2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒能成立問(wèn)題

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問(wèn)題掌握利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍例1[2024·河南鄭州模擬]已知函數(shù)f(x)＝x3(lnx－a)(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)＋ax3＋1≥ax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

題后師說(shuō)1.分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對(duì)待含參的不等式問(wèn)題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式．第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解．第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論．2．a(chǎn)≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.鞏固訓(xùn)練1已知f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

題型二等價(jià)轉(zhuǎn)化法求參數(shù)范圍例2[2024·遼寧沈陽(yáng)模擬]已知函數(shù)f(x)＝ex(x2＋2x＋1)，x∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

解析：因?yàn)閒′(x)＝ex(x2＋2x＋1＋2x＋2)＝ex(x2＋4x＋3)＝ex(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，解得x<－3或x>－1，令f′(x)<0，解得－3<x<－1，所以f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，在(－3，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>ax2＋ax＋1，求a的取值范圍．解析：設(shè)g(x)＝f(x)－(ax2＋ax＋1)，注意到g(0)＝0.有g(shù)′(x)＝ex(x2＋4x＋3)－(2ax＋a)，注意到g′(0)＝3－a.設(shè)h(x)＝g′(x)＝ex(x2＋4x＋3)－(2ax＋a)，有h′(x)＝ex(x2＋6x＋7)－2a.①當(dāng)a≤3時(shí)，對(duì)于x>0，有h′(x)>h′(0)＝7－2a>0，所以g′(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以對(duì)于x>0，有g(shù)′(x)>g′(0)≥0，從而g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故對(duì)于x>0，有g(shù)(x)>g(0)＝0.符合題意．②當(dāng)a>3時(shí)，因?yàn)間′(0)＝3－a<0，所以存在x0>0，使得對(duì)于x∈(0，x0)，有g(shù)′(x)<0.從而g(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞減，故對(duì)于x∈(0，x0)，有g(shù)(x)<g(0)＝0.不符合題意．綜上a的取值范圍是(－∞，3].題后師說(shuō)“等價(jià)轉(zhuǎn)化法”解決不等式恒成立問(wèn)題在不等式恒成立問(wèn)題中，如果不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后的函數(shù)的最值比較難求，可以把含參不等式整理成f(x，a)＞0或f(x，a)≥0的形式，然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值，直接用參數(shù)表達(dá)函數(shù)的最值，然后根據(jù)題意，建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式即得參數(shù)的取值范圍．(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，則f(x，a)＞0恒成立?g(a)＞0，f(x，a)≥0恒成立?g(a)≥0.(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，則f(x，a)＜0恒成立?g(a)＜0，f(x，a)≤0恒成立?g(a)≤0.鞏固訓(xùn)練2[2024·山東臨沂模擬]已知函數(shù)f(x)＝x－alnx，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；

鞏固訓(xùn)練3

[2024·河北石家莊模擬]設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x3－3x2＋a，g(x)＝x2(2lnx－3)．(1)若函數(shù)f(x)與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)對(duì)于?x1∈[－1，2]，?x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：對(duì)于?x1∈[－1，2]，?x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，則f(x1)min≥g(x2)min，由(1)知函數(shù)f(x)在[－1，0)上單調(diào)遞增，在(0，1]上單調(diào)遞減，在(1，2]上單調(diào)遞增，又f(－1)＝a－5，f(1)＝a－1，故當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)f(x)min＝f(－1)＝a－5，因?yàn)間(x)＝x2(2lnx－3)，且x∈[1，e]，則g′(x)＝4x(lnx－1)≤4