高考數(shù)學之三角函數(shù)知識點總結(jié)

三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義1角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值|α|=,其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)，在直角坐標平面內(nèi)，把角α的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設(shè)它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sinα=,余弦函數(shù)cosα=,正切函數(shù)tanα=，余切函數(shù)cotα=，定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系：tanα=,商數(shù)關(guān)系：tanα=；乘積關(guān)系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2誘導公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα（奇變偶不變，符號看象限）。定理3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx（x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為2.奇偶數(shù).有界性：當且僅當x=2kx+時，y取最大值1，當且僅當x=3k-時,y取最小值-1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k,0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里k∈Z.定理4余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2kπ,2kπ+π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2kπ-π,2kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為2π。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線x=kπ均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當且僅當x=2kπ時，y取最大值1；當且僅當x=2kπ-π時，y取最小值-1。值域為[-1，1]。這里k∈Z.定理5正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xkπ+)在開區(qū)間(kπ-,kπ+)上為增函數(shù),最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（kπ，0），（kπ+，0）均為其對稱中心。函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸定理6兩角和與差的基本關(guān)系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=定理7和差化積與積化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=定理9半角公式:sin=,cos=,tan==定理10萬能公式:,,定理11輔助角公式：如果a,b是實數(shù)且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(a,b)的一個角為β，則sinβ=,cosβ=，對任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。定理14圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4函數(shù)y=sinx的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函數(shù)y=cosx(x∈[0,π])的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作y=arccosx(x∈[-1,1]).函數(shù)y=tanx的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16若，則sinx<x<tanx.二、方法與例題1．結(jié)合圖象解題。例1求方程sinx=lg|x|的解的個數(shù)?！窘狻吭谕蛔鴺讼祪?nèi)畫出函數(shù)y=sinx與y=lg|x|的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。1（浙江卷7）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是（A）0（B）1（C）2（D）42．最小正周期的確定。例2求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期?！窘狻渴紫?，T=2π是函數(shù)的周期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當且僅當x=kπ+時，y=0（因為|2cosx|≤2<π）,所以若最小正周期為T0，則T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。1．（07江蘇卷）下列函數(shù)中，周期為的是（）A．B．C．D．2.（08江蘇）的最小正周期為，其中，則=3.（04全國）函數(shù)的最小正周期是（）.4.（1）（04北京）函數(shù)的最小正周期是.（2）（04江蘇）函數(shù)的最小正周期為（）.5.(09廣東文)函數(shù)是()A．最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)6.（浙江卷2）函數(shù)的最小正周期是.3．三角最值問題。例3已知函數(shù)y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值?！窘夥ㄒ弧苛顂inx=,則有y=因為，所以，所以≤1，所以當，即x=2kπ-(k∈Z)時，ymin=0，當，即x=2kπ+(k∈Z)時，ymax=2.【解法二】因為y=sinx+,=2（因為(a+b)2≤2(a2+b2)），且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，所以當=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)時,ymax=2，當=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)時,ymin=0。注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。練習1.（09福建）函數(shù)最小值是=。2.（09上海）函數(shù)的最小值是.3．將函數(shù)的圖像向右平移了n個單位，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則n的最小正值是A．B．C．D．4.若動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點，則的最大值為（）A．1 B． C． D．25.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是()A.1 B. C. D.1+4．換元法的使用。例4求的值域?！窘狻吭O(shè)t=sinx+cosx=因為所以又因為t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因為t-1，所以，所以y-1.所以函數(shù)值域為5．圖象變換：y=sinx(x∈R)與y=Asin(x+)(A,,>0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫統(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例5已知f(x)=sin(x+)(>0,0≤≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。【解】由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意x∈R成立。