陜西省西安工業(yè)大學附屬中學2024-2025學年高二上學期第一次月考數(shù)學試題（含答案及解析）

2024~2025學年第一學期高二第一次月考數(shù)學卷時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.3.若向量，，則在上的投影向量的坐標是（）A B. C. D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，“出現(xiàn)的點數(shù)不大于3”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.與互為對立事件 B.C. D.6.一道競賽題，，，三人可解出的概率依次為，，，若三人獨立解答，則僅有1人解出的概率為（）A. B.C. D.17.下列說法不正確是（）A.8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是B.用抽簽法從含有20個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，則個體甲和乙被抽到的概率均為0.2C.一組數(shù)據(jù)4，3，2，6，5，8的60%分位數(shù)為6D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為38.如圖所示，在三棱柱中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，則（）A. B. C. D.二、多項選擇題：（本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得滿分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的項得0分．）9.下列是基本事實的是（）A.過三個點有且只有一個平面B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線10.已知函數(shù)，，則（）A.與的圖象有相同的對稱中心B.與的圖象關于軸對稱C.與的圖象關于軸對稱D.的解集為（）11.在中，，，為內(nèi)的一點，設，則下列說法正確的是（）A.若為的重心，則B.若為的外心，則C.若為的垂心，則D.若為的內(nèi)心，則12.在菱形中，，，將沿對角線折起，使點A至點（在平面外）的位置，則（）A.在折疊過程中，總有BD⊥PCB.存在點，使得C.當時，三棱錐的外接球的表面積為D.當三棱錐體積最大時，三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為______．14.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學生開展有關亞冬會知識的競賽活動．已知該班男生30人，女生20入、按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進行一輪答題．相關統(tǒng)計情況如下：男生答對題目的平均數(shù)為10，方差為1：女生答對題目的平均數(shù)為15，方差為0.5，則這10人答對題目的方差為______．15.已知銳角中，，則的取值范圍______.16.設，滿足，則______．四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.某地教育研究中心為了調(diào)查該地師生對“高考使用全國統(tǒng)一命題的試卷”這一看法，對該市區(qū)部分師生進行調(diào)查，先將調(diào)查結果統(tǒng)計如下：（1）請將表格補充完整，若該地區(qū)共有教師30000人，用頻率估計概率，試估計該地區(qū)教師反對“高考使用全國統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)；（2）先按照比例分配的分層隨機抽樣從“反對”的人中抽取6人，再從中隨機選出3人進行深入調(diào)研，求深入調(diào)研中恰有1名學生的概率．

贊成反對合計教師120

學生

40

合計280120

18.記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角正弦值．20.現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購買基金：投資結果獲利20%不賠不賺虧損10%概率（1）當時，求的值；（2）已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求的取值范圍．21.如圖，在三棱臺中，，，，側棱平面，點D是棱的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22.已知函數(shù)的最大值為.（1）求實數(shù)的值；（2）若向量滿足，設的夾角為，求的取值范圍.

