2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）考點(diǎn)一常見不等式的解法【例1】（2022·浙江）求不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)或；(2)；(3)或；(4).【解析】（1）由，得，解得或，故不等式的解集為或；(2)由得，，故不等式的解集為；(3)由可得，，解得或，故不等式的解集為或；(4)由，可得，∴，解得，故不等式的解集為.【一隅三反】（2022·廣西解下列不等式：(1)；(2).(3)；(4)．(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)(2)(3)；(4).(5)或(6)(7)(8)【解析】(1)由題，即，解得或，即；(2)由題，解得或，即(3)不等式化為：，解得，所以的解集為.(4)，原不等式化為：，解得：，所以的解集是.(5)因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，.又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以原不等式的解集為或(6)因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即，.又二次函數(shù)的圖象開口向下，所以原不等式的解集為．(7)可得，∴∴該不等式解集為；(8)原不等式，∴，∴該不等式解集為；考點(diǎn)二三個(gè)一元二次的關(guān)系【例2-1】（2022·四川）已知不等式的解集為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由不等式的解集知：和是方程的兩根，.故選：A.【例2-2】（2021·江蘇南通·高一期中）已知不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】關(guān)于x的不等式的解集為，且和1是方程的兩個(gè)根，則，，關(guān)于x的不等式，即，，解得，故不等式的解集為，故選：A【一隅三反】1．（2022·廣西）若不等式的解集是，則的值為（

）A．-10 B．-14 C．10 D．14【答案】B【解析】由題意，和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得：且，解得：，，所以.故選：B2．（2022·江蘇?。┮阎P(guān)于的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，則，解得，，所以不等式化為，即，解得，所以，所求不等式的解集是．故選：A．3．（2022·山西）（多選）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為或【答案】ABC【解析】根據(jù)二次函數(shù)開口與二次不等式之間的關(guān)系可知，A正確；的根為，則，即∴，B正確；，C正確；，即，則，解得∴的解集為，D錯(cuò)誤；故選：ABC．考點(diǎn)三一元二次根的相關(guān)問題【例3-1】（2022·甘肅）若一元二次方程的兩根都是負(fù)數(shù)，求k的取值范圍為___________.【答案】【解析】首先，設(shè)方程的兩根為，則，所以，又，解得．故答案為：．【例3-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由題可知：則，即故選：C【例3-3】（2022·四川省高縣中學(xué)校）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C【例3-4】（2022·甘肅慶陽）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因?yàn)榉匠糖∮幸桓鶎儆?，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點(diǎn)或者，另一個(gè)零點(diǎn)屬于，把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點(diǎn)代入，解得：，此時(shí)方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)屬于，，解得，當(dāng)時(shí)，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：D【一隅三反】1．（2022·北京海淀·高一期末）已知函數(shù)（b，c為實(shí)數(shù)），.若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，則的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（b，c為實(shí)數(shù)），，所以，解得，所以，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)正實(shí)數(shù)根，，所以，解得，所以，當(dāng)c=2時(shí)，等號(hào)成立，所以其最小值是2，故選：B2．（2021·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高一期中）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1【答案】B【解析】由題意可得，解得或，設(shè)兩個(gè)為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個(gè)根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個(gè)根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B3．（2022·上海）若關(guān)于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，關(guān)于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.4．（2022·遼寧·高一階段練習(xí)）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個(gè)根在(0，1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知，解得－<a<－2.故答案為：.考點(diǎn)四解含參的一元二次不等式【例4-1】（2022·甘肅定西）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式，即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是4，5，6，故；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，這3個(gè)整數(shù)只能是0，1，2，故；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：C【例4-2】（2022·浙江·桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級(jí)中學(xué)）已知關(guān)于的不等式.(1)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)、的值；(2)若，求此不等式的解集.【答案】(1)，(2)答案見解析【解析】(1)由題意可知，關(guān)于的方程的兩根分別為、，所以，，由韋達(dá)定理可得，解得.(2)因?yàn)?，原不等式即?當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為、.①當(dāng)時(shí)，解不等式可得或；②當(dāng)時(shí)，若時(shí)，即，即時(shí)，解不等式可得；若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原不等式即為，即，原不等式的解集為；若時(shí)，即，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或.【一隅三反】1．（2021·甘肅）已知關(guān)于x的不等式的解集為M，若，則a的取值范圍為（

）A．[－2，4] B．（－2，4）C． D．【答案】A【解析】由于，所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A2．（2022·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】，【解析】可化為，該不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，不等式的解集為，且；故答案為：，．3．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于的一元二次不等式，其中．【答案】答案見解析【解析】原不等式整理得，由于，進(jìn)而得．當(dāng)時(shí)，原不等式即為，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．4．（2022·北京市第五中學(xué)高一階段練習(xí)）請回答下列問題：(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求，的值.(2)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)、(2)答案見解析【解析】(1)因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為或，所以和為方程的兩根，所以，解得；(2)不等式，即，即，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，方程的根為，，①當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為或；②當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；④當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為考點(diǎn)五一元二次（恒）成立【例5-1】（2022·廣東）已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意有，解得，綜上，.故選：B.【例5-2】（2022·河南·濮陽）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】恒成立，即，對(duì)任意得恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，不符題意，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，則，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，則，解得或（舍去），綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【例5-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾）若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題“”為假命題，其否定為真命題，即“”為真命題．令，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.故選：C【例5-4】（2022·山西）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，，，即，故問題轉(zhuǎn)化為在上有解，設(shè)，則，，對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故，故選：A【一隅三反】1．（2022·海南·嘉積中學(xué)）對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，解得：，即的取值范圍為.故選：D.2．（2022·浙江金華第一中學(xué)高一階段練習(xí)）一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立則，即，解得故選：B3．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹愠闪⑺院愠闪⒑愠闪⒑愠闪⒐式庵茫汗蔬x：A4．