高中數(shù)學(xué)圓錐曲線基本知識與典型例題

圓錐曲線基礎(chǔ)知識與典型例題第一部分：橢圓1、知識關(guān)系網(wǎng)基礎(chǔ)知識點(1).橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.(2).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點,,對稱軸軸，軸，長軸長為，短軸長為焦點、、焦距焦距為離心率(0<e<1)越大橢圓越扁第二部分：雙曲線知識網(wǎng)絡(luò)基本知識點(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點對稱軸軸，軸，實軸長為，虛軸長為焦點焦距焦距為離心率(e>1)越大雙曲線開口越大第三部分：拋物線知識網(wǎng)絡(luò)基本知識點(1)拋物線的定義:平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點F不在上).定點F叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸軸軸軸軸焦點頂點原點準(zhǔn)線離心率1第四部分：圓錐曲線綜合問題1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.方法：直線方程是二元一次方程，圓錐曲線方程是二元二次方程，由它們組成的方程組，經(jīng)過消元得到一個一元二次方程，直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.注：直線方程與雙曲線方程、拋物線方程聯(lián)立消元后注意二次項系數(shù)為零的情況討論.⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長=1\*GB3①當(dāng)直線存在斜率時，直線與圓錐曲線的兩個交點坐標(biāo)分別為，則它的弦長=2\*GB3②當(dāng)直線斜率不存在時，則.(3)橢圓、雙曲線的通徑：（過焦點且垂直于焦點所在對稱軸的弦）橢圓焦點三角形面積公式：（點是橢圓上的點）雙曲線焦點三角形面積公式：（點是雙曲線上的點）(4)拋物線相關(guān)結(jié)論：拋物線中有一些常見、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時可迅速解答相關(guān)問題，在做解答題時也可迅速打開思路.（自己可以嘗試證明這些結(jié)論）若AB是拋物線的焦點弦，且，，則有如下結(jié)論：=1\*GB3①，=2\*GB3②，（為所在直線傾斜角）=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥相切：=1\*alphabetica.以拋物線焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；b.過拋物線焦點弦的兩端點向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切；c.以或為直徑端點的圓與軸相切.2.圓錐曲線問題求解策略:1.一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運算。2.當(dāng)涉和到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點差法。3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。第五部分：圓錐曲線考點、題型、方法題型一：定義的應(yīng)用（1）尋找符合條件的等量關(guān)系（2）等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合典型例題例1、動圓M與圓內(nèi)切,與圓外切，求圓心M的軌跡方程.例2、方程表示的曲線是例3、是定點，，動點M滿足，則M點的軌跡是()(A)橢圓(B)直線(C)圓(D)線段例4、拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標(biāo)是()(A)(B)(C)(D)0例5、已知橢圓的兩個焦點為、，且，弦AB過點，則△的周長為（）（A）10（B）20（C）（D）例6、橢圓的焦點、，P為橢圓上的一點，，則△的面積為（）（A）9（B）12（C）10（D）8例7、雙曲線右支點上一點P到右焦點的距離為2，則P點到左焦點的距離為（）（A）6（B）8（C）10（D）12例8、拋物線上的一點到焦點的距離為9，則點的坐標(biāo)是題型二：圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特別關(guān)注：焦點位置的正確判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷，先定位后定量計算）方法要求：熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓：由、分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上；雙曲線：由、項的系數(shù)的正負(fù)決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號正、負(fù)決定開口方向。典型例題例9、若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是例10、當(dāng)為何值時,方程的曲線：(1)是橢圓;(2)是雙曲線.例11、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點坐標(biāo)為，經(jīng)過點（2）焦點在y軸上，（3），例12、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點坐標(biāo)為，經(jīng)過點（2）焦點在x軸上，（3），例13、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點坐標(biāo)為（2）準(zhǔn)線為（3）焦點到準(zhǔn)線距離是2例14、若雙曲線經(jīng)過點，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例15、雙曲線離心率為，與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A.B.C.D.例16、過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程是()A.B.C.D.例17、拋物線的對稱軸為軸，頂點在原點，焦點在直線上，則此拋物線的方程為題型三：圓錐曲線性質(zhì)1、特別關(guān)注：幾何性質(zhì)與圖像相結(jié)合（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，先定位、再定量計算）：2、圓錐曲線中離心率，漸近線的求法：(1)a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值；(2)a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的最值或范圍；(3)注重數(shù)形結(jié)合思想不等式解法(4)雙曲線的漸近線方程可以看作是由雙曲線方程右邊“1”變?yōu)椤?”直接得到，即雙曲線的漸近線方程為，即(5)與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為，與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為，再由另外一個條件可求得的值.(6)等軸雙曲線(實軸長等于虛軸長)離心率漸近線方程方程可以設(shè)為，根據(jù)另外已知條件可以確定的值.3、典型例題(1)圓錐曲線基本性質(zhì)例18、已知橢圓的方程為，求：該橢圓的焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、長軸長、短軸長、離心率.例19、已知雙曲線的方程為，求：該雙曲線的焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.例20、已知拋物線的方程為求：該拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.例21、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知等軸雙曲線上一點(2)雙曲線離心率為，點在雙曲線上(3)雙曲線漸近線為，點在雙曲線上例22、橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值是（）A.B.C.D.(2)橢圓、雙曲線離心率例23、橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，則它的離心率為（）A.B.C.D.