第2章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 章末測試（提升）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練（必修一）

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式章末測試（提升）第I卷（選擇題）單選題(每題5分，8題共40分)1．（2022·全國·專題練習）“不等式在R上恒成立”的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，則不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要條件,故選:A.2．（2022·四川成都）下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.當時，，當且僅當，即時，等號成立；當時，，當且僅當，即時，等號成立；故錯誤；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，當且僅當，即時，等號成立，故正確故選：D3．（2022·安徽·合肥已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則，即，∴，當且僅當，即，時，等號成立，故選：A.4．（2021·江蘇·高一專題練習）下列說法正確的是（

）A．若，則函數(shù)的最小值為3B．若，，，則的最小值為5C．若，，，則xy的最小值為1D．若，，，則的最小值為【答案】D【解析】選項A：，當且僅當時可以取等號，但題設條件中，故函數(shù)最小值取不到3，故A錯誤；選項B：若，，，則，當且僅當時不等式可取等號，故B錯誤；選項C：當且僅當時取等號，令，，解得，即，故xy的最大值為1，故C錯誤；選項D：，，，當且僅當時取等號，又因為，故時等號成立，即最小值可取到，

故D正確．故選：D．5．（2022·北京·101）已知某產品的總成本C（單位：元）與年產量Q（單位：件）之間的關系為．設該產品年產量為Q時的平均成本為f（Q）（單位：元/件），則f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．1800【答案】B【解析】，，，當且僅當，即當時等號成立.所以f（Q）的最小值是60.故選：B.6．（2022·山西現(xiàn)代雙語學校南校）已知關于的不等式的解集為，則下列結論錯誤的是（

）A． B．ab的最大值為C．的最小值為4 D．的最小值為【答案】C【解析】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，，所以，所以A正確；因為，，所以，可得，當且僅當時取等號，所以的最大值為，所以B正確；由，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為，所以C錯誤；由，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以D正確．故選：C．7．（2022·廣東深圳·高一期末）設a，bR，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，則，所以，即，故A錯誤；因為，所以，則，所以，即，∴，，即，故B錯誤；∵由，因為，所以，又因為，所以，即，故C錯誤；由可得，，故D正確.故選：D.8．（2022·福建·廈門一中高一期中）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】B【解析】因為關于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；由題得，所以為.所以選項B正確；設，則，所以選項C錯誤；不等式為，所以選項D錯誤.故選：B二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】，，A錯；，，成立，即B正確；，得，當且僅當時取等號，同理，，當且僅當時取等號，又，即不同時等于1，，C正確；當時，，D錯.故選：BC10．（2021·江西·豐城九中高二階段練習）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點，與軸交于點，且對稱軸為，點坐標為，則下面結論中正確的是（

）A． B．C． D．當時，或【答案】ABC【解析】因為二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，所以得，故A正確；當時，，故B正確；該函數(shù)圖象與軸有兩個交點，則，故C正確；因為二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，點坐標為，所以點的坐標為，所以當時，或，故D錯誤.故選：ABC.11．（2022·全國·模擬預測）現(xiàn)將一條長為10的細繩截成兩段，分別圍成一個正方形以及一個三邊長的比例為3:4:5的三角形，則下列說法正確的是（

）A．兩個圖形的面積之和的最小值為B．兩個圖形的面積之積的最大值為C．若兩個圖形的面積之和大于，則正方形周長的取值范圍是D．若兩個圖形的面積之和大于，則正方形周長與三角形周長之比的最大值為【答案】AB【解析】設將長為10的細繩截成兩段后的長分別為x，y．將長度為x的細繩圍成正方形，其面積為．將長度為y的細繩圍成三邊長的比例為3:4:5的直角三角形，即三邊長分別為，，，其對應的面積為．兩個圖形的面積之和．又，所以，當時，S取到最小值，最小值為，故選項A正確；兩個圖形的面積之積．由基本不等式得，則，即Z的最大值為，當且僅當時，等號成立，故選項B正確；令，解得，故選項C錯誤；正方形與三角形周長之比為，顯然不存在最大值，故選項D錯誤.故選：AB．12．（2021·江蘇·高一專題練習）已知方程及分別各有兩個整數(shù)根，及，，且，則下列結論一定正確的是（

