專題02相似三角形的判定(六個知識點八大題型二個易錯點)(原卷版+解析)

專題02相似三角形的判定（六個知識點八大題型二個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1相似三角形及其表示方法知識點2相似三角形預(yù)備定理（重點）知識點3判定兩個三角形相似定理1（重點）知識點4判定兩個三角形相似定理2（重點）知識點5判定兩個三角形相似定理3（重點）知識點6判定兩個直角三角形相似定理（重點）【方法二】實例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似題型二：尋找圖形中的相似三角形個數(shù)題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用題型四：利用相似三角形證明等積式題型五：相似三角形應(yīng)用題型六：相似三角形與函數(shù)綜合題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運動問題【方法三】差異對比法易錯點1對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹易錯點2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個三角形相似【方法四】成果評定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理，能正確地找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。2.能靈活地運用三角形相似的判定定理，證明和解決有關(guān)問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1相似三角形及其表示方法在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點詮釋：

(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點是B′，點C的對應(yīng)點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩個三角形全等.例1：下列說法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對應(yīng)成比例且一角相等的兩個三角形相似（B）對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似（C）有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似知識點2相似三角形的預(yù)備定理（重點）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點和點，則．知識點3判定兩個三角形相似定理1（重點）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：例3：如圖，在中，，于點，點是邊上一點，聯(lián) 結(jié)交于點，交邊于點．求證：．知識點4判定兩個三角形相似定理2（重點）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．要點詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.例4:如圖，點是的邊上的一點，且．求證：．知識點5判定兩個三角形相似定理3（重點）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．要點詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.例5：如圖，點D為內(nèi)一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．知識點6判定兩個直角三角形相似定理（重點）如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．例6：如圖，在和中，，，垂足為D和，且 ．求證：∽．【方法二】實例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似例7：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點（DE不平行BC），若使△ADE與△ABC相似，則需要添加_____即可（只需添加一個條件）．題型二：尋找圖形中的相似三角形個數(shù)例8：如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點，交于點．圖中 有哪幾對相似三角形？題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用例9：如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．題型四：利用相似三角形證明等積式例10．如圖，、分別是的邊、上的點，且．求證：．例11.如圖，是等邊三角形，，求證．題型五：相似三角形應(yīng)用例12.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺邊緣的小杰拍照時，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭的高度為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為米，涼亭與觀景臺底部的距離為米，小杰身高為米．那么觀景臺的高度為________________米．題型六：相似三角形與函數(shù)綜合例13.如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達式，并寫出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點Q，交EF于點P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題例14.如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯(lián)結(jié)DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，聯(lián)結(jié)EF．（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時，求EF的長；（2）如圖2，當(dāng)點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運動問題例15.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．【方法三】差異對比法易錯點1對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹例16.在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．易錯總結(jié)：找兩個三角形的對應(yīng)關(guān)系時，容易受思維定式的影響，想當(dāng)然地把AB與A1B1當(dāng)成對應(yīng)邊，∠A與∠A1當(dāng)成對應(yīng)角。易錯點2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個三角形相似例17.根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號表示出來．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．易錯總結(jié)：利用兩邊成比例且夾角相等的方法判定兩個三角形相似時，一定要注意這個角是對應(yīng)成比例的兩邊的夾角，若不是，則不能判定這兩個三角形一定相似?！痉椒ㄋ摹砍晒υu定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·九年級上海市華東模范中學(xué)?？计谥校┫铝形宸鶊D均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能確定的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在正三角形ABC中，點D、E分別在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．4．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．5．（2022秋·上海寶山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2020秋·九年級?？颊n時練習(xí)）如圖，△ABC中，DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，圖中與△ADG相似的三角形共有______個．7．（2022秋·九年級單元測試）如圖，△ABC中，D、E分別在BA、CA延長線上，DE∥BC，，DE＝1，BC的長度是_________．8．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，添加一個條件____________，可以利用定理“斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似”證明．9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點E是DC上一點，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．10．（2020秋·九年級?？颊n時練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．11．（2022春·上海金山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．12．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點是邊上一點，添加一個條件__________，可以使與相似．三、解答題13．（2021秋·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．14．（2022秋·九年級單元測試）如圖，點D，E在BC上，且,求證：15．（2017秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點P為邊AB上一個動點，過點P作PF∥AC交線段BD于點F，作PG⊥AB交AD于點E，交線段CD于點G，設(shè)，．（1）求證：；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）以P、E、F為頂點的三角形與△EDG能否相似？如果能相似，請求出.BP的長，如果不能，請說明理由．