2024~2025學年第一學期高二第一次月考數(shù)學卷時間：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結合交集與補集運算即可求解.【詳解】因為，所以，則，故選：D2.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.3.若向量，，則在上的投影向量的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，再結合投影向量的定義運算求解.【詳解】因為，，則，所以在上的投影向量.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.5.某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，“出現(xiàn)的點數(shù)不大于3”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.與互為對立事件 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉所有基本事件，根據(jù)對立事件的定義可判定A，由古典概型概率公式，即可結合選項逐一求解BCD.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)構成的樣本空間為，則，對于A，事件可同時發(fā)生，故不是對立事件，A錯誤，對于B，,,故B錯誤，對于C，,C正確，對于D，，D錯誤，故選：C6.一道競賽題，，，三人可解出的概率依次為，，，若三人獨立解答，則僅有1人解出的概率為（）A. B.C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，只有1人解出，則分三類，一是A解出而其余兩人沒有解出，一是B解出而其余兩人沒有解出，一是C解出而其余兩人沒有解出，每一類用獨立事件概率的乘法公式求解，然后這三類用互斥事件概率的加法求解.【詳解】.故選：B【點睛】本題主要考查了獨立事件的概率和互斥事件的概率，還考查了理解辨析問題的能力，屬于基礎題.7.下列說法不正確的是（）A.8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是B.用抽簽法從含有20個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，則個體甲和乙被抽到的概率均為0.2C.一組數(shù)據(jù)4，3，2，6，5，860%分位數(shù)為6D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為3【答案】C【解析】【分析】由平均數(shù)的概念求解判斷A；由簡單隨機抽樣的概念判斷B；由百分位數(shù)的定義判斷C；由平均數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故A正確；用抽簽法從含有20個個體的總體中抽取一個容量為4的樣本，則每個個體抽到的概率均為，故B正確；數(shù)據(jù)4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8，∵6×60%＝3.6，∴這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為第4個數(shù)5，故C錯誤；若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，故D正確.故選：C.8.如圖所示，在三棱柱中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖，延長到，到，到，連接，，，得到三棱柱，由題意可得，即可得出答案.【詳解】如圖，延長到，到，到，且，，，連接，，，得到三棱柱，則．延長，，則與相交于點．因為，所以．又，所以，故．故選：A.二、多項選擇題：（本題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得滿分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的項得0分．）9.下列是基本事實的是（）A.過三個點有且只有一個平面B.平行于同一條直線的兩條直線平行C.如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本事實判斷即可.【詳解】對于A，基本事實1是過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，故A錯誤；對于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實4，故B正確；對于C，“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”是基本事實2，故C正確；對于D，“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線”是基本事實3，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，，則（）A.與的圖象有相同的對稱中心B.與的圖象關于軸對稱C.與的圖象關于軸對稱D.的解集為（）【答案】ABD【解析】【分析】整體法求得的對稱中心即可判斷A；由奇偶函數(shù)的定義即可判斷BC；數(shù)形結合即可判斷D．【詳解】令（），得（），所以圖象的對稱中心為（）；令（），得（），所以圖象的對稱中心為（），所以與的圖象有相同的對稱中心，故A正確；，所以與的圖象關于軸對稱，故B正確；，故C不正確；由，得，即，所以，，解得（），故D正確．故選：ABD．11.在中，，，為內(nèi)的一點，設，則下列說法正確的是（）A.若為的重心，則B.若為的外心，則C.若為的垂心，則D.若為的內(nèi)心，則【答案】ACD【解析】【分析】對于ACD：先求出三角形各種心的坐標，然后代入坐標列方程求解；對于B：利用展開計算即可.【詳解】如圖建立平面直角坐標系，，對于A：若為的重心，則，所以若，則，解得，所以，A正確；對于B：若為的外心，其必在直線上，所以，B錯誤；對于C：若為的垂心，其必在上，設，則，解得，此時，若，則，解得，所以，C正確；對于D：若為的內(nèi)心，設內(nèi)切圓半徑為，則，得，則，此時，若，則，解得，所以，D正確；故選：ACD.關鍵點點睛：判斷C選項的關鍵是利用垂心的性質(zhì)、數(shù)量積垂直的坐標表示求出垂心的坐標，由此即可順利得解.12.在菱形中，，，將沿對角線折起，使點A至點（在平面外）的位置，則（）A.在折疊過程中，總有BD⊥PCB.存在點，使得C.當時，三棱錐的外接球的表面積為D.當三棱錐的體積最大時，【答案】AC【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A，由題可得PC的取值范圍可判斷B，利用正方體的性質(zhì)可判斷C，利用三棱錐的體積的公式結合條件可求判斷D.【詳解】如圖所示，取PC的中點E，連接BE，DE，則BE⊥PC，DE⊥PC，因為，BD，平面BDE，所以PC⊥平面BDE，又平面BDE，所以，A項正確；在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以，當△ABD沿對角線BD折起時，，所以不存在點P，使得PC=2，B項錯誤；當PC=1時，將正四面體補成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三棱錐P-BCD的外接球就是該正方體的外接球,因為正方體的各面的對角線長為1．所以正方體棱長為，設外接球的半徑為R，則，所以三棱錐的外接球的表面積，C項正確；當三棱錐P-BCD的體積最大時，平面平面BCD，取BD的中點O，連接PO，OC，易知平面BCD，則，又，所以，D項錯誤．故選：AC．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知虛數(shù)，其實部為1，且，則實數(shù)為______．【答案】2【解析】【分析】設且，直接根據(jù)復數(shù)的除法運算，再根據(jù)復數(shù)分類即可得到答案.【詳解】設，且.則，，，解得，故答案為：2.14.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學生開展有關亞冬會知識的競賽活動．已知該班男生30人，女生20入、按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進行一輪答題．相關統(tǒng)計情況如下：男生答對題目的平均數(shù)為10，方差為1：女生答對題目的平均數(shù)為15，方差為0.5，則這10人答對題目的方差為______．【答案】6.8【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣，均值與方差公式計算即可.【詳解】男生30人，女生20人，則抽取的時候分層比為．則10個人中男女分別抽取了6人和4人.這10人答對題目的平均數(shù)為.所以這10人答對題目的方差為.故答案：6.815.已知銳角中，，則的取值范圍______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理結合兩角和與差的正弦公式化簡已知等式知，分別討論或，結合題意即可求出，由正弦定理將化簡為，代入即可求出答案.【詳解】因為，所以，所以，由正弦定理可得：，在中，因為，又，所以所以，①當時，且，若是銳角三角形，則，所以，不成立；②當時，且，所以，所以，則，且，且，，又，，，，所以.故答案為：.16.設，滿足，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)式子結構，構造同構的形式，定義函數(shù)，判斷出在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，即可得到，即可求出結果.【詳解】可化為，記，函數(shù)定義域為R.因為，所以在R上單調(diào)遞增.又，所以奇函數(shù).所以由可得，所以.故答案為：2.四、解答題：（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.某地教育研究中心為了調(diào)查該地師生對“高考使用全國統(tǒng)一命題的試卷”這一看法，對該市區(qū)部分師生進行調(diào)查，先將調(diào)查結果統(tǒng)計如下：（1）請將表格補充完整，若該地區(qū)共有教師30000人，用頻率估計概率，試估計該地區(qū)教師反對“高考使用全國統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)；（2）先按照比例分配的分層隨機抽樣從“反對”的人中抽取6人，再從中隨機選出3人進行深入調(diào)研，求深入調(diào)研中恰有1名學生的概率．

