2.2 基本不等式（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

2.2基本不等式（精練）1直接型1．（2022·江西）當(dāng)時，的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．）可得當(dāng)時，的最小值為故選：D2．（2022·廣東茂名·高一期末）若a，b都為正實數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，都為正實數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最大值.故選：D3．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)高一期末）設(shè)正實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號，故選：C.4．（2022·浙江杭州·高一期末）若為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因為為正實數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.所以的最小值為.故選：D5．（2022·廣東深圳·高一期末）已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】時，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）則，即的最大值為0.故選：C6．（2022·北京通州·高一期末）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值為B．當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值為C．當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值為【答案】A【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故選：A.7．（2022·北京東城·高一期末）已知實數(shù)x，y滿足，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.故選：C.8．（2022·北京豐臺·高一期末）已知a>0，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為a>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：D9．（2022·上海浦東新·高一期末）任意，下列式子中最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.當(dāng)時，，排除；B.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，符合；C.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，排除；D.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故等號不能成立，則，排除.故選：B.2常數(shù)代換型1．（2022·四川?。┮阎?，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即的最小值為4.故選：D.2．（2022·河南信陽·高一期末）設(shè)，且，則的最小值是（

）A． B．8 C． D．16【答案】B【解析】由題意，故則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選：B3．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】B【解析】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號成立．所以的最小值為25，故選：B4．（2022·云南·會澤縣實驗高級中學(xué)校高一開學(xué)考試）已知a，b＞0，且a＋2b＝1，則的最小值為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】∵a＋2b＝1，∴＝＝9，當(dāng)且僅當(dāng)時即時等號成立,故選：C.5．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是2.故選：A.6．（2022·甘肅·永昌縣）（多選）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則對于，下列說法準(zhǔn)確的是（

）A．取得最小值時a＝ B．最小值是5C．取得最小值時b＝ D．最小值是【答案】AD【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故AD正確，BC錯誤.故選：AD.7．（2022·江蘇淮安·高一期末）已知實數(shù)x，y>0，且，則的最小值是________．【答案】【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴的最小值是，故答案為：8．（2022·江西南昌·高一期末）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.3配湊型1．（2022·四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因為.所以.當(dāng)且僅當(dāng)“”即時取“=”.故選：B.2．（2021·遼寧·沈陽市第五中學(xué)）已知正實數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，又因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.3．（2022·浙江省樂清中學(xué)）已知實數(shù)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是2，故選：C4．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測）已知正數(shù)，則的最大值為_________．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），的最大值為.故答案為：.5．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則的最小值為___

.【答案】1【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，，令，因為在上遞增，所以，故答案為：16．（2022·重慶·高一期末）已知，且，則的最小值為____________.【答案】【解析】由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故答案為：4消元型1．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，則有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為2.故選：D2．（2021·江蘇·常州市北郊高級中學(xué)）已知，且，則最大值為______．【答案】【解析】由且，可得，代入，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，可得，時，不等式取等，即的最大值為，故答案為：．3．（2022·浙江）已知，若，則的最大值為_______．【答案】【解析】由條件可知，則，，，，設(shè)，，當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值是.故答案為：4（2021·浙江高三期末）已知實數(shù)x，y滿足x2+xy=1，則y2﹣2xy的最小值為___________.【答案】【解析】由x2+xy=1，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.5（2022云南）．若正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】由可得當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.則的最小值為故答案為：6．（2021·全國高三）已知，，且，則的最小值為【答案】【解析】因為，所以，因為，，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，此時，.7（2022年福建）.若正數(shù)滿足，則的最小值是?！敬鸢浮?【解析】因為正數(shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立5求參數(shù)1．（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期中）已知，，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題意得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立），所以.由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2022·河南）若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得，當(dāng)時，恒成立，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，的最大值為，所以，解得的取值范圍為．故選：B3．（2022·河南·虞城縣高級中學(xué)高一期末）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若不等式恒成立，則的最大值為________．【答案】【解析】由得．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時等號成立，∴，∴的最大值為．故答案為：5．（2022·江蘇·高一）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】或【解析】不等式有解，，，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取“”，，故，即，解得或，故答案為：或．6．（2021·河南·高一階段練習(xí)）已知x、y為兩個正實數(shù)，且不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】因為x、y為兩個正實數(shù)，由可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以，因此，實數(shù)a的取值范圍是,故答案為：7．（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案為：8．（2022·全國·高一）已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.【答案】36【解析】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時取得最小值，由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：6綜合運用1．（2022·陜西安康·高一期中）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴A錯誤；對于選項B：，，∴B錯誤；對于選項C：，因為∴C錯誤；對于選項D：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，D正確；故選：D2．（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高一開學(xué)考試）下列函數(shù)，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A，可取負(fù)數(shù)，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確；故選：D3（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【解析】由得：，因為，所以，所以，由基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，解得：或，因為，所以舍去，故的最大值為2，A錯誤；由得：，因為，所以，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，解得：或，因為，所以舍去，故的最小值為4，B正確；由變形為，則，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，令，則由，解得：或（舍去）所以的最小值為，C正確；由可得：，從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，故最小值為16.故選：BCD，4．（2022·遼寧朝陽·高一開學(xué)考試）（多選）設(shè)正實數(shù)?滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】對于A中，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以A正確；對于B中，由基本不等式得，所以，解得，所以B正確；對于C中，由基本不等式可得，因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以C錯誤；對于D中，由正實數(shù)滿足，則，可得，故，所以D正確.故選：ABD.5．（2022·貴州·赫章縣教育研究室高一期末）（多選）若正實數(shù)a，b滿足，則下列說法錯誤的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值【答案】AD【解析】選項A：由（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），得，故有最大值.判斷錯誤；選項B：（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），則，則有最大值.判斷正確；選項C：（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故有最小值4，判斷正確；選項D：（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以有最小值.判斷錯誤.故選：AD.6．（2022·福建龍巖·高一期末）（多選）設(shè)，且，則下列不等式成立的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于選項A，因為，且，則，由，則，即，解得，故A正確，對于選項B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，解得，故B錯誤；對于選項C，，且，則，即，由選項B可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；選項D：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D錯誤.故選：AC．7．（2022·貴州六盤水·高一期中）（多選）若x，．且，則（

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