1.1 集合的概念及特征（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

1.1集合的概念及特征（精練）1集合的判斷1．（2022·湖南）下列對象不能組成集合的是（

）A．不超過20的質(zhì)數(shù) B．的近似值C．方程的實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)的最小值【答案】B【解析】不超過20的質(zhì)數(shù)構(gòu)成集合；方程的實(shí)數(shù)根構(gòu)成集合；函數(shù)的最小值構(gòu)成集合.而的近似值標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能組成集合.故選：B2．（2022·河北·武安市第一中學(xué)）（多選）下列各組對象能構(gòu)成集合的是（

）A．擁有手機(jī)的人 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【答案】ACD【解析】根據(jù)集合的概念，可知集合中元素的確定性，可得選項(xiàng)A、C、D中的元素都是確定的，故選項(xiàng)A、C、D能構(gòu)成集合，但B選項(xiàng)中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，不能構(gòu)成集合．故選：ACD.3．（2022·全國·專題練習(xí)）（多選）下列每組對象，能構(gòu)成集合的是（

）A．中國各地最美的鄉(xiāng)村 B．直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)C．一切很大的數(shù) D．清華大學(xué)2020年入學(xué)的全體學(xué)生【答案】BD【解析】對于A，最美標(biāo)準(zhǔn)不明確，不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合；對于B，直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)就在一、三象限的平分線上，是確定的，所以可以構(gòu)成集合；對于C，一切很大的數(shù)不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合；對于D，清華大學(xué)2020年入學(xué)的全體學(xué)生是確定的，能構(gòu)成集合，故選：BD4．（2022·青海）下列描述正確的有（）（1）很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；（2）集合與集合是同一個集合；（3）這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）偶數(shù)集可以表示為.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】對于（1），很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；不滿足集合的確定性，故不正確；對于（2），集合中的元素為實(shí)數(shù)；集合中的元素為點(diǎn)的坐標(biāo)，集合的屬性不同，故不是同一個集合，故不正確；對于（3），這些數(shù)組成的集合中，由于，，由集合元素的互異性，集合中的元素不是5個，故不正確；對于（4），偶數(shù)集可以表示為，正確，符合集合的含義；故選：B5．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.【解析】(1)因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；(2)因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；(3)因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.2集合與元素的關(guān)系1．（2022·浙江麗水）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槭钦麛?shù)，不是自然數(shù)，所以A不正確；因?yàn)?不是正整數(shù)，所以B正確；因?yàn)?是無理數(shù)，不是有理數(shù)，所以C不正確：因?yàn)槭菍?shí)數(shù)．所以D不正確．故選：B．2．（2022·廣東·信宜市第二中學(xué)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，不是實(shí)數(shù)，∴A選項(xiàng)錯誤；對于B，是正整數(shù)集，易知，∴B選項(xiàng)錯誤；對于C，是有理數(shù)，∴C選項(xiàng)正確；對于D，是無理數(shù)，Z是整數(shù)集，∴D選項(xiàng)錯誤.故選：C.3．（2022·廣東·惠來縣第一中學(xué)）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榧?，所以，故選：D.4．（2022·天津河北·高一期末）下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】是有理數(shù)，是實(shí)數(shù)，不是正整數(shù)，是無理數(shù)，當(dāng)然不是整數(shù)．只有①正確．故選：A．5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，則下列關(guān)系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】中只有一個元素，故選：C.6（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)）（多選）下列表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】表示自然數(shù)集，故A不正確、B正確；表示整數(shù)集，故C不正確；表示有理數(shù)集，故D正確.故選：BD7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）已知集合，那么正確的是()A．

