1)求以點(diǎn)A(2,2)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程.(2)過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于Q1,Q2兩點(diǎn),且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)?如果存在,求出直線l的方程;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(17分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),過(guò)F1且斜率為2(1)求橢圓E的方程.(2)如圖6,下頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)B(0,2)作一條與y軸不重合的直線,該直線交橢圓E于C,D兩點(diǎn),直線AD,AC分別交x軸于點(diǎn)H,G.求證:△ABG與△AOH的面積之積為定值,并求出該定值.圖6

第3章圓錐曲線與方程1.D點(diǎn)P到直線x=-1的距離比到點(diǎn)(2,0)的距離小1,即點(diǎn)P到直線x=-2的距離與到點(diǎn)(2,0)的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,點(diǎn)P的軌跡是拋物線.2.D由已知可得雙曲線的漸近線方程為y=±bax,點(diǎn)(3,-4)在漸近線上∴ba=43,又a2+b2=c2,∴c2=a2+169a2=259a2,∴e=3.A拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),故雙曲線x2m-y2n=1中,m>0,n>0且m+n=c2=1①,e=cm=m聯(lián)立①②,解得m=14,n=34.故mn=4.B拋物線中2p=8,p=4,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線方程為y=x-2,由y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,則x1+x2=12(x1,x2為直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).從而弦長(zhǎng)為x1+x2+5.D由橢圓的定義知AF1+BF1+AB=4a=16,∴a=4.又e=ca=32,∴c=23,∴b2=42-(23)2∴橢圓的方程為x216+y26.A焦點(diǎn)為F(0,1),設(shè)點(diǎn)P(p,q),則p2=4q.設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是線段PF的中點(diǎn),則x=p2,y=q+12,即p=2x,q=2y-1,代入p2=4q得,(2x)2=4(2y-1),即x2=2y7.D設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,圖D1如圖D1所示,AB=BM=2a,∠MBA=120°,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H,則∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程x2a2-y2b2=1,得a=b,所以8.A由“蒙日?qǐng)A”的定義可知,MP⊥MQ,則PQ為蒙日?qǐng)A的直徑,連接OM,∴OM=a2+b2,則PQ=2OM設(shè)MP=m,MQ=n,∴m2+n2=PQ2=4(a2+b2),又m2+n2≥2mn(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)),∴4(a2+b2)≥2mn,即mn≤2(a2+b2),∴S△MPQ=12mn≤12·2(a2+b2)=a2+b∵e=ca=22,∴a2=2c2=2(a2-b2),即a2=2b2,∴a2+b2=3b2,故△MPQ面積的最大值為3b9.AC∵雙曲線的漸近線為y=±33x,∴設(shè)雙曲線C的方程為x23-y2=λ(λ≠0),又該雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,2),代入方程得λ=1,故選項(xiàng)A正確.易知雙曲線C的離心率e為233,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.y=ex-2-1經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)(2,0),故選項(xiàng)C正確.聯(lián)立直線和雙曲線C的方程,消去x得y2-22y+2=0,∵Δ=0,故該直線與雙曲線C有一個(gè)公共點(diǎn)10.BCD由題意知C的漸近線方程為x±ay=0,因?yàn)閳A與漸近線相切,所以|2|1+a2=1,解得a=3,所以實(shí)軸長(zhǎng)為23,c=2,所以e=23=233,故A錯(cuò)誤,B正確;設(shè)P(所以d1=|x0-3y0|2,d2=|x0+3y0|2,所以d設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則D(x1+x22,y1+y22),聯(lián)立直線與雙曲線C的方程,消去y得(1-3k12)x2-6k1mx-(3m2+3)=0,所以x1+x2=6k1m1?3k12,y1+y2故D正確.故選BCD.11.BD假設(shè)直線與橢圓交于橢圓的左端點(diǎn)A(-2,0)和上頂點(diǎn)B(0,2),顯然△ABO不是等腰直角三角形,AB與OM顯然是不垂直的.故A錯(cuò)誤.設(shè)直線方程為y=kx+b(b≠0).聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去y得,(2+k2)x2+2kbx+b2-4=0.