又0≤≤π，解得=，因為f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).又>0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)；取k=2時，≥，此時f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)，綜上，=或2。1.(09山東)將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是2.（1）（07山東）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向平移個單位（2）（全國一8）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向平移個單位（3）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向平移個單位長度3.將函數(shù)y=EQ\R(3)cosx－sinx的圖象向左平移m（m>0）個單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小正值是（D）A.EQ\F(p,6)B.EQ\F(p,3) C.EQ\F(2p,3)D.EQ\F(5p,6)4.（湖北）將函數(shù)的圖象F按向量平移得到圖象,若的一條對稱軸是直線,則的一個可能取值是()A.B.C.D.6．三角公式的應(yīng)用。例6已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值?！窘狻恳驗棣?β∈，所以cos(α-β)=-又因為α+β∈，所以cos(α+β)=所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.例7求證：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=+4sin20求值1、（1）(07全國Ⅰ)是第四象限角，，則（2）（09北京文）若，則.（3）（09全國卷Ⅱ文）已知△ABC中，，則.(4)是第三象限角，，則==2、(1)(07陜西)已知則=.(2)（04全國文）設(shè)，若，則=.（3）（06福建）已知則=3.(1)(07福建)=(2)（06陜西）=。（3）。4．已知，則的值為（）A．B．C．D．5．已知sinθ=－，θ∈（－，0），則cos（θ－）的值為（）A．－B．C．－D．6.若，則的取值范圍是：()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7.若則=（）（A）（B）2（C）（D）單調(diào)性1.（04天津）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（）.A.B.C.D.2.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是（）A． B． C． D．3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．4．（07天津卷）設(shè)函數(shù)，則（）A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)5.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是()A．B．C．D．6．若函數(shù)f(x)同時具有以下兩個性質(zhì)：①f(x)是偶函數(shù)，②對任意實數(shù)x，都有f()=f()，則f(x)的解析式可以是（） A．f(x)=cosxB．f(x)=cos(2x)C．f(x)=sin(4x)D．f(x)=cos6x四.五.對稱性1.（08安徽）函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是（）A． B． C． D．2（07福建）函數(shù)的圖象（）Ａ．關(guān)于點對稱 Ｂ．關(guān)于直線對稱Ｃ．關(guān)于點對稱 Ｄ．關(guān)于直線對稱3（09全國）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則的最小值為（）(A)(B)(C)(D)圖象4．（2006四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是（）（A）（B）（C）（D）5.（2009江蘇卷）函數(shù)（為常數(shù)，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則=.7．(2010·天津)下圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y＝sinx(x∈R)的圖象上所有的點()A．向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標不變B．向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標不變D．向左平移eq\f(π,6)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變8．(2010·全國Ⅱ)為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象，只需把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象()A．向左平移eq\f(π,4)個長度單位B．向右平移eq\f(π,4)個長度單位C．向左平移eq\f(π,2)個長度單位D．向右平移eq\f(π,2)個長度單位9．(2010·重慶)已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則()A．ω＝1，φ＝eq\f(π,6)B．ω＝1，φ＝－eq\f(π,6)C．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)D．ω＝2，φ＝－eq\f(π,6)八.解三角形1.(2009廣東卷文)已知中，的對邊分別為若且，則2.（2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于2，的取值范圍為.3.（09福建）已知銳角的面積為，，則角的大小為5．已知△ABC中，，則的值為7.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)的面積，求的長．九..綜合1.（04天津）定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，，則的值為2．(04廣東)函數(shù)f(x)是（） A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為2的偶函數(shù) D．.周期為2的奇函數(shù)3．（09四川）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為2B.函數(shù)在區(qū)間［0，］上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線＝0對稱D.函數(shù)是奇函數(shù)4．(07安徽卷)函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點對稱;③函數(shù))內(nèi)是增函數(shù);④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.5.（08廣東卷）已知函數(shù)，則是（）A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為的偶函數(shù)6.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是C（A）0（B）1（C）2（D）47．若α是第三象限角，且cos<0，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8．已知函數(shù)對任意都有，則等于（）A、2或0B、或2C、0D、或0十.解答題1．（05福建文）已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.2（06福建文）已知函數(shù) （I）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增