B．

C．

D．【答案】A【解析】由或故A對，B、C、D錯故選：A8．（2022·上海）非空集合具有下列性質(zhì)：①若、，則；②若、，則，下列判斷一定成立的是（

）（1）；（2）；（3）若、，則；（4）若、，則.A．（1）（3） B．（1）（2）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【解析】由①可知.對于（1），若，對任意的，，則，所以，，這與矛盾，（1）正確；對于（2），若且，則，，，依此類推可得知，，，，，，（2）正確；對于（3），若、，則且，由（2）可知，，則，所以，，（3）正確；對于（4），由（2）得，，取，則，所以（4）錯誤.故選：C.9．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）使用“”“”和數(shù)集符號來替代下列自然語言：(1)“255是正整數(shù)”；(2)“不是有理數(shù)”；(3)“3.1416是正有理數(shù)”；(4)“是整數(shù)”；(5)“是負(fù)實(shí)數(shù)”.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)由“255是正整數(shù)”，可表示為.(2)由不是有理數(shù)”，可表示為.(3)由3.1416是正有理數(shù)，可表示為.(4)由是整數(shù)”，可表示為.(5)由是負(fù)實(shí)數(shù)，可表示為；10．（2022·全國·高一）設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.（1）若，試證明中還有另外兩個元素；（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由；（3）若中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.【答案】（1）證明見解析；（2）不是，理由見解析；（3）.【解析】（1）證明：若x∈A，則又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴中另外兩個元素為，；（2），，，且，，，故集合中至少有3個元素，∴不是雙元素集合；（3）∵數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若x∈A（x≠1且x≠0），則．∴x∈A，，，，，，∴集合A中至少有3個元素，所有元素的積為：1，∵A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，所有元素積為1，∴，∵，∴2∈A，∴，∴∈A，設(shè)m＝a，同理得∈A，∈A，∵A中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，∴、3、，∴．3集合的表示方法1（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高一期末（文））方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由，解得或，所以方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為；故選：C2．（2022·北京西城·高一期末）方程組的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由可得：或.所以方程組的解集是.故選：A3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）方程組的解集可表示為___________（填序號）．①；②；③；④．【答案】①②④【解析】由，所以滿足條件的有①②④故答案為：①②④4．（2022·上?！げ軛疃懈咭黄谀┮阎?，則集合=______．（用列舉法表示）【答案】【解析】因，而，所以.故答案為：5．（2022·廣西玉林·高一期末）集合，用列舉法可以表示為_________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，可得，因?yàn)椋?，集合．故答案為?．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用列舉法表示下列集合：(1){x|x是14的正約數(shù)}；(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}；(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}.【答案】(1){1,2,7,14}(2){(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}(3)(4){－1,1}(5){(0,8),(2,5),(4,2)}【解析】(1){x|x是14的正約數(shù)}={1,2,7,14}.(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.(3){(x,y)|x＋y＝2,x－2y＝4}=.(4){x|x＝(－1)n,n∈N}={－1,1}.(5){(x,y)|3x＋2y＝16,x∈N,y∈N}={(0,8),(2,5),(4,2)}.7．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用自然語言描述下列集合：(1)；(2)；(3).【答案】(1)小于10的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；(2)大于的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；(3)大于2且小于20的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.【解析】(1)因?yàn)榧媳硎荆盒∮?0的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；(2)集合表示：大于的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；(3)集合表示：大于2且小于20的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.4集合中元素的個數(shù)1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則A中元素的個數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】由，得，，又，，所以，，易知與的任意組合均滿足條件，所以A中元素的個數(shù)為.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合,則下列四個元素中屬于M的元素的個數(shù)是（

）①;②;③;④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】①當(dāng)時，可得，這與矛盾，②，可得，都是有理數(shù)，所以正確，③，，可得，都是有理數(shù)，所以正確，④而，，是無理數(shù)，不是集合中的元素，只有②③是集合的元素.故選：C3．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心高一期末）已知集合，，則B中所含元素的個數(shù)為（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】因?yàn)?，所以時，；時，或；時，，或.所以，所以B中所含元素的個數(shù)為.故選：B.4．（2022·湖南·益陽市箴言中學(xué)高一開學(xué)考試）已知集合，則M中元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因?yàn)榍?，所以，即集合中只有一個元素．故選：A．5．（2022·湖南·岳陽一中一模）定義集合的一種運(yùn)算：，若，，則中的元素個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，故集合中的元素個數(shù)為3，故選：C.6．（2022·江西省定南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知集合，，，則C中元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，即C中有三個元素，故選：C5元素互異性及其應(yīng)用1．（2022·四川自貢·高一期末）若，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時，符合題意；綜上所述：.故選：A.2．（2022·江西·高一期末）已知集合，若，則（

）A．-1 B．0 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?，所以或，而無實(shí)數(shù)解，所以.故選：C.3．（2022·江蘇·高一）已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．1或0 C．0 D．或0【答案】C【解析】若，即時，，不符合集合元素的互異性，舍去；若，即（舍去）或時，，故.故選：C.4．（2022·廣東）若，則的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【答案】C【解析】，則，符合題設(shè)；時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；時，則，符合題設(shè)；∴或均可以.故選：C5．（2021·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以或，解得或或，?dāng)時，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時滿足條件；故選：A6．（2021·湖北孝感·高一期中）（多選）已知集合，，則為（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【解析】依題意，當(dāng)時，或，若，則，符合題意；若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.當(dāng)時，或，若，則，對于集合，不滿足集合元素的互異性，所以不符合.若，則，符合題意.綜上所述，的值為或.故選：BC7．（2022·北京石景山·高一期末）已知集合，且，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C集合，四個選項(xiàng)中，只有，故選：C．8．（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若以集合的四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是（

）A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形【答案】C【解析】由題意，集合的四個元素為邊長構(gòu)成一個四邊形，根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，以四個元素為