贊成反對合計教師120

學生

40

合計280120

【答案】（1）表格見解析，人（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)直接完善表格即可，以頻率為概率，按比例計算人數(shù)；（2）先按分層抽樣得4名教師2名學生，利用枚舉法得所有事件總數(shù)，再從中挑出恰有1名學生事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【小問1詳解】表格補充如下：贊成反對合計教師12080200學生16040200合計280120400人，即可估計該地區(qū)教師反對“高考使用全國統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)為人；【小問2詳解】，，即這6人中有人為教師，人為學生，記這名學生為，名教師記為，，，，則隨機選出3人進行深入調(diào)研，不同選法有：，，共種，恰有1名學生的選法有，共12種，故深入調(diào)研中恰有一名學生的概率.18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關系解方程組，亦可利用導數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長【小問1詳解】方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故【小問2詳解】由題設條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點，且．(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)見證明；（2）(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)連結，交于點，推導出，平面，由此能證明平面平面；(Ⅱ)過作平面的垂線，垂足為，則即為直線與平面所成角，設為，設，由，求出，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】(Ⅰ)連結AC，BD，交于點O，則由∽，得，，，平面ABCD，平面ABCD，又平面QBD，平面平面ABCD．(Ⅱ)過D作平面PBC的垂線，垂足為H，則即為直線QD與平面PBC所成角，設為，設，，，即，解得，，直線QD與平面PBC所成角的正弦值．【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查數(shù)形結合思想與空間想象能力，是中檔題．求線面角的方法：1、傳統(tǒng)法：根據(jù)圖形正確作出線面角是解決問題的關鍵，這要求學生必須具有較強的空間想象能力，同時還應寫出必要的作、證、算過程；2、向量法：對于特殊的幾何體，如長方體、正方體等當比較容易建立空間直角坐標系時，也可采用向量法求解.20.現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購買基金：投資結果獲利20%不賠不賺虧損10%概率（1）當時，求的值；（2）已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大