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2kb2+k2,y1+y2=k(x1+x2)+2b=-2k2故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-kb2+k2,對(duì)于B,點(diǎn)M(1,1),則-kb2+k2=1,2b2+k2=1,解得k=?2,b=3,對(duì)于C,若直線方程為y=x+1,即k=1,b=1,則M點(diǎn)坐標(biāo)為(-13,23),故C對(duì)于D,若直線方程為y=x+2,即k=1,b=2,AB=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)12.-13設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線y2=x得F(14,0),而S△BFO=12×14×(-y2)=12,得y2=-4,則x2=16,由OA·OB=x1x2+y1y2=16x1-4y1=12,得4x1-y1=3,又y12=x1,結(jié)合y1>0,解得y1=1,x1=1,13.312由題意得ba=2,則b=2a,c2=a2+b2=3a2,所以c=3a,所以雙曲線的離心率e=ca=3.在x2a2-y2b2=1中,令x=c,得y=±b2a=±2a,所以不妨設(shè)A(3a,2a),則AF2=2a,由AF1-AF2=2a,得AF1=4a,所以14.55設(shè)內(nèi)層橢圓方程為x2a2+y2∵內(nèi)外層橢圓的離心率相同,∴外層橢圓可設(shè)成x2(ma)2+y設(shè)切線AC的方程為y=k1(x+ma),與x2a2+y2b2=1聯(lián)立得,(b2+a2k12)x2+2ma3k12x+m2由Δ=0,得k12=b2a2·1m2-1,同理∴k12·k22=b4a4=(-45因此e=ca=1?b2a215.(1)由題意得p2=1,即p=所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)由題意,知E(-1,0),直線l的斜率一定不為0,所以可設(shè)直線l的方程為x=my+1,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線l和拋物線C的方程得x=my+1,y2=4x,消元得y2-4my-4=0,則y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=(my1+1)(my2+1)=1,x1+x2=m(y1+y2)所以EA·EB=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+1+x1+x2+y1y2=1+1+4m2+2-4=4m2=40,解得m=10或m=-10.故直線l的方程為x+10y-1=0或x-10y-1=0.16.(1)由題意知,∠MAB=45°,AC=4m,則CM=4m,因?yàn)樗倪呅蜛BFM是等腰梯形,由對(duì)稱性可知,AH=HB=12AB=22m,AC=BE=4m,CH=AH-AC=18所以MF=2CH=36m.(2)由(1)知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-18,N的橫坐標(biāo)為-(18-5)=-13.設(shè)M,N的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,由題圖可知|y1-y2|=|5.55-4|=1.55.設(shè)拋物線MOF的方程為x2=-2py,p>0,x∈[-18,18].將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入拋物線方程,得(-18)2=?2py1,(-13)2=?2py2,兩式相減得2p解得2p=100,故拋物線方程為x2=-100y,x∈[-18,18].因此當(dāng)x=-18時(shí),y=-1100×(-18)2=-3.故|y1|=3.24m,所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.17.(1)由已知可得2b=4,解得b=2,故橢圓C的方程為x2a2+y若選擇①,則12×2c×b=bc=2c=42,解得c=22,故a2=b2+c2=故橢圓C的方程為x212+y2若選擇②,則(3)2a2+(3)故橢圓C的方程為x212+y2若選擇③,則e=ca=a2-b2a=1?b2a2故橢圓C的方程為x212+y2(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,x2+3y2=12,可得4x2+6mx+由Δ=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0,可得-4<m<4,且x1+x2=-3m2,x1x2=設(shè)線段AB的中點(diǎn)為H(x0,y0),則x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4,因?yàn)?4<m<4,所以-3m4≠-3,所以kPH=m4因?yàn)椤鱌AB是以AB為底邊的等腰三角形,所以PH⊥AB,即PH⊥l,又直線l的斜率k=1,所以kPH=-1,即m-812?3解得m=2∈(-4,4),此時(shí)方程(*)化為4x2+12x=0,解得x1=0,x2=-3,AB=1+k2|x1-x2|=1+12×|0-(-3)|此時(shí)H(-32,1故PH=[-3-(-32)故S△PAB=12×AB×PH=12×32×32綜上,m=2,△PAB的面積為9218.(1)設(shè)以點(diǎn)A(2,2)為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2),則有x1+x2=4,y1+y2=4,x1≠x2.由P1,P2在雙曲