3.1 函數(shù)的概念及表示（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

3.1函數(shù)的概念及表示（精講）考點一區(qū)間的表示【例1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）將下列集合用區(qū)間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)用區(qū)間表示為；(2)用區(qū)間表示為；(3)用區(qū)間表示為；(4)或用區(qū)間表示為.【例1-2】（2022廣東）若函數(shù)的定義域為，值域為，則a的取值范圍是________.【答案】【解析】由區(qū)間的定義知，解得.【【方法總結(jié)】用區(qū)間表示數(shù)集的原則有①數(shù)集是連續(xù)的；②左小右大；③區(qū)間的一端是開或閉不能弄錯；用區(qū)間表示數(shù)集的方法：區(qū)間符號里面的兩個數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開；（3）用數(shù)軸表示區(qū)間時，要特別注意實心點與空心點的區(qū)別．【一隅三反】1．（2021·全國高一課時練習(xí)）用區(qū)間表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)集合與區(qū)間的改寫，可得．（2）由或．（3）由或．2．（2022·江蘇·高一）下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個數(shù)為（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集①②是自然數(shù)集的子集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示，④是圖形的集合，不是數(shù)集，等邊三角形組成的集合．⑥Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有⑤可以，區(qū)間形式為，故答案為：D.2．（2021·安徽）已知為一個確定的區(qū)間，則a的取值范圍是________.【答案】.【解析】由為一個確定的區(qū)間知，解得，因此a的取值范圍是.故答案為：考點二函數(shù)概念的辨析【例2-1】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，那么下列四個圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，對于①中，函數(shù)的定義域不是集合，所以不能構(gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對于②中，函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，所以可以構(gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對于③中，函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，所以可以構(gòu)成集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對于④中，根據(jù)函數(shù)的定義，集合中的元素在集合中對應(yīng)兩個函數(shù)值，不符合函數(shù)的定義，所以不正確.故選：C【例2-2】（2022·四川省）下列是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A．，對應(yīng)法則B．，，對應(yīng)法則C．，對應(yīng)法則D．，，對應(yīng)法則【答案】B【解析】A：當(dāng)，，但，所以集合A中的一個元素在集合B中沒有元素和它對應(yīng)，不是函數(shù)，故A錯誤；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一對應(yīng)，是函數(shù)，故B正確；C：集合A中的負(fù)數(shù)在集合B中沒有元素和它對應(yīng)，不是函數(shù)，故C錯誤；D：集合A中元素為0時，其倒數(shù)不存在，所以在集合B中五對應(yīng)元素，不是函數(shù)，故D錯誤；【一隅三反】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列圖形中，不能表示以為自變量的函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】B中，當(dāng)時，有兩個值和對應(yīng)，不滿足函數(shù)y的唯一性，A，C，D滿足函數(shù)的定義，故選：B2．（2022·江蘇·高一）如圖，設(shè)，，表示A到B的函數(shù)的是__________填序號．【答案】④【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，在③中，存在一個x對應(yīng)兩個y，③不是函數(shù)；①，②中函數(shù)的值域不是，故排除①②③；可知④符合題意.故答案為：④．3．（2021·云南）有對應(yīng)法則f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)的有________(填序號)．【答案】（1）(4)【解析】（1）由函數(shù)的定義知，正確；（2）當(dāng)x＝0時，B中不存在數(shù)值與之對應(yīng)，故錯誤；（3）當(dāng)x＝0時，B中不存在數(shù)值與之對應(yīng)，故錯誤；（4）由函數(shù)的定義知，正確；（5）因為集合A不是數(shù)集，故錯誤；故答案為：（1）(4)考點三函數(shù)的定義域【例3-1】（2022·江蘇·高一）函數(shù)的定義域為（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】要是函數(shù)有意義，必須，解之得則函數(shù)的定義域為故選：D【例3-2】（2022·廣東）（1）已知的定義域為，求函數(shù)的定義域；（2）已知的定義域為，求的定義域；（3）已知函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域．(4）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】（1）；（2）；（3）.(4)【解析】（1）∵中的的范圍與中的x的取值范圍相同．∴，∴，即的定義域為．（2）由題意知中的，∴.又中的取值范圍與中的x的取值范圍相同，∴的定義域為．（3）∵函數(shù)的定義域為，由，得，∴的定義域為．又，即，∴函數(shù)的定義域為.（4）由題函數(shù)的定義域為，在中，所以，在中，所以.【例3-3】（1）（2022·新疆）若函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是（