（備用圖）16．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點G，連接AC．(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．17．（2022秋·上海徐匯·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，梯形中，AD//BC，是對角線上一點，(1)求證：(2)求證：18．（2018·上海黃浦·校聯(lián)考一模）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點C為射線DP上一點，BE平分∠ABC交線段AD于點E（不與端點A、D重合）．（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時，求四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時，求線段CD的長；（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．19．（2019秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考期中）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當(dāng)時，求的值．20．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF(如圖1).(1)當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖2).①求證：△APB∽△DCP；②求PC、BC的長.(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E和點A重合時停止.在這個過程中(圖1是該過程的某個時刻)，觀察、猜想并解答：①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由.②設(shè)AE=x，當(dāng)△PBF是等腰三角形時，請直接寫出x的值.21．（2022·上?！ざ＃┤鐖D，在中，，，，點是射線上的一個動點，過點作，垂足為點，延長交射線于點，設(shè)，．(1)如圖1，當(dāng)點是線段的中點時，求的值；(2)如圖2，當(dāng)點在的延長線上，求關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域；(3)當(dāng)時，求的面積．專題02相似三角形的判定（六個知識點八大題型二個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1相似三角形及其表示方法知識點2相似三角形預(yù)備定理（重點）知識點3判定兩個三角形相似定理1（重點）知識點4判定兩個三角形相似定理2（重點）知識點5判定兩個三角形相似定理3（重點）知識點6判定兩個直角三角形相似定理（重點）【方法二】實例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似題型二：尋找圖形中的相似三角形個數(shù)題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用題型四：利用相似三角形證明等積式題型五：相似三角形應(yīng)用題型六：相似三角形與函數(shù)綜合題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運動問題【方法三】差異對比法易錯點1對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹易錯點2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個三角形相似【方法四】成果評定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理，能正確地找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。2.能靈活地運用三角形相似的判定定理，證明和解決有關(guān)問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1相似三角形及其表示方法在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點詮釋：

(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點是B′，點C的對應(yīng)點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩個三角形全等.例1：下列說法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對應(yīng)成比例且一角相等的兩個三角形相似（B）對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似（C）有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似【答案】C【解析】根據(jù)判定定理2可知A錯誤，C正確；根據(jù)判定定理1可知B錯誤，根據(jù)相似三 角形預(yù)備定理可知只有直線與底邊平行時才相似．【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理掌握情況和相關(guān)條件．知識點2相似三角形的預(yù)備定理（重點）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點和點，則．例2：如圖，路燈距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部（點O）20米的點A處，沿OA所在的直線行走14米到點B時，人影的長度(