）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A：由知，與同號．若，則，這時，所以，此時與矛盾，所以，．同理可證，故A正確；對于B：根據(jù)題意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正確，D正確；對于C：由A知，，，，是整數(shù)，所以，．由韋達定理有，所以，故C正確；故選：ACD．第II卷（非選擇題）三．填空題(每題5分，4題共20分)13．（2022·天津河北·二模）已知，，且，則的最大值為___________．【答案】【解析】因為，，且，所以又，當且僅當，即時取等號，，當且僅當，即時取等號，所以，則，即，當且僅當、時取等號；故答案為：14．（2022·上海·格致中學高一期末）已知關于的不等式的解集為，則的最小值是___________.【答案】【解析】因為關于的不等式的解集為，所以是方程的實數(shù)根，所以，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是故答案為：15．（2022·江蘇·高一）若，則下面有六個結論：①，②，③，④，⑤，⑥中，正確結論的序號是_______．【答案】①④⑥【解析】因為，則，所以，即，故①正確；由，不等式兩邊同時乘時，，對于，兩邊同乘，可得，故，即，則②錯誤；因為，所以，則，所以，即，則③錯誤；由，不等式邊同時乘，得，故④正確；由，因為，所以，又因為，所以，即，故⑤錯誤；由可得，，故⑥正確；因此，正確結論的序號是①④⑥.故答案為：①④⑥.16．（2021·湖北·荊門市龍泉中學高一階段練習）______【答案】【解析】由，當且僅當時等號成立故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2022·江西·南昌市八一中學高二期末（理））某種商品原來毎件售價為元，年銷售萬件．(1)據(jù)市場調查，若價格毎提高元，銷售量將相應減少件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少？(2)為了擴大商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高價格到元，公司擬投入萬元作為技改費用，投入萬元作為固定宣傳費用，試問：該商品明年的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和并求出此時每件商品的定價．【答案】(1)元(2)改革后銷售量至少達到萬件，才滿足條件，此時定價為元件【解析】(1)設每件定價為元，則，整理得，要滿足條件，每件定價最多為元；(2)由題得當時：有解，即：有解．又，當且僅當時取等號，即改革后銷售量至少達到萬件，才滿足條件，此時定價為元件18．（2022·江蘇·高一）已知(1)求二次函數(shù)的值域：(2)當時，若二次函數(shù)的值恒大于0，求a的取值范圍．【答案】(1)[0，](2)【解析】(1)等價于，．解得所以．∴二次函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間單調遞增，所以當時，y取最大值為，當時，y取最小值為0，所以二次函數(shù)．的值域是[0，]．(2)由（1）知∵恒成立．即恒成立．∴恒成立．．∵．∴∵，∴．當且僅當且時，即時，等號成立，．∴，故a的取值范圍為19．（2021·江西·上饒市第一中學）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)解關于的不等式.【答案】(1)(2)詳見解析.【解析】(1)因為是二次函數(shù)，不等式的解集是，所以，又在區(qū)間上的最大值是12，所以，解得，所以；(2)由（1）知不等式為，即，因為，即為，當時，，所以或，當時，則；當時，，所以或，綜上：當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集是.20．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高二階段練習）已知不等式．(1)若不等式對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】(1)當時，不等式為，解得，顯然不符合題意；當時，由已知，得即解得,綜上，實數(shù)a的取值范圍為(2)原不等式可化為，設，由題意，當，恒成立，所以，即,解得，所以實數(shù)x的取值范圍為21．（2022·江蘇）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有最大值，求實數(shù)a的值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)解關于x的不等式．【答案】(1)(2)(3)分類討論，答案見解析.【解析】(1)解：根據(jù)題意，函數(shù)，，因為函數(shù)有最大值，則有且，解得；(2)因為不等式恒成立，當時，恒成立，當時，必有，解得，綜上：，即a的取值范圍為；(3)，即，變形可得，時，原不等式為，解得，此時不等式的解集為；時，，時，，方程無解，此時不等式的解集為R，當時，不等式為，此時不等式的解集為，當時，，方程有兩個不等的實根，即，且，此時不等式的解集為或；時，，方程有兩個不等的實根，即，且，此時不等式的解集為；綜上所述，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為R．22．（2022·浙江）設二次函數(shù)．(1)若，且在上的最大值為，求函數(shù)的解析式；(2)若對任意的實數(shù)b，都存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)c的取值范圍