）A．B．C．D．（2）（2021·廣東·廣州市白云中學(xué)高一期中）已知的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A． B．C． D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）若的定義域為R，則當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，無法滿足定義域為R．綜上所述：，D正確．故選：D（2）由題意可知，的解集為，①當(dāng)時，易知，即，這與的解集為矛盾；②當(dāng)時，若要的解集為，則只需圖像開口向上，且與軸無交點，即判別式小于0，即，解得，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.【一隅三反】1．（2022·江蘇·高一）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】使得函數(shù)的表達式有意義，則且，解得故選：D2．（2022·全國·高一階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則有，解得且，所以其定義域為．故選：C.3．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，則，所以，解得，所以的定義域為，故選：B4．（2022·全國·高一）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義城是________.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，只需，即，所以函數(shù)的定義城是.故答案為：5．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，即，所以，所以，即，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.6．（2021·江蘇）已知函數(shù)，若的定義域為，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由已知得對恒成立，即，∴.故答案為：.7．（2022·湖南）函數(shù)的定義域為，若，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于，所以解得或.所以的取值范圍是.故答案為：8．（2022·青海）已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，即在上恒成立，當(dāng)時，對任意恒成立；當(dāng)時，要使恒成立，即方程無實根，只需判別式，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.考點四函數(shù)的表示方法【例5-1】（2022·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，部分與的對應(yīng)關(guān)系如表：則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由表知，，則．故選：D．【例5-2】（2022·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求函數(shù)的解析式；（5）已知是上的函數(shù)，，并且對任意的實數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）∵，∴．（2）設(shè)，則，，即，∴，∴．（3）∵是二次函數(shù)，∴設(shè)．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，則，∴．【例5-3】（2022·黑龍江）作出下列函數(shù)的大致圖像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】見解析【解析】（1），圖象如圖所示：（2），圖象如圖所示：（3），圖象如圖所示：（4），圖象如圖所示：（5），【一隅三反】1．（2022·河南）已知函數(shù)，用列表法表示如下：則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由列表可知.故選：B.2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式；（1）已知是一次函數(shù)，且滿足；（2）已知函數(shù)為二次函數(shù)，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式對一切實數(shù)?都成立，且；（5）知函數(shù)滿足條件對任意不為零的實數(shù)恒成立；（6）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．【解析】（1）設(shè)，則所以解得：所以；（2）設(shè)，解得：（3），令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得或，，或（4）因為對一切實數(shù)?都成立，且令則，又因為所以，即（5）將代入等式得出，聯(lián)立，變形得：，解得（6）由題意得：定義域為設(shè)，則

．3．（2021·全國·高一課時練習(xí)）把下列函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，求出定義域和值域并作出函數(shù)圖像：（1）；（2）.【答案】（1）定義域為，值域為，圖像見解析；（2）定義域為，值域為，圖像見解析.【解析】（1），定義域為，值域為，圖像如圖所示：（2）定義域為，值域為.圖像如圖所示：考點五相等函數(shù)的判斷【例5】（2022·全國·高一專題練習(xí)）下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】A．函數(shù)的定義域為，，兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，B．，定義域為，函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)C．兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，是同一函數(shù)D．由得得，由得或，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，故選：C．【一隅三反】1（2022·云南）下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】對于A，與定義域均為，，與為相等函數(shù)，A正確；對于B，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，B錯誤；對于C，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，C錯誤；對于D，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，D錯誤.故選：A.2．（2022·全國·高一）下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R.對于A：的定義域為，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故A錯誤；對于B：的定義域為，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故B錯誤；對于C：的定義域為R，但是，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故C錯誤；對于D：的定義域為R，且，故與函數(shù)是同一函數(shù).故D正確.故選：D.3．（2022·江蘇·高一）下列各組函數(shù)的圖象相同的是（

）A． B．

C． D．【答案】B【解析】若函數(shù)與的圖象相同則與表示同一個函數(shù)，則與的定義域和解析式相同.A：的定義域為，的定義域為，故排除A；B：，與的定義域、解析式相同，故B正確；C：的定義域為R，的定義域為，故排除C；D：與的解析式不相同，故排除D.故選：B考點六分段函數(shù)【例6-1】（2022·江蘇·高一）函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【答案】A【解析】若f(x)＝2，①x≤－1時，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2時，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2時，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).綜上，x＝.故選：A.【例6-2】（2022·新疆）已知函數(shù)，若，則a的值是（）A．3或 B．或4 C． D．3或或4【答案】B【解析】函數(shù)，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，綜上：或，故選：B【一隅三反】1．（2022·河南信陽）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)或4【解析】(1)，，.(2)當(dāng)時，，，不符合；當(dāng)時，，，其中，符合；當(dāng)時，時，，符合.綜上所述：x的值是或4.2．（2022·浙江）已知（1）畫出的圖象；（2）若，求x的取值范圍；（3）求的值域.【答案】（1）作圖見解析；（2）；（3）[0，1].【解析】（1）利用描點法，作出f(x)的圖象，如圖所示