)A．增大1.5米

B．減小1.5米

C．增大3.5米

D．減小3.5米【答案】D試題分析：設(shè)小明在A處時影長為x，B處時影長為y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，則，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故變短了3.5米．故選D．知識點3判定兩個三角形相似定理1（重點）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：例3：如圖，在中，，于點，點是邊上一點，聯(lián) 結(jié)交于點，交邊于點．求證：．【難度】★★【解析】證明：， ，， 又，， ． ． ．【總結(jié)】考查利用“子母三角形”基礎(chǔ)模型證明角相等，根據(jù)同角的余角相等，證明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可證明．知識點4判定兩個三角形相似定理2（重點）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．要點詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.例4:如圖，點是的邊上的一點，且．求證：．【難度】★【解析】證明：， ， ， ．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，根據(jù)題目條件進行比例變形，對應(yīng)邊成比例夾角相等．知識點5判定兩個三角形相似定理3（重點）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．要點詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.例5：如圖，點D為內(nèi)一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．【難度】★★【解析】． ，即． ． ∽．【總結(jié)】本題考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性質(zhì)知識．知識點6判定兩個直角三角形相似定理（重點）如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．例6：如圖，在和中，，，垂足為D和，且 ．求證：∽．【難度】★【解析】證明：，， ． 又， ，． 同理可得：，∽．【總結(jié)】本題考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】實例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似例7：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點（DE不平行BC），若使△ADE與△ABC相似，則需要添加_____即可（只需添加一個條件）．【答案】∠ADE＝∠C【分析】根據(jù)相似三角形判定定理：兩個角相等的三角形相似；夾角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似，即可解題．【詳解】∵∠A是公共角，如果∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ABC，故答案為∠ADE=∠C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即①有兩組角對應(yīng)相等的三角形相似，②三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，③兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．題型二：尋找圖形中的相似三角形個數(shù)例8：如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點，交于點．圖中 有哪幾對相似三角形？【難度】★【答案】，， ．【解析】由，可得： ，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理， 可得：，， 進而可得：，即這三個三角形兩兩相似．【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時考查相似三角形的傳遞性．題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用例9：如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可求解．【詳解】解:在與中，∵，且，∴．故選:A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定:（1）平行線法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法:三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法:兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；（4）兩角法:有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．題型四：利用相似三角形證明等積式例10．如圖，、分別是的邊、上的點，且．求證：．【難度】★【解析】證明：， ， ， 即．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定義，各邊對應(yīng)成比例，先判定再應(yīng)用即可得出結(jié)論．例11.如圖，是等邊三角形，，求證．【難度】★★【解析】證明：是等邊三角形，．，．又，．，，，即．題型五：相似三角形應(yīng)用例12.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺邊緣的小杰拍照時，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭的高度為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為米，涼亭與觀景臺底部的距離為米，小杰身高為米．那么觀景臺的高度為________________米．【答案】//【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，繼而利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答．【詳解】解：過點作于點，交于點，由題意得，，，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴（米）．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．題型六：相似三角形與函數(shù)綜合例13.如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達式，并寫出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點Q，交EF于點P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．【答案】（1）見解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．【分析】（1）先判斷出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，進而得出∠BGE=∠EGF，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△BEG∽△CFE進而得出CF=，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①△AGQ∽△CEP時，判斷出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE時，判斷出EG∥AC，進而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，延長FE交AB的延長線于F'，∵點E是BC的中點，∴BE=CE=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=，由（1）知，BF'=CF=，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+當(dāng)CF=4時，即：=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ與△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=，∴AG=AB﹣BG=4﹣，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：當(dāng)△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．【點睛】本題考核知識點：相似三角形綜合.解題關(guān)鍵點：熟記相似三角形的判定和性質(zhì).題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題例14.如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯(lián)結(jié)DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，聯(lián)結(jié)EF．（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時，求EF的長；（2）如圖2，當(dāng)點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．【答案】（1）；（2）不變；（3）或3或.【詳解】試題分析：（1）由已知條件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）過點作，，垂足分別為點、，由（1）可得DH=3，DG=4；再證，即可得出結(jié)論；（3）分三種情況討論即可.（1）∵，∴