例24、直線經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率為例25、橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，，，則的離心率為例26、雙曲線的左、右焦點分別為，是上的點，，，則的離心率為例27、雙曲線的頂點到漸近線的距離為，則它的離心率為（）A.B.C.D.例28、雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（）A.B.C.D.例29、已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為.例30、雙曲線的焦點分別為、，點在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的取值范圍為.例31、已知雙曲線的離心率，則雙曲線其中一條漸近線的斜率取值范圍是.例32、雙曲線的焦點分別為、，點在雙曲線上，，且的最小內(nèi)角為，則此雙曲線的離心率為.例32、已知、是雙曲線的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A.B.C.D.例33、已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.例34、橢圓：的兩焦點為，橢圓上存在點使，則橢圓離心率的取值范圍為題型四：圓錐曲線焦點三角形（圓錐曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形）1、橢圓焦點三角形面積；雙曲線焦點三角形面積2、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解典型例題例35、橢圓上一點P與兩個焦點，且，則的面積為.例36、雙曲線上一點M與兩個焦點，且，則的面積為.例37、已知雙曲線的離心率為2，是左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.題型五：點、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷1、點與橢圓的位置關(guān)系點在橢圓內(nèi)，點在橢圓上，點在橢圓外2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題：直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元（消去或消去）得到關(guān)于或的方程特別注意：二次項系數(shù)為0的情況(1)若二次項系數(shù)為0，則方程是一元一次方程，解只有一個，直線與曲線交點只有一個(2)若二次項系數(shù)不為0，則可按照以下情況討論：二次方程根判別式直線與圓錐曲線位置關(guān)系相交相切相離直線與圓錐曲線交點兩個一個沒有3、直線與圓錐曲線相交于兩點，則弦長公式：（1）當(dāng)直線存在斜率時，或（2）當(dāng)直線斜率不存在時，弦垂直于軸，則.（3）拋物線焦點弦長：（其中為直線AB的傾斜角）4、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解.特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗！(注：弦所在直線的斜率存在)(1)橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；(2)雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；(3)拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率.典型例題例38、（1）如果橢圓弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是；（2）已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：上，則此橢圓的離心率為.例39、雙曲線的弦AB被點平分，求直線AB的方程.例40、斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于A、B兩點，（1）求弦AB的長；（2）求的面積.例41、已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為，若該雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則實數(shù).例42、已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別為，，并且經(jīng)過點，經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線交橢圓與A，B兩點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)，求的面積.例43、在平面直角坐標(biāo)系中，點到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點的軌跡為.（1）寫出的方程；（2）直線與交于、兩點，為何值時？此時的值是多少？例44、已知橢圓的離心率為，點在上.（1）求的方程；（2）直線不經(jīng)過原點，且不平于坐標(biāo)軸，與有兩個交點、，線段中點為，證明：直線的斜率與直線的斜率乘積為定值.題型六：動點軌跡方程：1、求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；

2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關(guān)系；例45、如已知動點P到定點和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例46、如線段AB過x軸正半軸上一點，端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；例47、由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，，則動點P的軌跡方程為例48、點M與點的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是例49、一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心的軌跡為代入轉(zhuǎn)移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程:例50、如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________(5)參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.例51、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是題型七：直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法1、設(shè)直線方程；（提醒：=1\*GB3①斜率存在與不存在；=2\*GB3②設(shè)為與的區(qū)別）2、設(shè)交點坐標(biāo)；（提醒:之所以要設(shè)是因為不去求出它,即“設(shè)而不求”）3、聯(lián)立方程組；4、消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）5、根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：=1\*GB3①“以弦AB為直徑的圓過原點O”（提醒：需討論斜率是否存在）=2\*GB3②“點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”“直角、銳角、鈍角問題”“向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題”；=3\*GB3③“等角、角平分、角互補問題”斜率關(guān)系（或）；=4\*GB3④“共線問題”（如：數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如：A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）；=5\*GB3⑤“點、線對稱問題”坐標(biāo)與斜率關(guān)系；=6\*GB3⑥“弦長、面積問題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：兩個面積公式的合理選擇）；6、化簡與計算；7、細(xì)節(jié)問題不忽略；=1\*GB3①判別式是否已經(jīng)考慮；=2\*GB3②拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0.題型八：圓錐曲線基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；3、證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般