用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系+第1課時(shí)用向量方法研究立體幾何中的平行關(guān)系導(dǎo)學(xué)案 高二上學(xué)期北師大版（2019）選擇性必修第一冊

4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系第1課時(shí)用向量方法研究立體幾何中的平行關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行的判定定理.◆知識(shí)點(diǎn)用空間向量描述空間線面的平行關(guān)系設(shè)不重合的直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,不重合的平面α,β的法向量分別為n1,n2,則平行關(guān)系對應(yīng)線面圖形滿足條件線線平行l(wèi)1與l2l1∥l2???λ∈R,u1=

(續(xù)表)平行關(guān)系對應(yīng)線面圖形滿足條件線面平行l(wèi)1與α(l1?α)l1∥α??u1·n1=

面面平行α與βα∥β???λ∈R,n1=

【診斷分析】判斷正誤.(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反. ()(2)若一條直線的方向向量與一個(gè)平面的法向量垂直,則該直線與平面平行. ()(3)若兩條不同的直線l1,l2的方向向量分別為a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),則l1∥l2. ()(4)若兩個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面的法向量一定平行. ()◆探究點(diǎn)一空間向量與平行關(guān)系例1(1)設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為b,若a·b=0,則 ()A.l∥α B.l?αC.l⊥α D.l?α或l∥α(2)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,M,N分別為A1B,AC的中點(diǎn),則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 ()A.相交B.平行C.垂直D.不能確定(3)若直線l的一個(gè)方向向量為m,平面α的一個(gè)法向量為n,則可能使l∥α的是 ()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(0,2,1),n=(-1,0,1)C.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)D.m=(1,2,3),n=(1,0,1)變式(1)已知直線l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1).若l∥α,則λ=.

(2)若平面α的一個(gè)法向量為m=-16,13,-1,平面β的一個(gè)法向量為n=12[素養(yǎng)小結(jié)]利用空間向量判斷立體幾何中的平行關(guān)系的解題思路.(1)判斷兩直線平行:找到兩直線的方向向量a,b,判斷是否存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.(2)判斷線面平行:找到直線的方向向量a和平面的法向量b,判斷這兩個(gè)向量是否垂直,即判斷a·b是否為0.(3)判斷面面平行:找到兩個(gè)平面的法向量i,j,判斷這兩個(gè)向量是否平行,即判斷是否存在實(shí)數(shù)λ,使得i=λj.◆探究點(diǎn)二利用空間向量證明平行關(guān)系例2如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點(diǎn).(1)求證:FC1∥平面ADE;(2)求證:平面ADE∥平面B1C1F.變式如圖,已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是PA和BD上的點(diǎn),且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求證:直線MN∥平面PBC.[素養(yǎng)小結(jié)]空間平行關(guān)系的解題策略幾何法向量法線線平行對于直線l,m,n和平面α,β,(1)若l∥m,l∥n,則m∥n;(2)若l⊥α,m⊥α,則l∥m;(3)若l∥α,l?β,α∩β=m,則l∥m若直線l,m的方向向量共線,則l∥m線面平行對于直線m,n和平面α,(1)若m⊥α,m⊥n,n?α,則n∥α;(2)若m?α,n?α,m∥n,則m∥α若直線l的方向向量與平面α的法向量垂直且l?α,則l∥α面面平行對于直線l,m和平面α,β,(1)若l?α,m?α,l∥β,m∥β,且l∩m=A,則α∥β;(2)若l⊥α,l⊥β,則α∥β若平面α,β的法向量共線,則α∥β拓展如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,F為B1C1的中點(diǎn),D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn),且AD⊥BC.(1)求證:直線A1F∥平面ADE.(2)若△ABC是正三角形,E為C1C的中點(diǎn),能否在棱B1B上找到一點(diǎn)N,使得A1N∥平面ADE?若存在,確定該點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系第1課時(shí)用向量方法研究立體幾何中的平行關(guān)系【課前預(yù)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)u1∥u2λu2u1⊥n10n1∥n2λn2診斷分析(1)√(2)×(3)√(4)√【課中探究】例1(1)D(2)B(3)C[解析](1)∵a·b=0,∴l(xiāng)?α或l∥α.(2)如圖所示,以C1為原點(diǎn),C1B1,C1D1,C1C所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,a,0),B(a,0,a),A(a,a,a),C(0,0,a),∴Ma,a2,a2,Na2,a2,a,∴MN=-a2,0,a2.易知C1D1=(0,a,0)是平面BB1C1C的一個(gè)法向量,而MN·C1D1=-a2×0+0×a+a2×(3)由題知,當(dāng)m·n=0時(shí),l∥α或l?α.A選項(xiàng)中,m·n=(1,0,0)·(-2,0,0)=-2;B選項(xiàng)中,m·n=(0,2,1)·(-1,0,1)=1;C選項(xiàng)中,m·n=(1,-1,3)·(0,3,1)=0-3+3=0;D選項(xiàng)中,m·n=(1,2,3)·(1,0,1)=1+0+3=4.故選C.變式(1)2(2)3[解析](1)因?yàn)橹本€l的方向向量e=(1,-2,-2),平面α的法向量n=(2,λ,-1),且l∥α,所以e⊥n,則e·n=1×2-2λ+(-2)×(-1)=0,解得λ=2.(2)∵α∥β,∴m∥n,∴存在λ∈R,使得-16,13,-1=λ1例2證明:(1)如圖所示,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),則FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n取z1=2,則n1=(0,-1,2).因?yàn)镕C1·n1=-2+2=0,所以FC1⊥n1.又FC1?平面ADE,所以FC1(2)由(1)知,FC1=(0,2,1),C1B1=(2,0,0).設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,由n2⊥FC1,n2⊥C1B1,得n2·FC1=2y2+z2=0,n2·變式證明:∵M(jìn)N=MP+PB+BN=-513PA+PB+513BD=-513(BA-BP)+PB+513(BA+BC)=513BP-BP+513BC=5∵M(jìn)N?平面PBC,∴MN∥平面PBC.拓展解:(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,連接DF,∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中點(diǎn),又∵F為B1C1的中點(diǎn),∴DF∥AA1且DF=AA1,∴四邊形DFA1A是平行四邊形,∴A1F∥AD,∵A1F?平面ADE,AD?平面ADE,∴A1F∥平面ADE.(2)能在棱B1B上找到一點(diǎn)N,使得A1N∥平面ADE.證明如下:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∵DF∥AA1,∴DF⊥AD,DF⊥DC,又∵AD⊥BC,∴DA,DC,DF兩兩垂直,以D為原點(diǎn),DC所在直線為x軸,DA所在直線為y軸,DF所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A1B1=2,AA1=2t,則A(0,3,0),D(0,0,0),E(1,0,t),A1(0,3,2t),則DA=(0,3,0),D