∵

∴∵是邊的中點

∴∵

∴∴

∴

∴∵在中，

∴∵

∴又∵

∴四邊形是矩形∴∵在中，

∴（2）不變過點作，，垂足分別為點、由（1）可得，∵，∴又∵，∴四邊形是矩形∴∵∴

即又∵

∴∴∵

∴（3）1°當(dāng)時，易證，即又∵，D是AB的中點∴∴2°當(dāng)時，易證∵在中，∴設(shè)，則，當(dāng)時，易證，∴∵∴

∴

∴∵

∴∴

解得

∴∴

3°

在BC邊上截取BK=BD=5，由勾股定理得出當(dāng)時，易證∴設(shè)，則，∴∵

∴

∴

∴∵

∴∴

解得

∴∴題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運動問題例15.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．【難度】★★【答案】（1）8；（2）不改變．【解析】（2）易證，得：．又，，．【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，等腰三角形，“一線三等角”得相似等的相關(guān)知識．【方法三】差異對比法易錯點1對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹例16.在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．【答案】D【分析】由題意可得一組對角相等，根據(jù)相似三角形的判定：（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似添加條件即可．【詳解】解：有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故選項A不符合題意；兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，故選項B不符合題意；由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC與△ADE相似，所以選項C不符合題意；而D不是夾角相等，故選項D符合題意；故選：D【點睛】相似三角形的判定：（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．易錯總結(jié)：找兩個三角形的對應(yīng)關(guān)系時，容易受思維定式的影響，想當(dāng)然地把AB與A1B1當(dāng)成對應(yīng)邊，∠A與∠A1當(dāng)成對應(yīng)角。易錯點2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個三角形相似例17.根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號表示出來．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．【答案】（1）相似，；（2）相似，；（3）不相似【解析】根據(jù)相似三角形判定定理2即可知對應(yīng)邊成比例，且夾角相等即相似，（1）（2）均符合題意，但需確立好對應(yīng)關(guān)系；（3）中相等兩角非夾角，不相似．【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2的條件，尤其注意是對應(yīng)成比例邊的夾角易錯總結(jié)：利用兩邊成比例且夾角相等的方法判定兩個三角形相似時，一定要注意這個角是對應(yīng)成比例的兩邊的夾角，若不是，則不能判定這兩個三角形一定相似?！痉椒ㄋ摹砍晒υu定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·九年級上海市華東模范中學(xué)?？计谥校┫铝形宸鶊D均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對應(yīng)的線段表示出來，利用三邊對應(yīng)成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為，第1個圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個圖形中三角形與△ABC相似；第2個圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個圖形中三角形不與△ABC相似；第3個圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形不是直角三角形，故第3個圖形中三角形不與△ABC相似；第4個圖形中，三邊長分別為，，，∵，則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個圖形中三角形與△ABC相似；故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，三角形對應(yīng)邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能確定的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷，即可求解．【詳解】解：∵，∴，A．若添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；B．若添加，可用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；C．若添加，不能證明，故本選項符合題意；D．若添加，可用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，證明，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在正三角形ABC中，點D、E分別在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可判定．【詳解】解：∵，∴，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；也考查了等邊三角形的性質(zhì)．4．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：A選項，若平分，則，又，滿足兩組對角相等，可以判定和相似，不合題意；B選項，若，又，滿足兩組對角相等，可以判定和相似，不合題意；C選項，若，則，兩組對應(yīng)邊成比例，但兩邊的夾角不相等，不能判定和相似，符合題意；D選項，若，又，滿足兩組對應(yīng)邊成比例且兩邊的夾角相等，可以判定和相似，不合題意；故選C．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·上海寶山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由題意得出，證明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，則可證出結(jié)論；②不能證明△ABC與△ADC相似，得出②不符合題意；證出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合題意；根據(jù)不能證明△ABC與△ABD相似，則可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故①符合題意；②∵AB?CD=AC?AD，∴，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠ABD=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAC=90°，故②符合題意；③∵，∴，∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC=∠BAC=90°，故③符合題意；④由不能證明△ABC與△ABD相似，故④不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2020秋·九年級?？颊n時練習(xí)）如圖，△ABC中，DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，圖中與△ADG相似的三角形共有______個．【答案】5【分析】根據(jù)DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，進行判斷即可；【詳解】設(shè)DF與GE相交于點H，則△ABC，△DBF，△GEC，△HGD，△HEF都和△ADG相似；故答案是5．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·九年級單元測試）如圖，△ABC中，D、E分別在BA、CA延長線上，DE∥BC，，DE＝1，BC的長度是_________．【答案】【分析】根據(jù)DE∥BC，可得，從而得到,即可求解．【詳解】解：∵DE∥BC，，∴，∴，∵，DE＝1，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·上海奉賢·九年級校考期中）如圖，在四邊形中，添加一個條件____________，可以利用定理“斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似”證明．【答案】（答案不唯一）【分析】添加“”，理由：設(shè)，則，再由勾股定理可得，從而得到，即可．【詳解】解：添加“”，理由：設(shè)，則，∵，∴，∴，∴．故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點E是DC上一點，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．【答案】【詳解】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．點睛：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．10．（2020秋·九年級?？颊n時練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．11．（2022春·上海金山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．【答案】【分析】通過證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計算線段的長度是常用的方法．12．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點是邊上一點，添加一個條件__________，可以使與相似．【答案】（答案不唯一）【分析】已知，只需要補充另一對角相等即可得到與相似．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形相似的方法．三、解答題13．（2021秋·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】試題分析：（1）先證△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求證；（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，先證△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再證EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，連接EF，在△BDE與△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．14．（2022秋·九年級單元測試）如圖，點D，E在BC上，且,求證：【答案】見解析【分析】利用平行關(guān)系，找出對應(yīng)角相等，即可證明相似．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題關(guān)鍵找到需要的條件．15．（2017秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點P為邊AB上一個動點，過點P作PF∥AC交線段BD于點F，作PG⊥AB交AD于點E，交線段CD于點G，設(shè)，．（1）求證：；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）以P、E、F為頂點的三角形與△EDG能否相似？如果能相似，請求出.BP的長，如果不能，請說明理由．

（備用圖）【答案】（1）；（2）（≤≤1）；（3）或.【詳解】試題分析：（1）證△PBF是等邊三角形，得到BF=FP．再由等角對等邊得到FP=FG，從而得到結(jié)論；（2）由BP=x，∠PGB=30°，得到，.由等邊三角形的性質(zhì)得到BD=1，從而有DG=2x-1，在△EDG中，得到DG=y，故2x-1=y，從而得到結(jié)論．（3）若△FPE與△EDG相似，分兩種情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時．試題解析：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴又∵PF∥AC，∴，∴△PBF是等邊三角形，∴．又∵PG⊥AB，∴，∴，∴.（2）∵，，，∴，.又∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，，∴，∴在△EDG中，∵∠EDG=90°，∠EGD=30°，ED=y，∴DG=y，∴2x-1=y，∴（≤≤1）．（3）能相似，∵，∴若△FPE與△EDG相似，有兩種情況．①當(dāng)時，∴EF∥AB，∴，∴，解得：；②當(dāng)時，∵△BPF是等邊三角形，∴，∴，∴，∵AD⊥BC，∴，即，解得：，∴BP的長是或點睛：本題是相似三角形綜合題．解題過程中，要充分利用等邊三角形的性質(zhì)和含30°角直角三角形三邊的比例關(guān)系，使計算變得簡單，還要注意相似三角形對應(yīng)邊不確定時，要分類討論．16．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點G，連接AC．(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得ABCD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠FAE＝90°，從而可得∠BAF＝∠DAE，進而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明，即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠AFE＝∠CFE，從而證明△AFE≌△CFE，進而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再證△AFG≌△CFG，從而可得∠FAG＝∠FCG，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，從而可得AE∥CG，進而利用菱形的判定方法即可解答．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE＝90°，∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠FAE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如圖：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠FAG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠BCG＋∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AECG，∵ABCD，∴四邊形AGCE是平行四邊形，∵AE＝EC，∴四邊形AGCE為菱形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·上海徐匯·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，梯形中，AD//BC，是對角線上一點，(1)求證：(2)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先由得到，然后由得證；（2）先由得到，再由得到，從而得到，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴．（2）∵梯形中，，∴

又∵，∴，∵，∴，∴∴【點睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等量代換得證．18．（2018·上海黃浦·校聯(lián)考一模）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點C為射線DP上一點，BE平分∠ABC交線段AD于點E（不與端點A、D重合）．（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時，求四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時，求線段CD的長；（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．【答案】（1）16（2）當(dāng)△ABE∽△EBC時，線段CD的長為2或（3）（0＜x＜4.1）【詳解】試題分析:(1)過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,則四邊形ABCD的面積=,(2)由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當(dāng)△ABE∽△EBC時,∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,(3)延長BE交CD延長線于M,因為AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,由勾股定理可得:,則DM=CM-CD=,又因為DM∥AB,可得,即,即可得到:.試題解析:（1）過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,則四邊形ABCD的面積=,（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當(dāng)△ABE∽△EBC時,∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,于是在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,綜上,當(dāng)△ABE∽△EBC時,線段CD的長為2或.（3）延長BE交CD延長線于M,由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,,則DM=CM-CD=,又DM∥AB,得,即,解得.19．（2019秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考期中）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當(dāng)時，求的值．【答案】當(dāng)或或時，是比例三角形；證明見解析；．【分析】（1）根據(jù)比例三角形的定義分AB2＝BC?AC、BC2＝AB?AC、AC2＝AB?BC三種情況分別代入計算可得；（2）先證△ABC∽△DCA得CA2＝BC?AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再證△ABH∽△DBC得AB?BC＝BH?DB，即AB?BC＝BD2，結(jié)合AB?BC＝AC2知BD2＝AC2，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①當(dāng)AB2＝BC?AC時，得：4＝3AC，解得：AC＝；②當(dāng)BC2＝AB?AC時，得：9＝2AC，解得：AC＝；③當(dāng)AC2＝AB?BC時，得：AC2＝6，解得：AC＝（負值舍去）；所以當(dāng)AC＝或或時，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CA